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2022—2023 学年九年级上学期第二单元过关检测（2）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）将抛物线y＝2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是
（ ）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣3）2+4 D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得图像解析式为：
y＝2（x+3）2+2+2＝2（x+3）2+4．
故选：A．
2．（4分）对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．顶点（﹣1，3）
B．抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣2）2+3
C．抛物线与y轴的交点是（0，1）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
【解答】解：A、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点（1，3），故错误，本选项不符合题意，
B、抛物线向左平移3个单位长度后得到y＝﹣2（x﹣1+3）2+3，y＝﹣2（x+2）2+3，故错误，即本选项
不符合题意，
C、当x＝0时，y＝1，抛物线与y轴的交点是（0，1），故正确，本选项符合题意，
D、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故错误，本选项不符合题意，
故选：C．
3．（4分）用配方法将二次函数y＝ x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝ （x﹣2）2﹣4 B．y＝ （x﹣1）2﹣3C．y＝ （x﹣2）2﹣5 D．y＝ （x﹣2）2﹣6
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝ x2﹣2x﹣4＝ （x﹣2）2﹣6，
故选：D．
4．（4分）已知（﹣4，y ），（2.5，y ），（5，y ）是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y 、y 、y 的
1 2 3 1 2 3
大小关系是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 1 3
【分析】由抛物线解析式可判断抛物线的开口方向与对称轴，根据各点与对称轴的距离大小求解．
【解答】解：∵y＝﹣3x2﹣6x+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴与直线x＝﹣1距离越近的点的纵坐标越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＜2.5﹣（﹣1）＜5﹣（﹣1），
∴y ＞y ＞y ，
1 2 3
故选：A．
5．（4分）数学课上，老师把一个二次函数图象给甲、乙、丙、丁四位同学看后，四位同学分别进行了如
下描述，甲说：该函数的图象经过点（1，0）；乙说：该函数的图象经过点（3，0）；丙说：该函数的
图象与x轴的交点位于y轴的两侧；丁说：该函数的图象的对称轴为直线x＝1，老师告诉全班同学这四
个人中有一个人说错了，请你判断说错的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】利用反证法结合二次函数的图象解答即可．
【解答】解：假设甲、乙两同学的说法正确，则抛物线与 x轴的交点在y轴的右侧，对称轴为直线x＝
2，
此时丙、丁两同学的说法都不正确，这与老师告诉全班同学这四个人中有一个人说错了矛盾，
∴假设甲、乙两同学的说法正确不成立，
可知甲、乙两同学的说法有一人不正确；
假设甲同学的说法正确，则乙同学的说法不正确，
∵该函数的图象经过点（1，0），称轴为直线x＝1，
∴该抛物线与x轴只有一个公共点，∴丙同学的说法不正确，
这与老师告诉全班同学这四个人中有一个人说错了矛盾，
∴假设甲同学的说法正确不成立，
∴甲同学的说法错误，
故选：A．
6．（4分）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】分类讨论正比例函数和二次函数的图像性质即可得出正确答案．
【解答】解：当a＞0时，y＝ax的函数图像经过原点和一，三象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向下，与y
轴交于正半轴．
当a＜0时，y＝ax函数图像经过原点和二，四象限，y＝﹣ax2+a的图像开口向上，与y轴交于负半轴．
故选：C．
7．（4分）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式
为 ，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A
的坐标为 ，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【分析】根据出手点A的坐标为 求出函数关系式，再令y＝0可解得答案．【解答】解：把A 代入 得：
＝﹣ ×9+k，
∴k＝ ，
∴y＝﹣ （x﹣3）2+ ，
令y＝0得﹣ （x﹣3）2+ ＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故选：C．
8．（4分）点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y ＜y ，则m的取
1 2 1 2
值范围为（ ）
A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D． ＜m＜2
【分析】根据y ＜y 列出关于m的不等式即可解得答案．
1 2
