文档内容
第十八章 四边形中的最值模型【2 个类型 30 道题】
【人教版】
【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值·15题】...............................................................................1
【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值·15题】.........................................................19
【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值·15题】
【模型一】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
B
B A
A
P
P A'
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【模型二】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
A A
P'
M M
P P
B B
O N O N
P''
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折
线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
【模型三】
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。A A
P'
M P M P
Q Q
B B
O N O N
Q'
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化
折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
【练习】
1．如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，
则BF+DE的最小值为（ ）
A．❑√2 B．❑√3 C．❑√5 D．❑√6
【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称
点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【解答】解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．
在Rt△ADH中，AD＝1，AH＝2，
∴DH=❑√AH2+AD2=❑√5，
∴BF+DE最小值为❑√5．
故选：C．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝BQ，连接CP、QA，
则PC+QA的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，PC+QA＝PC+PB，则PC+QA的
最小值转化为 PC+PB 的最小值，在 BA 的延长线上截取 AE＝AB＝6，则 PC+QD＝PC+PB＝
PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【解答】解：如图，连接BP，PQ，在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AP∥BQ，
∵AP＝BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴四边形ABQP是矩形，
∴QA＝PB，
则PC+QA＝PC+PB，则PC+QA的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，
∴CE=❑√BE2+BC2=13．
∴PC+QA的最小值为13．
故选：D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，
则四边形APQE周长的最小值为（ ）
A．10+2❑√26 B．10+2❑√13 C．12+2❑√26 D．2❑√26
【分析】过点P作PM∥QE，过点E作EF∥BC交AB于N，PM于M，作A点关于BC的对称点A'，当
A'、P、M三点共线时，AP+QE的最小值为A'M，于是得到结论．
【解答】解：过点P作PM∥QE，过点E作EF∥BC交AB于N，PM于M，作A点关于BC的对称点A'，
当A'、P、M三点共线时，四边形APQE的周长最小，
由对称性可知，AP＝A'P，
∵四边形PMEQ为平行四边形，
∴PM＝QE，
∵四边形APQE的周长＝AP+PQ+QE+AE＝AE+PQ+A'P+PM＝AE+PQ+A'M，
此时四边形APQE的周长最小值为AE+PQ+A'M，
∵AB＝4，BC＝10，E为CD边的中点，
∴CE＝BN＝2，NE＝BC＝10，A'B＝4，
∵PQ＝2，
∴ME＝2，
∴MN＝8，
∴A'N＝6，
∴AE=❑√AD2+DE2=2❑√26，
在Rt△A'MN中，A'M=❑√A′N2+M N2=10，
∴四边形APQE周长的最小值为10+2+2❑√26=12+2❑√26，
故选：C．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC，CD边上的动点，连接AE，BF交于点G，连
接DG，点M，N分别为CD，DG的中点，连接MN．若AE＝BF，则MN的最小值为（ ）❑√5−1 3 ❑√3−1 1
A． B． C． D．
2 2 2 2
【分析】由正方形的性质易证△ABE≌△BCF（HL），则有AE⊥BF，取AB的中点O，连接OG、
CG、OC，根据三角形三边关系定理可得CG≥OC﹣OG，进而根据三角形中位线定理即可进行求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴AB＝BC＝DC＝2，∠ABE＝∠C＝90°，
