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第二十九章 投影与视图章末测试卷
姓名：________ 班级：________ 得分：________
注意事项：
本试卷满分100分，时间60分钟.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信
息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一个几何体的部分视图如图，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三视图的识别和判断，解题关键是掌握常见空间几何体的三视图．由空间几何体的
三视图可以得到空间几何体的直观图．
【详解】解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱，
故选：D．
2．孟母教子是中国传统文化的重要组成部分，孟母像位于太谷区孟母园内．在晴天的日子里，从早到晚
在太阳光下孟母像的影子长度是如何变化的（ ）
A．逐渐变长 B．逐渐变短 C．先逐渐变短，后逐渐变长 D．保持不变【答案】C
【分析】本题考查平行投影；根据太阳光照射角度随时间的变化而变化，得出影子的长短随时间的变化而
变化，早晨和傍晚影子长，中午影子短；据此即可求解．
【详解】依题意，从早到晚在太阳光下孟母像的影子变化是先变短后变长．
故选：C．
3．一位雕塑家利用15个棱长为1米的相同正方体，在公园空地设计了一个如图所示的几何体造型，需要
把露出的表面都涂上颜色，则需要涂颜色部分的面积为（ ）
A．46米2 B．37米2 C．28米2 D．25米2
【答案】B
【分析】由图形可知分四层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可得解．
【详解】解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4+1=5，
第二层，侧面积为4，
第三层，侧面积2×4=8，上表面面积为4-1=3，总面积为8+3=11，
最下层，侧面积为3×4=12，上表面面积为9-4=5，总面积为12+5=17，
5+4+11+17=37，
所以被他涂上颜色部分的面积为37平方米．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的表面积，注意分四层，每一层再分侧面积与上表面两部分求解，注意求解的
层次性是关键．
4．如图是大树的影子随太阳转动的情况（上午8时至下午5时之间），按时间先后顺序排列是（ ）
A．②④①③⑤ B．①②③④⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②
【答案】A【分析】本题考查平行投影的特点和规律．北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西、西北、北、东
北、东，影长由长变短，再变长．由此排序即可．
【详解】解：太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方，然后依次为西、西北、北、东北、东；期间，
影长由长变短，再变长．
观察所给图形可得：按时间先后顺序分别是：②④①③⑤．
故选A．
5．如图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个
平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上，根据左视图的作法求解即可．
【详解】
解：这个几何体的左视图有2行，第一行有1个正方形，第二行有2个正方形，第1列有2个正方形，第2
列有1个正方形
故选：A．
6．马路边上有一棵树 ，树底 距离护路坡 的底端 有3米，斜坡 的坡角为60度，小明发现，
下午2点时太阳光下该树的影子恰好为 ，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的
部分影子落在斜坡 上的 处，且 ，如图所示，线段 的长度为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出 ，延长 ，交 于点 ，根据30度角的直角三角
形即可求出结果．
【详解】解： 同时刻1米长的竹竿影长为0.5米， 米，
树 的高度是6米；
延长 ，交 于点 ，
，
，
，
米，
米，
米，
线段 的长度为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到 的影长．
7．如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由大小两个圆柱组成，从而根据三视图的特点得知高和
底面直径，代入体积公式计算即可．
【详解】解：由三视图可知，几何体是由大小两个圆柱组成，
故该几何体的体积为： ．
故选：D．
【点睛】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱的
底面直径和高是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想．
8．下图是正方体的组合体，若将1号小正方体重新放一个位置，移动前后的左视图和俯视图都保持不变，
则移动的位置有（ ）
A．2处 B．3处 C．4处 D．5处
【答案】A
【分析】先分析出组合体的左视图和俯视图，再依次判断即可．
【详解】解：正方体组合体的俯视图为：正方体组合体的左视图为：
移动前后的左视图和俯视图都保持不变，
故只能放在如图 位置：
综上分析可知，移动的位置有2处，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，熟练画出三视图是解题的关键．
9．某一时刻，高15 m的甲物体在太阳光下的影长为30 m，离甲物体10 m远有一乙物体(在甲物体影子方
向上)．若看不到乙物体的影子，则乙物体的高度( )
A．等于10 m B．小于10 m C．大于或等于10 m D．小于或等于10 m
【答案】D
【分析】若甲刚好看不到乙物体的影子，则甲的顶端、乙的顶端和乙影子的顶端在一条直线上，此时两个
三角形相似，根据相似三角形对应边成比例即可得到结论．
【详解】若甲刚好看不到乙物体的影子，则甲的顶端、乙的顶端和乙影子的顶端在一条直线上．如图，设
甲物体为AB，乙物体为CD．由题意可得：AB=15，BD=10．设CD=x，则DE=2x．
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AB：BE=CD：DE，∴15：BE=x：2x，解得：BE=30．
∵BE=BD+DE，∴30=10+2x，解得：x=10．故乙物体的最大高度为10m．
故选D．
【点睛】本题考查了视角和盲区以及相似三角形的判定与性质的应用．解题的关键是确定甲刚好看不到乙物体的影子，则甲的顶端、乙的顶端和乙影子的顶端在一条直线上．
10．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次
游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影
的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少 米 B．增加 米 C．减少 米 D．增加 米