【解答】解：∵点A（m﹣1，y ），B（m，y ）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，
1 2
∴y ＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，
1
y ＝（m﹣1）2+n，
2
∵y ＜y ，
1 2
∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，
∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，
即﹣2m+3＜0，
∴m＞ ，
故选：B．
9．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个顶点分别在菱形的四边上，AP
＝AQ＝CM＝CN，则矩形PMNQ的最大面积为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】将矩形面积表示出来，再求最值．
【解答】解：如图：
连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．
∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，
∴AC＝AB＝6．
∵矩形MNQP，
∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．
∴∠APE＝∠ABD＝30°，
设AP＝a，AE＝CF＝ a，
∴EF＝PM＝6﹣a．
由勾股定理得：PE＝ ＝ ．
∴PQ＝2PE＝ a．
∴S矩形PMNQ ＝PM•PQ＝ a×（6﹣a）＝ （﹣a2+6a）
＝﹣ （a﹣3）2+9 ．
∵﹣ ＜0，
∴当a＝3时，矩形面积有最大值9 ．
故选：D．
10．（4分）一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB＝4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动
员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【分析】当y＝3.05时，代入解析式3.05＝﹣0.2x2+3.5，解得x＝1.5m，求得4﹣1.5＝2.5，当x＝﹣2.5
时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，即可得到结论．
【解答】解：当y＝3.05时，
即3.05＝﹣0.2x2+3.5，
解得：x＝1.5m，
∴4﹣1.5＝2.5，
当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，
∴2.25﹣0.25﹣1.8＝0.2m，
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
故选：C．
11．（4分）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则
△APF的面积最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等
腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF ＝ ×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝
﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】解：作PM⊥AD于M，∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF ＝ AF•PM，
∴S△APF ＝ ×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF 有最大值4，
故选：C．
12．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（﹣2，0），对称轴为直线
x＝ ，给出以下结论：①a b c＜0；②9a+3b+c＜0；③若（﹣ ，y ）、（ ，y ）为函数图象上
1 2
的两点，则y ＞y ；④ a+ b＞m（am+b）（m≠ ），其中正确的结论是（ ）
1 2
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．①③④
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与 y轴的交点即可判断选项①；由图象得出x＝3时对应的
函数值等于0，即可判断②；由二次函数图象上点的坐标特征即可判断③；根据二次函数的性质即可
判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵图象过点A（﹣2，0），对称轴为直线x＝ ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，故②错误；
∵（﹣ ，y ）、（ ，y ）为函数图象上的两点，对称轴为x＝ ，
1 2
∴y ＜y ，故③错误；
1 2
∵x＝ 时，函数有最大值，
∴ a+ b+c＞am2+bm+c，即 a+ b＞m（am+b）（m≠ ），故④正确．
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应
的位置上）
13．（4分）如果函数y＝（k﹣2） +k x+1是关于x的二次函数，那么k的值是 ．
【分析】依据二次函数的定义可知k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2，从而可求得k的值．
【解答】解：由题意得：k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2．
解得k＝0或k＝2且k≠2．
∴k的值是0．
故答案为：0．
14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）与y轴交于点A，过A作AC∥x
