文档内容
第二十九章 投影与视图 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·海南省直辖县级单位·九年级校考期中）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它
的主视图是（ ）
正面
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层靠右一个小正方形，即：
故选：B．
2．（2023上·四川成都·九年级期末）下列几何体中，主视图和左视图都相同的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．主
视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，据此求解即可．
【详解】解：圆柱的主视图、左视图都是长方形，故此选项符合题意；立方体的主视图、左视图都是正方形，故此选项符合题意；
圆锥体的主视图、左视图都是三角形，故此选项符合题意；
球的主视图、左视图都是半径相同的圆，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2023上·山东济南·九年级统考期中）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国
工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从几何体的上面观察得到的图形是解题的关键．
【详解】根据题意，得其俯视图如图所示
，
故选A．
4．（2023上·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样
的几何体最多要 个小立方块，最少要 个小立方块，则 等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了三视图；根据从左面看和从上面看的视图，分析得出最多和最少的情况，然后可得答案．
【详解】解：由题意得，最多和最少的情况如图所示（最少时第2行3个空可相互交换）：
所以 ， ，
所以 ，
故选：A．
5．（2024上·湖北·九年级校考周测）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）
A．32 B． C．48 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三视图的表面积，勾股定理．根据题意可得几何体为底面边长为4，高为2的正
四棱锥，再根据勾股定理求出四棱锥的斜高，即可求解．
【详解】解：由三视图知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，如图所示，
∴四棱锥的斜高为 ，
故该四棱锥的表面积为 ．
故选B．6．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）某一时刻，与地面垂直的长 的木杆在地面上的影长为 ．
同一时刻，树 的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为 的斜坡上，如图所示．已知落在地面上
的影长 为 ．落在斜坡上的影长 为 ．根据以上条件，可求出树高 为（ ）．（结果精确到
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，平行投影，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握同一时刻太阳光
下，物长和影长成比例，是解题的关键．过点D作 于点E，连接 并延长，交 延长线于点
F，易得 ，根据长 的木杆在地面上的影长为 ，得出 ，则
，求出 ，即可求解．
【详解】解：过点D作 于点E，连接 并延长，交 延长线于点F，
∵ ， ，
∴ ，
∵长 的木杆在地面上的影长为 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∵长 的木杆在地面上的影长为 ，
∴ ，则 ，
故选：D．7．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点 是一个光源，木杆 两端的坐标分
别为 ， ，则木杆 在x轴上的投影 长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长 、 分别交x轴于点 、 ，作 轴于点E，交 于点D，证明
，然后利用相似比即可求解．
【详解】解：延长 、 分别交x轴于点 、 ，作 轴于点E，交 于点D，如图，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：D．【点睛】本题考查中心投影，熟练掌握中心投影的概念证明 是解题的关键．
8．（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）马路边上有一棵树 ，树底 距离护路坡 的底端 有
3米，斜坡 的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为 ，同时刻1米长的竹
竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡 上的 处，且 ，如图所示，线
段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出 ，延长 ，交 于点 ，根据30度角的直角三角
形即可求出结果．
【详解】解： 同时刻1米长的竹竿影长为0.5米， 米，
树 的高度是6米；
延长 ，交 于点 ，
，
，
，米，
米，
米，
线段 的长度为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到 的影长．
9．（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是
我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小
明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．减少 米 B．增加 米 C．减少 米 D．增加 米