∵AE＝BF，
∴△ABE≌△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，即∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，
取AB的中点O，连接OG、CG、OC，
1
∴OC=❑√12+22=❑√5，OG= AB＝1，
2
∵CG≥OC﹣OG，
∴当点G在线段OC上时，CG取得最小值，
∴CG最小值为❑√5−1，
∵点M，N分别为DG，CD的中点，
1
∴MN= CG，
2
❑√5−1
∴MN的最小值为 ．
2
故选：A．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2❑√3，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝
DF，则DE+CF的最小值为（ ）
A．2 B．2❑√3 C．4 D．2❑√5
【分析】依据题意，延长 DA 到 G，使 DG＝DB，连接 FG，CG，由四边形 ABCD 是矩形，从而
AD∥BC，AD=BC=2❑√3，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°，先证△DGF≌△BDE，进而FG＝
DE，故DE+CF＝FG+CF，所以当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG，最后利用勾股定
理进行计算可以得解．
【解答】解：延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=2❑√3，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°．
∴∠GDF＝∠DBE．
∵DF＝BE，DG＝BD，
∴△DGF≌△BDE（SAS）．
∴FG＝DE，
∴DE+CF＝FG+CF，
∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG．
∴DE+CF最小值为CG．∵∠BAD＝90°，
∴BD=❑√AB2+AD2=❑√22+(2❑√3) 2=4．
在Rt△GDC中，GD＝BD＝4，∠GDC＝90°，
∴GC=❑√GD2+CD2=❑√42+22=2❑√5．
∴DE+CF最小值为2❑√5，
故选：D．
6．如图，在边长为10的正方形ABCD对角线上有E、F两个动点，AB=❑√2EF，点P是BC中点，连接
AE、PF，则AE+PF的最小值为（ ）
A．5❑√5 B．10❑√5 C．5❑√2 D．10
【分析】设 CD 的中点 Q，连接 PQ，EQ，先求出BD=10❑√2，证 PQ 是△CBD 的中位线，得
1
PQ∥BD，PQ= BD=5❑√2，再结合已知条件可判定四边形PQEF为平行四边形，进而得求AE+PF就
2
是求AE+QE的最小值，然后根据线段的性质可得AE+EQ为最小即为线段AQ的长，最后运用勾股定理
求出AQ即可．
【解答】解：设CD的中点Q，连接PQ，EQ，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为10，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∠ADC＝∠DAB＝90°，在Rt△ABD中，AB＝AD＝10，
由勾股定理得：BD=❑√AD2+AB2=10❑√2，
∵点P为BC的中点，点Q为DC的中点，
∴PQ是△CBD的中位线，
1
∴PQ∥BD，PQ= BD=5❑√2，
2
又∵AB=❑√22EF，
AB 10
∴EF= = =5❑√2，
❑√2 ❑√2
∴PQ＝EF，
∴四边形PQEF为平行四边形，
∴PF＝EQ，
要求AE+PF的最小值，只需求出AE+QE的最小值即可，
根据“两点之间线段最短”得：AE+EQ≥AQ，
∴当A，E，Q在同一条直线上时，AE+EQ为最小，最小值为线段AQ的长，
∵BD＝10，点Q时CD的中点，
∴DQ＝5，
在Rt△ADQ中，DQ＝5，AD＝10，
由勾股定理得，AQ=❑√AD2+DQ2=5❑√5．
故选：A．
7．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与
1
DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝3GB，则OM+ FG的最小值是（ ）
2
A．❑√41 B．8❑√2 C．6 D．10
【分析】先证明△DAE≌ABF（SAS），得到∠DOF＝90°，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾
股定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝∠FBN＝90°，
在Rt△DAE和Rt△ABF中，
{
DA=AB
)
∠DAE=∠ADF ，
AE=BF
∴Rt△DAE≌Rt△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠DAO+∠BAF＝90°，
∴∠DAO+∠ADE＝90°，
∴∠DOF＝90°，
∵点M是DF的中点，
1
∴OM= DF，
2
如图，延长GB到点N，使得GB＝BN，连接DN，
∴FG＝FN，
1 1
∴OM+ FG= (DF+FG)，
2 2
1 1
∴OM+ FG= (DF+FN)，
2 2
∵DF+FN≥DN，
∴当D，F，N三点共线时，DF+FN取得最小值，
∵正方形ABCD的边长为8，即AB＝8，AG＝3GB，
∴AG＝6，GB＝BN＝2，
∴AN＝AB+BN＝10，
在直角三角形ADN中，由勾股定理得：DN=❑√DA2+AN2=2❑√41，
1 1
∴OM+ FG= DN=❑√41，
2 21
故OM+ FG的最小值是❑√41，
2
故选：A．