轴交抛物线于点C，以AC为对角线作菱形ABCD，若菱形的顶点B恰好落在x轴上，则菱形ABCD的
面积为 ．
【分析】由抛物线y＝ax2﹣2ax+3求得A（0，3），对称轴为x＝1，即可求得AC＝2，BD＝6，根据菱形的面积公式即可求得．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+3，
令x＝0则y＝3，
∴A（0，3），
∴BD＝6，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴AC＝2，
∴菱形ABCD的面积为： ×2×6＝6．
故答案为：6．
15．（4分）某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥
面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度 AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不
考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为 米．
【分析】以 AB所在直线为 x轴、CD所在直线为 y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为 y＝
ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x＝5时y的值即可．
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为y＝ax2+16，
由题意可知，B的坐标为（20，0）
∴400a+16＝0
∴a＝﹣
∴y＝﹣ x2+16，
∴当x＝5时，y＝15．
答：与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米，
故答案为：15．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴
上，OA＝OB，顶点C、D在第一象限，经过点A、C、D三点的抛物线y＝﹣ x2+bx+c交x轴正半轴于
点E，则点E的坐标为 ．
【分析】连接AC、BD，由抛物线求出A、B点的坐标，由OB＝OC说不得b＝c，再用b表示D点坐标，
便可列出b的方程求得b的值，进而求得抛物线与x轴的交点坐标便可．
【解答】解：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD，AC⊥BD，BD平分AC，
∵A、C在抛物线上，
∴直线BD是抛物线的对称轴，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∴∠OBD＝90°，
∴AC∥x轴，
∵A、C在抛物线上，
∴直线BD是抛物线的对称轴，∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c，
∴对称轴为：x＝﹣ ＝b，
∴B（b，0），
令x＝0，得y＝﹣ x2+bx+c＝c，
∴A（0，c），
∴OB＝b，OA＝c，
∵OB＝OC，
∴b＝c，
∴抛物线解析式为：y＝﹣ x2+bx+b，
∴BD＝AC＝2b，
∴D（b，2b），
把D（b，2b）代入y＝﹣ x2+bx+b中，得2b＝﹣ b2+b2+b，
解得b＝0（舍）或b＝2，
∴抛物线y＝﹣ x2+2x+2，
令y＝0，得y＝﹣ x2+2x+2＝0，
解得x＝2﹣2 或x＝2+2 ，
∵点E在x轴正半轴上，
∴E（2+2 ，0）．
故答案为：（2+2 ，0）．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解
答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）已知函数 的图象如图所示，点 A（x ，y ）
1 1在第一象限内的函数图象上，点B（x ，y ）在第二象限内的函数图象上．
2 2
（1）当y ＝y ＝4时，求x ，x 的值；
2 1 1 2
（2）若x +x ＝0，设w＝y ﹣y ，求w的最小值；
1 2 1 2
【分析】（1）将y ＝y ＝4时代入相应解析式计算即可；
2 1
（2）由x +x ＝0，则x ＝﹣x ，将w化为自变量为x 的二次函数，求出最小值．
1 2 1 2 1
【解答】解：（1））函数 ，
由题意可知 ，y ＝﹣x ，
2 2
∵y ＝y ＝4，
2 1
∴ ，
解得x ＝2（负数舍去），
1
∴﹣x ＝4，
2
解得x ＝﹣4，
2
②∵x +x ＝0，
1 2
∴x ＝﹣x ，
1 2
∴ ，y ＝﹣x ＝x ，
2 2 1
∴ ，
∴当 时，w有最小值为 ．
18．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）点D在射线CO上，过点D作x轴的平行线交抛物线于点 E，F
（点E在点F的左侧），若EF＝CD，求点E的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，利用对称轴
公式求得对称轴即可；
（2）设点 E（m，﹣m2+2m+3），（m＜0），则 CD＝3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m，由轴对称性得FE＝2（1﹣m）＝2﹣2m，根据CD＝FE得出2﹣2m＝m2﹣2m，
解方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝1．
（2）设点E（m，﹣m2+2m+3），（m＜0），
∴由轴对称性得FE＝2（1﹣m）＝2﹣2m，
∵CD＝3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m，CD＝FE，
∴2﹣2m＝m2﹣2m，
解得 （舍去），
∴ ．
19．（10分）某商场销售一种季节性产品，以下是该产品在销售期（30天）内的部分信息：
①第x天（x为整数）的销量为（40+2x）千克；