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点 为光源， 表示小明的手， 表示小狗手影，则 ，过点 作
，延长 交 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ 米， 米，则 米，
∴ ，
设 ，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，即 ， ， 米，
∴ ，
则 ，
∴ 米，
∴光源与小明的距离变化为： 米，
故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立
适当的数学模型来解答问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体和求几何体的侧面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的
形状及对应相关数据．由三视图知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆柱体，再根据圆柱体侧面积的
公式计算即可．
【详解】解：由三视图知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆柱体，
所以该几何体的侧面积为 ，
故答案为： ．
12．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆 的影长不全落在水平
地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为 米，留在墙上的影长 米，则旗
杆的高度为 米．【答案】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时
刻物高与影长的比相等”的原理解决．矩形 的对边平行且相等．落在墙上的影子长与物体本身的长
度相等．
【详解】
解：过点 作 于 ，如图所示：
， ，
，
四边形 为矩形，
则 ， ．
设 ，则 ，
解得 ，
故旗杆的高度 （米）．
故答案为：10．
13．用若干个同样大小的正方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需
要 个小正方体．
【答案】10
【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是从俯视图入手思考所需的立方体个数．根据主视图和俯视图求解即可．
【详解】解：由题意可得，底层有7个，中间层至少有2个，第三层是1个，所以至少有10个．
故答案为：10．
14．如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面
上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）.
【答案】17
【分析】如图题目所求的实际是 OFE和梯形BCDH的面积，Rt ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利
用三角函数即可求出． △ △
【详解】在Rt ACD中，CD=AC=6，S =（2+6）×4÷2=16，
梯形BCDH
在Rt ABO中△，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2，
因此，△FE=OF÷2=1
S =2×1÷2=1，
OFE
△
因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米．
故答案为17.
【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
15．小华家客厅有一张直径为 ，高为 的圆桌 ，有一盏灯 到地面垂直距离 为 ，圆桌
的影子为 ，则点 到点 的距离为 ．
【答案】 /4米
【分析】根据相似三角形的相似比等于对应高的比，求出 即可得到答案．
【详解】解：延长 交 于 ，如图所示：
由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ （ ），
故答案为： ．
【点睛】本题考查中心投影，正确将中心投影相关问题转化为相似三角形的问题是解题关键．
16．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处
时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB＝ 米．
【答案】6
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线
三者构成的两个直角三角形相似解答．【详解】解：∵ ，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即 ＝ ，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即 ，
∴ ＝ ，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴ ，即 ，即2（y+1）＝y+5，
解得：y＝3，
则 ，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影
的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的
长度．
三、解答题（本大题共7小题，共46分）
17．（6分）小亮同学利用所学知识测量操场旁边一棵杨树的高度．(1)如图，请你根据小亮 在阳光下的投影 ，画出此时杨树 在阳光下的投影．
(2)已知小亮的身高为 ，在同一时刻测得小亮和杨树的投影长分别为 和 ，求杨树的高度．
【答案】(1)见解析
(2)杨树的高度为 米
【分析】本题考查了作图的应用与设计，相似的应用举例．
（1）根据“太阳光是平行的”进行作图；
（2）证明 ，根据三角形相似的性质求解即可．
【详解】（1）解：线段 为所求；
（2）解：由（1）中图可得： ，
由题意知： ，
，
，
∴ ，
∴ ，
解得
∴杨树的高度为 米．18．（6分）在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个小正方体的棱长为acm，
如图所示．
(1)请画出这个几何体A的三视图．
(2)若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 cm2（用
含a的代数式表示）；
(3)若现在你的手头还有这样的一些棱长为acm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不
变，则最多可以添加 个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)4
【分析】本题主要考查了三视图：
（1）根据三视图的定义，画出三视图即可；
（2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的喷上红漆的面积；
（3）在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加一个正方体，在