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点 为光源， 表示小明的手， 表示小狗手影，则 ，过点 作
，延长 交 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ 米， 米，则 米，∴ ，
设 ，
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即 ， ， 米，
∴ ，
则 ，
∴ 米，
∴光源与小明的距离变化为： 米，
故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立
适当的数学模型来解答问题．
10．（2022上·全国·九年级专题练习）从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边
形 为矩形， 分别是 的中点．若 ，则这个正六棱柱的侧面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，正六边形的边长为 ，过点 作 ，则 垂直平分 ，根据正六边形的性质求得 ，进而求得正六棱柱的侧面积．
【详解】解：如图，正六边形的边长为 ，过点 作
∴ 垂直平分 ，
由正六边形的性质可知， ，
∴
正六棱柱的侧面积
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图，正多边形与圆，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）一棵大树在阳光下的影子属于 投影．（填“平行”或
“中心”）
【答案】平行
【分析】本题考查投影．根据太阳光是平行光，得到投影为平行投影，即可．
【详解】解：一棵大树在阳光下的影子属于平行投影；
故答案为：平行．
12．（2023上·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如图所示的是从不同方向观察一个长方体得到的视图，
则左视图的面积为 ．
【答案】10
【分析】此题考查了由三视图判断几何体，根据题意得出左视图的长与宽是解本题的关键．
根据主视图与俯视图的长度，得到左视图的长与宽，即可求出面积．
【详解】解：根据题意得：主视图的长为5，宽为3，俯视图的宽为2，则左视图的长为5，宽为2，面积为 ．
故答案为：10．
13．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）王英站在距离路灯5米远处时，在该路灯
灯光下的影长为2米，当她逐渐靠近路灯，站在距离路灯不到5米远的位置时，她在该路灯灯光下的影长
可能为 米．（写出一个正确结果即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据投影的性质特点，王英靠近路灯时，她在路灯下的影长会逐渐变短，即可求解．本题考查了
投影的性质特点，熟练掌握投影的性质是解题的关键．
【详解】解：当王英靠近路灯时，她在该路灯灯光下的影长会逐渐变短，所以，她在该路灯灯光下的影长
可能为 米．（答案不唯一）
故答案为： （答案不唯一）
14．（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，数学兴趣小组下午测得一根长为 的竹竿影长是
，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高 ，地
面上的影长为 ．请你帮算一下，树高是 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行投影，相似三角形的应用；在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，
所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
【详解】解：如图，
设 是 在地面的影子，树高为 ，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得 ，
则 ，
解得： ，树在地面的实际影子长是 ，
竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得： ，
解得： ，
树高是 ．
故答案为： ．
15．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶
的影子 处直立一根木杆 ，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆 长 米．它的影长
是 米，同一时刻测得 是 米，则金字塔的高度 是 米．
【答案】
【分析】本题考查同一时刻物高和影长成正比．解题的关键是理解：如果光源是太阳，光线是平行照射的，
此时物体的高度和影子的长度成正比例．据此列式解答即可．
【详解】解：根据题意知：相同时刻的物高与影长成正比，
设金字塔的高度 为 米，则：
∴ ，
解得： ，
∴金字塔的高度 是 米．
故答案为： ．
16．（2022·山西大同·校联考一模）如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，其俯视图中小正方形个数
为 ；图（2）是由 块这样的小正方体木块叠放而成，其俯视图中小正方形总数为 ；图（3）是由 块这
样的小正方体木块叠放而成，第 个叠放的图形俯视图中小正方形总数应是 ；【答案】
【分析】根据前三个图形，俯视图中小正方形的个数总结得到规律即可求解．
【详解】解：观察图形可得：
第 个图形，俯视图中小正方形的个数为 个，
第 个图形，俯视图中小正方形的个数为 个，
第 个图形，俯视图中小正方形的个数为 个，
······
第 个图形，俯视图中小正方形的个数为 个，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形的变化规则，组合图形的三视图，解题的关键是根据前三个图形俯视图中小正方
形的个数得到规律．
17．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点
M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片 ，叶片影子为线段 ，测得