8．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝120°，点M为菱形ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝4，点
H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 ．
【分析】取 BC 中点 K，连接 MK，过 D 作 DN⊥BC 交 BC 的延长线于 N，判定△CBH≌△MBK
1
（SAS），推出MK＝CH，得到DM+CH＝DM+MK，由含30度角的直角三角形的性质得到CN= CD＝
2
2，DN=❑√3CN＝2❑√3，由勾股定理求出DK＝2❑√7，由三角形三边关系定理得到DM+MK≥DK，即可得
到DM+CH的最小值．
【解答】解：取BC中点K，连接MK，过D作DN⊥BC交BC的延长线于N，
1
∴BK= BC，
2
∵H是MB中点，
1
∴BH= BM，
2
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，
∴CD＝BC＝BM＝4，∠BCD＝∠A＝120°，
∵∠CBH＝∠MBK，
∴△CBH≌△MBK（SAS），
∴MK＝CH，
∴DM+CH＝DM+MK，
∵∠DCN＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDN＝90°﹣60°＝30°，
1
∴CN= CD＝2，DN=❑√3CN＝2❑√3，
2
1
∵CK= BC＝2，
2∴NK＝CK+CN＝4，
∴DK=❑√DN2+N K2=2❑√7，
∵DM+MK≥DK＝2❑√7，
∴DM+CH≥2❑√7，
∴DM+CH的最小值为2❑√7．
故答案为：2❑√7．
9．如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最
大值是 ．
【分析】将△BDA绕点D顺时针旋转90°，得△ADM是等腰直角三角形，当AM最大时，AD值最大，
在△ACM中，AM≤AC+CM，得AM最大值为8，即可求解．
【解答】解：将△BDA绕点D顺时针旋转90°，
CM＝AB＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
AM ❑√2
∴AD= = AM，
❑√2 2
∴当AM最大时，AD值最大，
在△ACM中，AM≤AC+CM，
∴AM≤8，
∴AM最大值为8，
❑√2
∴AD最大值为 ×8＝4❑√2，
2
故答案为：4❑√2．10．如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝5，M，N分别为边CD，AB上的动点，
且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为 ．
【分析】过点D作DH∥MN交AB于H，过M作MG∥NE，过作EG∥MN交MG于G，连接AG，根据
正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形NEGM和四边形DHNM是平行四边形得到EG
＝MN＝DH，MG＝NE，EG＝MN，由AM+NE＝AM+MG≥AG得当A、M、C共线时取等号，即最小值
为AG的长，证明Rt△ABE≌Rt△DAH（ASA）得到EG＝MN＝DH＝AE＝13，进而利用勾股定理求解
AG即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH∥MN交AB于H，过M作MG∥NE，过作EG∥MN交MG于G，连
接AG，
∴四边形NEGM是平行四边形，DH∥MN∥EG，
∴MG＝NE，EG＝MN，
∴AM+NE＝AM+MG≥AG．
∴当A、M、G共线时取等号，即最小值为AG的长．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝12，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝AD＝12，∴AE=❑√AB2+BE2=13．
∵MN⊥AE，DH∥MN∥EG，
∴∠AEG＝90°，∠BAE＝∠ADH＝90°﹣∠EAD．
{∠ABE=∠DAH=90°
)
在Rt△ABE和Rt△DAH中， AB=AD ，
∠BAE=∠ADH
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴DH＝AE＝13．
∵DH∥MN，HN∥DM，
∴四边形DHNM是平行四边形，
∴EG＝MN＝DH＝13，
∴在Rt△AEG中，AG=❑√AE2+EG2=13❑√2，即AM+EN的最小值为13❑√2．
故答案为：13❑√2．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，
DF，则CE+DF的最小值为 ．
【分析】先连接BE，将CE+DF转化为CE+BE，再利用将军饮马解决问题即可．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，
∴CE+DF＝CE+BE，
如图，作点B关于A点的对称点B'，连接CB'，CB'即为CE+BE的最小值，
∵AB＝1，AD＝2，
∴BB'＝2，BC＝2，
∴B′C=❑√BB′2+BC2=❑√22+22=2❑√2，
故答案为：2❑√2．
12．如图，菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长AB=❑√10，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N
为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为 ．
【分析】连接AC，交BD于点O，连接ON，易得ON是△BDM的中位线，得到ON∥BM，取OD的中
点E，连接CE，NE，得到CN≤CE+NE，得到当C，N，E三点共线时，CN最长，进行求解即可．
【解答】解：连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长AB=❑√10，
