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第一次月考押题培优02卷(考试范围21.1-22.3）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）若关于x的一元二次方程的两个根为x ＝1，x ＝2，则这个方程可能是（ ）
1 2
A．x2+3x﹣2＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣3x+2＝0 D．x2﹣2x+3＝0
【解答】解：∵x ＝1，x ＝2，
1 2
∴x +x ＝3，x x ＝2，
1 2 1 2
∴以x ，x 为根的一元二次方程可为x2﹣3x+2＝0．
1 2
故选：C．
2．（3分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取
值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1．
故选：D．
3．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
4．（3分）若函数y＝x2﹣2x+b的图象与x轴有两个交点，则b的取值范围是（ ）
A．b≤1 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与x轴有两个交点，
∴方程函数x2﹣2x+b＝0有两个不相等的实数根，
即△＝（﹣2）2﹣4×1×b＝4﹣4b＞0，
解得：b＜1，
故选：D．
5．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数
表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的
函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．6．（3分）某商品经过两次降价，零售价降为原来的 ，已知两次降价的百分率均为x，则列出方
程正确的是（ ）
A． B． C．（1+x）2＝2 D．（1﹣x）2＝2
【解答】解：设原价为1，则现售价为 ，
∴可得方程为：1×（1﹣x）2＝ ，
故选：B．
7．（3分）若x 、x 是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x •x 的值是（ ）
1 2 1 2
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【解答】解：根据根与系数的关系得到x •x ＝ ＝﹣4．
1 2
故选：D．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣k）x﹣1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．当k＝0时，方程无解
B．当k≠0，方程总有两个不相等的实数根
C．当k＝1时，方程有一个实数根
D．当k＝﹣1，方程有两个相等的实数根
【解答】解：A、当k＝0时，方程为一元一次方程，有解，此选项错误；
B、当k≠0时，Δ＝（1﹣k）2﹣4×k×（﹣1）＝（1+k）2≥0，方程有两个实数根，此选项错误；
C、当k＝1时，方程为x2﹣1＝0，x＝±1，方程有两个不相等的实数根，此选项错误；
D、当k＝﹣1时，方程为﹣x2+2x﹣1＝0，方程有两个相等的实数根，此选项正确．
故选：D．
9．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标分别为（x ，0），（x ，
1 2
0），且x ＜x ，图象上有一点M（x ，y ）在x轴下方，对于以下说法：
1 2 0 0
①b2﹣4ac＞0
②x＝x 是方程ax2+bx+c＝y 的解
0 0
③x ＜x ＜x
1 0 2
④a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0
0 1 0 2
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③【解答】解：①∵x ＜x ，
1 2
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故本选项正确；
②∵点M（x ，y ）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
0 0
∴x＝x 是方程ax2+bx+c＝y 的解，故本选项正确；
0 0
③若a＞0，则x ＜x ＜x ，
1 0 2
若a＜0，则x ＜x ＜x 或x ＜x ＜x ，故本选项错误；
0 1 2 1 2 0
④若a＞0，则x ﹣x ＞0，x ﹣x ＜0，
0 1 0 2
所以，（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0，
0 1 0 2
∴a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0，
0 1 0 2
若a＜0，则（x ﹣x ）与（x ﹣x ）同号，
0 1 0 2
∴a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0，
0 1 0 2
综上所述，a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0正确，故本选项正确．
0 1 0 2
故选：B．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6）
【解答】解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．
故选：B．
11．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，BC＝4，AB＝3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、
C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D；作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设
BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：连接DE，
△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；
又因为PE为∠BPC′的角平分线，
可推知∠EPD＝90°，
已知BP＝x，BE＝y，BC＝4，AB＝3，
即在Rt△PCD中，PC＝4﹣x，DC＝3．即PD2＝（4﹣x）2+9；
在Rt△EBP中，BP＝x，BE＝y，故PE2＝x2+y2；
在Rt△ADE中，AE＝3﹣y，AD＝4，故DE2＝（3﹣y）2+16
在Rt△PDE中，DE2＝PD2+PE2
即x2+y2+（4﹣x）2+9＝（3﹣y）2+16
化简得：
y＝﹣ （x2﹣4x）；
结合题意，只有选项D符合题意．
故选：D．
12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则以下结论：
①abc＞0，②2b+3a＝0，③a﹣b+c＜0，④5a+2c＜0．
其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：A、∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．
又∵对称轴x＝﹣ ＞0，∴b＞0．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0．
故①错误；
②根据图示知，对称轴x＝﹣ ＝ ，则2b＝﹣3a，所以2b+3a＝0．故②正确；
③根据图示知，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故③正确；
④根据图示知，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．
∵b＝﹣ ，
∴a﹣b+c＝ +c＜0，即5a+2c＜0．
故④正确．
综上所述，正确的结论有②③④，共3个．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣3＝0，可以写成（x+h）2＝k的形式，则 （ x ﹣
） 2 ＝ ．
【解答】解：原方程可以化为：x2﹣ x＝ ，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣ x+ ＝ + ，配方，得（x﹣ ）2＝ ．
故答案为：（x﹣ ）2＝ ．
14．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+1，若﹣1≤x≤4，则y的取值范围是 ﹣ 3 ≤ y ≤ 6 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∵﹣1≤x≤4，2﹣（﹣1）＝3，4﹣2＝2，
∴当x＝﹣1时y取得最大值，当x＝2时，y取得最小值，
当x＝﹣1时，y＝6，当x＝2时，y＝﹣3，
∴y的取值范围是﹣3≤y≤6，
故答案为：﹣3≤y≤6．
15．（3分）在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝2，若关于x的方程x2+（b﹣1）x+b
﹣1＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 5 或 1 2 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝（b﹣1）2﹣4（b﹣1）＝0，