米， 米，此时垂直于地面的标杆 与它的影子 的比为 （其中点M，C，D，F，G
在水平地面上），则 的高度为 米，叶片 的长为 米．
【答案】 10【分析】作 ，根据平行线分线段成比例定理可知PC=PD，由EF与影子FG的比为2：3，可得
OM的长，同法由等角的正弦可得OB的长，从而得结论．
【详解】解：如图，过点O作 ，交 于P，过P作 于N，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：10， ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
18．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图所示，在某点光源下有两根直杆 ， 垂直于平整的
地面，甲杆 的影子为 ，乙杆 的影子一部分落在地面上的 处，一部分落在斜坡 上的 处．①点光源所在的位置是 （从 ， ， ， 中选择一个）；
②若点光源发出的过点 的光线 ，斜坡 与地面的夹角为 ， 米， 米，则乙杆
的高度为 米．
【答案】 C
【分析】（1）利用甲杆 的影子为 ，乙杆 的影子一部分落在地面上的 ，一部分落在斜坡上
即可得到点光源的位置；
（2）延长 交 于点 ，已知点光源发出的过点 的光线 ， ，可得 ，
根据 ，可得 ，在 中，已知 ，可得 ，结合 ，即可求得乙
杆 的高度；
【详解】（1）如图所示， 点即为点光源所在的位置，
故答案为：C
（2）延长 交 于点 ，∵点光源发出的过点 的光线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴乙杆 的高度为 米．
故答案为：
【点睛】本题主要考查中心投影及勾股定理的应用，根据已知条件确定点光源的位置是解题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023上·陕西宝鸡·九年级期中）用大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得它从正面、上面看到
的形状图如图，这样的几何体是否唯一？它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？【答案】这样的几何体不是唯一的，它最多需要小立方块的个数为： ；它最少需要小立方块的个数为：
【分析】由俯视图可知最底层由7个，然后再判断出第二层，第三层，最多和最少的个数即可判断。本题
主要考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题。
【详解】解：这样的几何体不是唯一的，如图所示，
最多时从左到右第一列小立方块的个数为 ，第二列的个数为 ，第二列的个数为 ，
故它最多需要小立方块的个数为： ；
最少时从左到右第一列小立方块的个数为 ，第二列的个数为 ，第二列的个数为 ，
故它最少需要小立方块的个数为： ．
20．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图， 和 是直立在地面上的两根立柱（即
均与地面垂直），已知 ，某一时刻 在太阳光下的影子长 ．
(1)在图中画出此时 在太阳光下的影子 ；
(2)在测量 的影子长时，同时测量出 的影长 ，计算 的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】此题主要考查了平行投影，利用同一时刻物高与影长的比值相等列出比例式求解是解题关键．
（1）利用平行投影的性质得出 即可；
（2）利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等进而得出答案．【详解】（1）如图所示： 即为所求；
（2）由题意可得： ，
∴
解得： ，
答： 的长为 ．
21．（2023上·山东枣庄·九年级校联考阶段练习）如图1,在平整的地面上,用多个小正方体堆成一个几何体．
(1)共有______个小正方体．
(2)请在图2中画出从正面,左面和上面看到的这个几何体的形状图;
(3)如果现在你还有一些大小相同的小正方体,要求保持从上面和左面看到的形图都不变,最多可以再添加
______个小正方体;
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图-三视图问题．解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）通过观察图形即可得到本题答案;
（2）根据三视图的定义画出即可;
（3）通过主视图，左视图的定义解答即可．
【详解】（1）解:通过观察图形数出小正方体个数为 个,
（2）解:如下图所示:（3）解:通过观察主视图和左视图可得再增加 个图形即可保持从上面和左面看到的形图都不变．
22．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形式．
(1)该几何体的体积是 ，表面积是 ；
(2)在格纸中画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
(3)如果在这个几何体上再添加一个相同的小正方体（至少有一个面与原几何体中小正方体的面重合），并
保持这个几何体的主视图不变，那么可以有 种添法．
【答案】(1)6；26
(2)见解析
(3)7
【分析】本题主要考查了画几何体的三视图，求几何体的体积和表面积，以及根据三视图判断小正方体的
个数问题，解题的关键在于能够发挥空间想象能力进行求解．
（1）该几何体的体积为6个棱长为1厘米的小正方体的体积和，表面积为所有露在外面面积为 的正
方形面积之和，据此求解即可；
（2）根据正视图，左视图和俯视图分别是从正面看，从左面看和从上面看到的图形进行求解即可；
（3）求出保持主视图不变时俯视图中每个位置小正方体的数量即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，该几何体的体积是 ，表面积是
，
故答案为：6；26；
（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：如图所示，在俯视图中，当添加一个相同的小正方体（至少有一个面与原几何体中小正方体的
面重合），并保持这个几何体的主视图不变时，每个位置小正方体数量的情形如下：
∴一共有7种不同的添法，
故答案为：7.