第二层的第二列可以加一个正方体，所以最多可以添加的是三个小正方体；
【详解】（1）解：如图，
（2）解：露出表面的一共有30个，每个的面积都是 ，
则这个几何体的总面积为： ；
故答案为：
（3）解：由题意可得，在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加两个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体；即要保持主视图和左视图不变，最多可以添加四个
小正方体．
故答案为：4
19．（8分）数学兴趣小组的同学要测算一盏路灯灯泡 的高度．
(1)小华（用线段 表示）的影子是 ，小明（用线段 表示）的影子是 ，在同一盏路灯下的影长
如图所示，请找出该路灯灯泡 的位置；
(2)小华身高 ，影长 ，小明身高 ，形长 ，小华和小明两人相距 ，求该盏路灯灯泡 的高
度．
【答案】(1)答案见解析
(2)9米
【分析】本题考查中心投影及其测高，涉及中心投影定义、相似三角形判定与性质等知识，读懂题意，由
中心投影定义作出图形确定该路灯灯泡 的位置是解决问题的关键．
（1）连接 并延长、连接 并延长，两条延长线交于一点，即为该路灯灯泡 的位置，如图所示；
（2）由题意，结合（1）中图形可知 ，利用相似比，代值列方程组求解
即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
图中点 为该路灯灯泡的位置；
（2）解：由题意，结合（1）中图形可知 ，
由 得到 ，则 ①，
由 得到 ，则 ②；联立①② ，解方程组得 ，
该盏路灯灯泡 的高度为9米．
20．（8分）一个几何体的表面展开图如图1所示．
(1)这个几何体的名称是______；
(2)图（2）是根据a、b、c、h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(3)请用含a、b、c、h的的代数式表示这个几何体的表面积：______．（不必化简）
【答案】(1)三棱柱
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据展开图，上下两个底面是三角形，侧面为三个矩形，可知，几何体为三棱柱；
（2）根据主视图和俯视图，画出左视图即可；
（3）根据表面积等于两个底面三角形的面积加上三个矩形的面积，进行求解即可．
【详解】（1）解：根据展开图，上下两个底面是三角形，侧面为三个矩形，可知，几何体为三棱柱；
故答案为：三棱柱；
（2）画出左视图，如图所示：（3）解：由图可知，几何体的表面积等于两个底面三角形的面积加上三个矩形的面积，即表面积为
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查根据平面展开图确定几何体，三视图，以及求几何体的表面积．熟练掌握常见几何体的
平面展开图，是解题的关键．
21．（8分）某四棱柱的三种视图如图所示，其中在俯视图四边形 中， ， ．
(1)根据图中给出的数据左视图的周长为____________．
(2)根据图中给出的数据俯视图中 的长为____________．
(3)根据图中给出的数据俯视图中 的长为____________．
(4)根据图中给出的数据俯视图四边形 面积为____________．
【答案】(1)(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据左视图和主视图高平齐，即可求得左视图的周长
（2）由主视图可知 ，左视图可知 ， 交 于O，可知 ，进而可求得
（3）在 中可求得 的长
（4）由于 ， ，即可得四边形 面积为：
【详解】（1）∵左视图和主视图高平齐，
∴左视图的周长为： ，
故答案为：
（2）∵由主视图可知 ，左视图可知 ，设 交 于O，可知 ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（3）由（2）可知： ，
故答案为：
（4）由（2）可知： ，故答案为：
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体三种视图的特征，掌握三视图的特点是解决问题的关键
22．（8分）如图，电线杆上有盏路灯 ，小明从点 出发，沿直线 运动，当他运动2m到达点 处
时（即 ），测得影长 ，再前进2m到达点 处时（即 ），测得影长 ．
（图中线段 、 、 表示小明的身高，且 、 、 均与 垂直）
(1)请画出路灯 的位置和小明位于 处时，在路灯灯光下的影子 ；
(2)求小明位于 处的影长 ．
【答案】(1)见解析
(2)0.4m
【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，将实际问题抽象到相似三角形中，利用相
似三角形的判定与性质列方程求解是解答本题的关键．
（1）根据中心投影的定义，连接 ， 并延长，交点即为点O，连接 并延长，交直线 于点G，
即为所求；
（2）过点O作 于点H，先证明 和 ，得出 ， ，
从而得到 ，设 ，列方程求解得出 的长，同理可得 ，进一步列方程求解
即可得出答案．
【详解】（1）如图1，作射线 ， ，两线相交于点O，则点O就是路灯的位置；
作射线 交直线 于点G，则 就是小明位于 处时，在路灯灯光下的影子．
（2）如图2，过点O作 于点H，
设 ，则 ， ，，
，
，
同理 ，
，
，
即 ，
解得 ，
， ，
设 ，则 ，
同理可知 ，
即 ，
解得 ，
所以小明位于F处的影长为 ．
23．（8分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高
的小王晚上在路灯灯柱 下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路
灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4
步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保
持一致．(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯 的高，并求影长 的步数．
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明
同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并
且边 与点B在同一直线上．测得 ， ， ，小明眼睛到地面的距离为 ，
则树高 为______m．
【答案】(1)见解析
(2)路灯 的高为9m，影长 为 步
(3)9
【分析】(1)根据中心投影的知识画出图即可．
(2)利用相似三角形的判定和性质计算即可．
(3)利用勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质计算即可．
【详解】（1）路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴路灯 的高为 ，影长 为 步．
（3）如图，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正切函数，三角形相似的判定和性质，矩形的判定
和性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