②该产品前10天的售价都是50元千克，从第11天开始售价y（元千克）是第x天的一次函数，对应关
系如表：
第x天 15 20
售价y（元/千克） 45 40
（1）当11≤x≤30时，求出y与x的关系式；
（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？
【分析】（1）用待定系数法可得y与x的关系式；
（2）分1≤x≤10和11≤x≤30，分别求出销售额w的最大值，再比较即可得答案．
【解答】解：（1）当11≤x≤30时，设y与x的关系式为y＝kx+b，
将（15，45），（20，40）代入得：
，解得 ，
∴y＝﹣x+60（11≤x≤30）；
（2）当1≤x≤10时，w＝50（40+2x）＝100x+2000，
∵100＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴x＝10时，w最大为100×10+2000＝3000（元），
当11≤x≤30时，w＝（﹣x+60）（40+2x）＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴x＝20时，w取最大值3200，
∵3000＜3200，
∴x为20时日销售额w最大，最大为3200元．
20．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）．
（1）若该二次函数图象与x轴的一个交点是（﹣1，0）．
①求二次函数的表达式：
②当t≤x≤2﹣t时，函数最大值为M，最小值为N．若M﹣N＝3，求t的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点A（x ，y ），B（3，y ），当m≤x ≤m+1时，如终有y ≥y ．求m
1 1 2 1 1 2
的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；
②利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），再利用
t≤x≤2﹣t得t≤1，所以2﹣t≥1，根据二次函数的性质，当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣
4，当x＝t或t＝2﹣t时，函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，则t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，然后解方程即可；
（2）先利用二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c）得到b＝﹣2，则可求出抛物线的对称轴为直线
x＝1，根据二次函数的性质，点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，即|x ﹣1|≥|3﹣1|，
1
解得x ≤﹣1或x ≥3，然后利用m≤x ≤m+1得到m+1≤﹣1或m≥3，从而得到m的范围．
1 1 1
【解答】解：（1）①把（2，c），（﹣1，0）分别代入y＝x2+bx+c得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
②∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∵t≤x≤2﹣t，
∴t≤2﹣t，
解得t≤1，
∴2﹣t≥1，
∴当t≤x≤2﹣t时，x＝1时，函数有最小值﹣4，即N＝﹣4，
当x＝t或t＝2﹣t时，函数有最大值，即M＝t2﹣2t﹣3，
∵M﹣N＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，
解得t ＝1+ （舍去），t ＝1﹣ ，
1 2
∴t的值为1﹣ ；
（2）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2．c），
∴4+2b+c＝c，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（x ，y ），B（3，y ）在抛物线上，且y ≥y ，
1 1 2 1 2
∴点A到对称轴的距离大于或等于B点到对称轴的距离，
∴|x ﹣1|≥|3﹣1|，
1
∴x ≤﹣1或x ≥3，
1 1
∵m≤x ≤m+1，
1
∴m+1≤﹣1或m≥3，
解得m≤﹣2或m≥3．
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线G：y＝x2﹣2（k﹣1）x+k（k为常数）．
（1）若抛物线G经过点（2，k），求k的值；
（2）若抛物线G经过点（k+1，y ），（1，y ），且y ＞y ．求出k的取值范围；
1 2 1 2
（3）若将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为（m，n），当k≥0时，求n﹣m的最大
值．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据不等式求解即可；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2（k﹣1）x+k的图象经过（2，k），∴k＝4﹣4（k﹣1）+k，
∴k＝2；
（2）由题意，（k+1）2﹣2（k﹣1）（k+1）+k＞1﹣2（k﹣1）+k，
整理得，k2﹣4k＜0，
∴0＜k＜4；
（3）∵y＝x2﹣2（k﹣1）x+k的顶点坐标（k﹣1， ），
∴将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为（k， ），
∴n﹣m＝ ﹣k＝﹣k2+2k﹣1＝﹣（k﹣1）2，
∵﹣1＜0，
∴n﹣m有最大值，当k＝1时，最大值为0．
22．（12分）某医用商店用7320元购进甲、乙两种紫外线杀菌消毒灯各120台，已知乙消毒灯每台进价
比甲消毒灯每台进价多9元．经市场调查发现，甲消毒灯每天的销量 y （单位：台）与售价x（单位：
1
元）的函数关系为y ＝﹣2x+109，乙消毒灯每天的销量y （单位：台）与售价z（单位：元）的函数关