解得b＝1或5．
当a＝2，b＝1，c＝2，△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当a＝2，b＝1，c＝1，不符合三角形三边的关系，舍去；
当a＝2，b＝5，c＝5，△ABC的周长＝2+5+5＝12；
当a＝2，b＝5，c＝2，不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，△ABC的周长为5或12．
故答案为5或12．
16．（3分）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+2与x轴有两个交点，则整数k的最小值是 2 ．
【解答】解：由题意得：（2k+1）2﹣4（k2+2）＞0，解得k＞ ，故整数k的最小值是2．
17．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程
（x+2）*5＝0的解为 x ＝ 3 或 x ＝﹣ 7 ．
【解答】解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣718．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n＝
1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，
13，…，根据上述规律，抛物线C 的顶点坐标为（ 5 5 ， ）．
8
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，（k≠0），
∵A（﹣3，0），B（0，1），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝ x+1，
∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，
观察发现：每个数都是前两个数的和，
∴抛物线C 的顶点坐标的横坐标为55，
8
∴抛物线C 的顶点坐标为（55， ）．
8
三．解答题（共6小题，满分56分）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x ＝3，x ＝1；
1 2
（2）3x2+2x﹣2＝0，
a＝3，b＝2，c＝﹣2，Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0，
x＝ ＝ ＝ ，
所以x ＝ ，x ＝ ．
1 2
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．
（2）若等腰△ABC的一腰长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4k＝k2+2k+1﹣4k＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取什么实数值，这个方程总有实根；
（2）∵等腰△ABC的一边长a＝4，
∴另两边b、c中必有一个数为4，
把4代入关于x的方程x2﹣（k+1）x+k＝0中得，
∴16﹣4（k+1）+k＝0，
解得：k＝4，
所以b+c＝k+1＝5
∴△ABC的周长＝4+5＝9．
21．（8分）有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱
笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．
（1）用含有x的代数式表示y．
（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积为72m2的花圃吗？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．
（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．
解此方程得x ＝7，x ＝3．
1 2当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：
如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解此方程得x ＝4，x ＝6，
1 2
当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；
当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；
故不能围成面积为72m2的花圃．
22．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件可盈利40元，为了扩大销售增
加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，调查发现，每件少盈利1元，商场平均
每天可多售出2件衬衫，那么每件衬衫少盈利多少元时，商场平均每天盈利是1250元？
【解答】解：设每件衬衫少盈利x元，商场平均每天盈利1250元，
则（40﹣x）（20+2x）＝1250．
解得x＝15
答：每件衬衫少盈利15元时，商场平均每天盈利是1250元．
23．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（Ⅰ）若该抛物线的对称轴为直线x＝2．
①求该抛物线的解析式；
②在对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足5≤y≤17，求b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）①∵抛物线y＝﹣x2+bx+5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝﹣ ＝ ，
∵若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，
∴ ＝2，
解得：b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
②存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，
∴OB'＝OB，PB'＝PB，
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝5，
1 2
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴OB'＝OB＝5，
∴CB′＝ ＝ ＝ ，
∴B′（2， ），
设点P（2，m），
∵PB'＝PB，
∴ ﹣m＝ ，
解得：m＝ ，
∴P（2， ）；
同理，当点P在x轴下方时，P（2，﹣ ）；
综上所述，点P（2， ）或P（2，﹣ ）．
（Ⅱ）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线x＝ ＝﹣ ＝ ，
∴当b≥4时，x＝ ≥2，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，
∴y最大值 ＝﹣4+2b+5＝2b+1，
∵函数值y的最大值满足5≤y≤17，
∴5≤2b+1≤17，
解得：2≤b≤8，
又∵b≥4，
∴4≤b≤8．24．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与
y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD
交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E的坐标；
若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，
解得 ．
故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得 ，
解得 ，
故直线AC为y＝x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴B（1，2），
∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3，
解得，x＝0或x＝1（舍去），
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝ 或x＝ ，
∴E（ ， ）或（ ， ），
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）或（ ， ）或（ ， ）；
（3）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于
点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）
＝﹣x2+x+2
又∵S△APC ＝S△APQ+ S△CPQ
＝ PQ•AG＝ （﹣x2+x+2）×3
＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴△APC的面积的最大值为 ；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
又∵S△APC ＝S△APH +S直角梯形PHGC ﹣S△AGC
＝ （x+1）（﹣x2+2x+3）+ （﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣ ×3×3
＝﹣ x2+ x+3
＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴△APC的面积的最大值为 ．