23．（2023上·河北张家口·九年级张北县第三中学校考阶段练习）如图，阳光（平行光线）通过窗户照到
厂房内，竖直窗框 在地面上留下2米长的影子 ，窗框影子的一端 到窗下墙脚 的距离 为
3.6米，窗口底边 与地面的距离 为1.2米．
(1)求窗户的高度（ 的长）；
(2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端 沿 向右移动到 ， 米，另一端
恰好移动到厂房的另一墙脚 ，求 的长．
【答案】(1)窗户的高度为 米；(2) 米．
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用．
（1）由题意得 ，利用平行线分线段成比例定理即可求解；
（2）由题意得 ，利用平行线分线段成比例定理求得 ，再根据 ，求
解即可．
【详解】（1）解：∵阳光是平行线，即 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，解得 (米)，
答：窗户的高度为 米；
（2）解：由题意得 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ (米)，
答： 米．
24．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至
今仍有借鉴意义．如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱 下散步，他想通过测量自己的影长来估计
路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部 沿 方向走20步到 处，发现自己的影子端点落在
点 处，作好记号后，从点 沿 方向走4步恰好到达点 处，此时他影子的端点在点 处，已知
在同一水平线上，路灯的灯泡 在 上， ，小王的步间距保持一
致．(1)请在图中画出灯泡 和影子端点 的位置；
(2)估计灯泡的高 ，并求出影长 的步数．
【答案】(1)答案见详解；
(2)路灯 的高为9米，影长 为 步．
【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，
（1）如图所示，延长 交路灯灯柱 于点O，再连接 并延长交 延长线于点Q即可；
（2）先证明 ，利用相似三角形对应边成比例可求出 ，同理证 ，利用相似
三角形对应边成比例求出 ．
熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，路灯O和影子端点Q为所求；
（2）解：根据题意知： ， 步， 步， ，
，
，
，即 ，
解得 ；，
，
即 ，
解得 ；
答：估计路灯 的高为9米，影长 为 步．
25．（2023上·江西九江·九年级统考阶段练习）课本再现
（1）两棵小树在一盏路灯下的影子如图1所示．
①确定该路灯灯泡所在的位置；
②画出图中表示婷婷影长的线段．
数学思考
（2）如图2，婷婷居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上 ， 两点的正中间，晚上，
婷婷由点 处径直走到点 处，她在灯光照射下的影长 与行走路程 之间的变化关系用图象表示大致是
（ ）
A． B． C． D．
解决问题
（3）婷婷在点 处测得自己的影长 ，沿 方向到达点 处再测得自己的影长 ，如果
婷婷的身高为1.6m， ，求路灯杆 的高度．【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2）C；（3）
【分析】本题考查的是中心投影的作图与性质，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的画图与相似三
角形的性质是解本题的关键；
（1）①根据中心投影的性质作图； ②根据中心投影的性质作图．
（2）根据中心投影的性质得到小明在路灯下行走时影长的变化即可解答．
（3）由 ，可得 ，可得 ，同理可得 ，则
，联立①②得： ；
【详解】解：（1）如图： ①点A即为路灯灯泡的位置；
② 即为婷婷的影长．
（2）小明从M点走到灯下方时影长由长变短，
从灯下方走到N点时影长由短变长，
∴C选项满足题意，
故选：C．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由①②得： ．
26．（2023下·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图2，桌
面 可绕点 转动， ， ， ． ，点 是 点在地
面的正投影．
(1)①桌面 到地面 的距离为______ ， ______ ．
②求桌脚 的长；（结果精确到 ）
(2)当桌面 绕点 转动到图3所示的位置时，求点 到地面 的距离．
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)① ； ；；②桌脚 的长约为 ；
(2)点 到地面 的距离约为
【分析】（1）①连接 ，根据正投影，得到 ，再根据勾股定理，求得 ，然后利用锐
角三角函数的定义，得出 ，最后利用平行线的性质和三角形外角的定义，即可得到答案；
②过点 作 于点 ，利用锐角三角函数的定义，得到 ，然后利用勾股定理列式，求出
，进而得到 ，再利用锐角三角函数的定义，即可求出桌脚 的长；
（2）过点 作 于点 ，由旋转的性质可知， ，进而得到 ，
利用锐角三角函数的定义，得到 ，然后利用勾股定理列式，求出 ，进而得出
，即可求出点 到地面 的距离．
【详解】（1）解：①如图，连接 ，点 是 点在地面的正投影，
，
，
，
， ，
在 中， ，
即 到地面 的距离为 ，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ； ；
②如图，过点 作 于点 ，
在 中， ，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，，
，
在 中， ，
，
，
即桌脚 的长约为 ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
由旋转的性质可知， ，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
点 到地面 的距离约为 ．【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，平行投影，旋转的性质，正确做辅助线，灵活运用三角
函数是解题关键．