1 2
系为y ＝﹣z+78，其中x，z均为整数．商店按照每台甲消毒灯和每台乙消毒灯的利润相同的标准确定
2
销售单价，并且销售单价均高于进价．
（1）求甲、乙两种消毒灯每台的进价；
（2）当甲消毒灯的销售单价为多少元时，两种消毒灯每天销售的总利润相同？
（3）当这两种消毒灯每天销售的总利润之和最大时，直接写出此时甲消毒灯的销售单价．
【分析】（1）设甲种消毒灯单价为x元/对，则乙种消毒灯的单价为（x+9）元/对，根据用7320元购进
甲、乙消毒灯各120对，列方程可解；
（2）利用总利润等于每台消毒灯的利润乘以卖出的消毒灯的实际数量，可以列出甲、乙两种消毒灯的
利润与单价的函数解析式，再列方程可得答案；
（3）设总利润为w元，根据题意得到w关于x的关系式，由函数为开口向下的二次函数，可知有最大
值．
【解答】解：（1）设甲种消毒灯进价为x元/对，则乙种消毒灯的进价为（x+9）元/台，
由题意得：120x+120（x+9）＝7320，解得x＝26，
∴x+9＝26+9＝35，
答：甲种消毒灯单价为26元/对，乙种消毒灯的单价为35元/台；
（2）设甲种消毒灯每天的销售利润为w ，乙种消毒灯每天的销售利润为w ，
1 2
则w ＝（x﹣26）（﹣2x+109）
1
＝﹣2x2+161x﹣2834，
w ＝（z﹣35）（﹣z+78）
2
＝﹣z2+113z﹣2730，
∵商场按照每对甲消毒灯和每对乙消毒灯的利润相同的标准确定销售单价，
∴z＝35+x﹣26＝x+9，
∴w ＝﹣（x+9）2+113（x+9）﹣2730
2
＝﹣x2+95x﹣1794，
当总利润相同时，
﹣2x2+161x﹣2834
＝﹣x2+95x﹣1794，
解得：x ＝26（舍去），x ＝40．
1 2
答：当甲消毒灯的销售单价为40元时，两种消毒灯每天销售的总利润相同；
（3）设这两种消毒灯每天销售的总利润为w元，
则w＝﹣2x2+161x﹣2834﹣x2+95x﹣1794
＝﹣3x2+256x﹣4628，
∵﹣3＜0，
∴当x＝﹣ ＝ ＝ 时，w最大，
答：此时甲的销售单价为 元/台．
23．（12分）如图，抛物线 与抛物线 相交于点T，点T的横坐标
为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C 于点A，交抛物线C 于点B．抛物线C 与C 分别与y轴交于
1 2 1 2
点C，D．
（1）求抛物线C 的对称轴和点A的横坐标；
1
（2）求线段AB和CD的长；
（3）点P（﹣2，p）在抛物线C 上，点Q（5，q）在抛物线C 上，
1 2请比较p与q的大小关系并说明理由．
【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线C 的对称轴，以及A，B关于对称轴x＝﹣1对称和点T的
1
横坐标直接求出点A的横坐标；
（2）求出A，B和C，D的坐标即可求出AB和CD的长；
（3）根据图象和点P和Q的坐标直接可以判断．
【解答】解：（1）抛物线C 的对称轴为x＝﹣ ＝﹣1，
1
∵AB∥x轴，
∵点A与点T关于对称轴x＝﹣1对称，
∴点A的横坐标为﹣3；
（2）∵抛物线C 的对称轴为x＝﹣ ＝2，
2
∵AB∥x轴，
∴点B与点T关于对称轴x＝2对称，
∴点B的横坐标为3，
∴AB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6；
∵点T是抛物线C 与抛物线C 的交点，
1 2
∴1+2+c＝1﹣4+d，
∴c＝d﹣6，
令x＝0，则C（0，c），D（0，d），
∴CD＝d﹣c＝d﹣（d﹣6）＝d﹣d+6＝6；
（3）根据A，T，B的横坐标以及函数图象可知，点P在AB下方，点Q在AB上方，
∴p＜q．
24．（14分）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣ ）两点，与x轴的另一个交点为
A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐
标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即
可；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于
点N，求出直线BC的解析式，设M（m，﹣
m2+m+ ），则N（m，﹣ m+ ），可得S△MBC ＝ •MN•OB＝﹣ （m﹣ ）2+ ，再求解即可；
（3）设Q（0，t），P（m，﹣ m2+m+ ），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；
②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相
平分，利用中点坐标公式求解即可．
【解答】解：（1）将B（3，0），D（﹣2，﹣ ）代入y＝ax2+x+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+x+ ，
令x＝0，则y＝ ，
∴C（0， ）；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得 ，
∴y＝﹣ x+
设M（m，﹣ m2+m+ ），则N（m，﹣ m+ ），
∴MN＝﹣ m2+ m，
∴S△MBC ＝ •MN•OB＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
当t＝ 时，△MBC的面积有最大值 ，
此时M（ ， ）；
（3）令y＝0，则﹣ x2+x+ ＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
设Q（0，t），P（m，﹣ m2+m+ ），
①当AB为平行四边形的对角线时，m＝3﹣1＝2，
∴P（2， ）；
②当AQ为平行四边形的对角线时，3+m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣ ）；
③当AP为平行四边形的对角线时，m﹣1＝3，
解得m＝4，
∴P（4，﹣ ）；
综上所述：P点坐标为（2， ）或（﹣4，﹣ ）或（4，﹣ ）．