1
∴AC⊥BD，OD= BD＝3，CD=❑√10，
2
∴OC=❑√CD2−OD2=1，∵N为MD中点，
∴ON∥BM，
∵BM⊥DM，
∴ON⊥DM，
∴∠OND＝90°，
取OD的中点E，连接CE，NE，
1 3 ❑√13 1 3
则：OE= OD= ，CE=❑√OC2+OE2= ，NE= OD= ，
2 2 2 2 2
∵CN≤CE+NE，
❑√13 3 ❑√13+3
∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为CE+EN= + = ；
2 2 2
❑√13+3
故答案为： ．
2
13．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最
小值是 ．
【分析】以DA、DB为邻边构造 ADBM，再利用含30°的Rt△得AN＝3，CN＝3❑√3，再利用勾股定理
得CM＝2❑√7．最后利用三角形三▱边关系计算即可．
【解答】解：以DA、DB为邻边构造 ADBM，过C作CN⊥AM．
▱
∴AM＝DB＝4，BM＝AD，∠NAC＝∠COB＝180°﹣∠DOC＝60°，1
∴AN= AC＝3，
2
∴CN=❑√3AN＝3❑√3，
∴NM＝AM﹣AN＝1，
∴CM=❑√CN2+N M2=2❑√7．
∵BC+BM≥CM，
∴AD+BC＝BM+BC最小值＝2❑√7．
14．如图，正方形ABCD边长为1，点M，N分别是边AD，CD上的动点且AM＝CN，作NP⊥BM于点
P，则AP的最小值是 ．
【分析】延长PN，BC交于点H，由正方形ABCD边长为1，AM＝CN，NP⊥BM，得∠H＝90°﹣∠PBH
1
＝∠ABM，又由∠NCH＝90°＝∠BAM，得△NCH≌△BAM，得CH＝AB＝BC，得PC= BH＝BC＝1，
2
即可得AP≥AC﹣PC=❑√2−1．
【解答】解：延长PN，BC交于点H，
由正方形ABCD边长为1，AM＝CN，NP⊥BM，
得∠H＝90°﹣∠PBH＝∠ABM，
又由∠NCH＝90°＝∠BAM，
得△NCH≌△BAM，
得CH＝AB＝BC，
1
得PC= BH＝BC＝1，
2
由AP≥AC﹣PC=❑√2−1．
得AP的最小值是❑√2−1．
故答案为：❑√2−1．15．如图，在 ABCD中，AE为BC边上的高，点F和点G分别为高AE和边CD上的动点，且AF＝DG．
若AB＝5，▱BC＝4，∠ADC＝60°，则BF+AG的最小值为 ．
【分析】作辅助线构造全等三角形是解题的关键；过点 D作DM⊥AD，且DM＝AB＝5，分别连接
AM，GM；证明△ABF≌△DMG，则有GM＝BF，故BF+AG＝GM+AG≥AM，当点G在AM上时，
BF+AG取得最小值，且最小值为线段AM的长，在Rt△ADM中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥AD，且DM＝AB＝5，分别连接AM，GM；
则∠ADM＝90°，
∴∠MDG＝∠ADM﹣∠ADC＝30°；
在 ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，AD＝BC，
∴▱∠BAD＝180°﹣∠ADC＝120°，∠DAE＝∠AEB；
∵AE⊥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∴∠BAF＝∠BAD﹣∠DAE＝30°＝∠MDG；
∵AB＝DM，AF＝DG，
∴△ABF≌△DMG（SAS），
∴GM＝BF，
∴BF+AG＝GM+AG≥AM，
当点G在AM上时，BF+AG取得最小值，且最小值为线段AM的长；
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=❑√AD2+DM2=❑√42+52=❑√41，即BF+AG的最小值为❑√41．
故答案为：❑√41．
【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值·15题】
【模型】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
A A
P'
M
P M P
B B
O N O N
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线
分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
【练习】
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点G是线段BD上的动点，点M是线段CD上的动点，点
E，F分别是线段AM，GM的中点，则线段EF的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】先利用菱形的性质求出 AO＝3，根据垂线段最短可知 AG ＝AO，根据中位线的性质可知
min
1
EF= AG从而得解．
2【解答】解：连接AG、AC，AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
1
∴AC⊥BD，BO= BD=4，
2
又∵AB＝5，
∴AO=❑√AB2−BO2=3，
∵点G是线段BD上的动点，AC⊥BD，
∴AG ＝AO＝3，
min
∵点E，F分别是线段AM，GM的中点，即EF是△AMG的中位线，
1
∴EF= AG，
2
1
∴EF = AG =1.5，
min 2 min
故选：B．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．
连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（
）
A．2 B．2❑√3−2 C．❑√3 D．4−❑√3
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出
1
AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF= AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
2【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC=4❑√3，
在Rt△ACN中，AC=4❑√3，∠ACN＝∠DAC＝30°，
1
∴AN= AC=2❑√3，
2
∵AE＝EH，GF＝FH，
1
∴EF= AG，
2
∵点G在BC上，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为4❑√3，最小值为2❑√3，
∴EF的最大值为2❑√3，最小值为❑√3，
∴EF的最大值与最小值的差为：❑√3
故选：C．
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，则EF的最
小值是（ ）A．2 B．3 C．2❑√5 D．3❑√3
【分析】连接AC，过点C作CG⊥AD于点G，根据菱形的性质，证明△ABC和△ADC是等边三角形，
根据三线合一的性质和勾股定理，求得CG=3❑√3，再利用三角形的三边关系，得出 CF的最小值为
3❑√3，证明△ACE≌△DCF（SAS），进而推出△CEF是等边三角形，即可求出EF的最小值．
【解答】解：如图，连接AC，过点C作CG⊥AD于点G，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，AB＝6，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠B＝∠D＝∠BAC＝∠CAD＝60°，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠ACB＝60°，
∵CG⊥AD，
1
∴AG= AD=3，
2
在Rt△ACG中，CG=❑√AC2−AG2=3❑√3
∵CF≥CG，
∴CF的最小值为3❑√3，
在△ACE和△DCF中，
{
AE=DF
)
∠EAC=∠D ，
AC=CD
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴∠ACE＝∠DCF，CE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠DCF+∠ACF＝∠ACD＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF，
∴EF的最小值为3❑√3，
故选：D．4．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合）．PE⊥OA
于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝8，∠BAD＝60°，则线段EF长度的最小值为（ ）
A．2❑√3 B．2❑√2 C．4❑√3 D．4❑√2
【分析】连接OP，证明四边形OEPF是矩形，得到：EF＝OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，利用
1 1
⋅OA⋅OB= ⋅OP⋅AB，求出OP的最小值即可．
2 2
【解答】解：连接OP，
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP⊥AB时，OP的值最小，
∵AB＝8，∠BAD＝60°，则∠OAB＝30°
∴OB＝4，AO=4❑√3，
1 1
∵ ⋅OA⋅OB= ⋅OP⋅AB，
2 2
∴OP=2❑√3，即EF的最小值为：2❑√3，
故选：A．
5．如图，AB＝40❑√2，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，
DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接
OB，则线段BO的最小值为（ ）A．20❑√2 B．20 C．40❑√2 D．40
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O
一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30
度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．
【解答】解，∵四边形CDGH是矩形，
1 1
∴CG＝DH，OC= CG，OD= DH，
2 2
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∵OA＝OA，
∴△ACO≌△ADO，
1
∴∠OAB＝∠CAO= ×60°＝30°，
2
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
1 1
∴OB= AB= ×40❑√2=20❑√2，
2 2
即OB的最小值为20❑√2，
故选：A．
6．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连
接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（ ）
A．4 B．2❑√3 C．2❑√2 D．2【分析】由SAS可证△ADE和△CDG全等得AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，由此得当点E与点A重
合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段AC上运动时，点G
在线段CK上运动，根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短，即当点G与点T重合时，
MG为最小，最小值为线段MT的长，由∠DAC＝45°，MT⊥CK得△CMT为等腰直角三角形，由等腰直
角三角形的性质可得GH的最小值．
【解答】解：连接CG并延长与AD的延长线交于点K，过点M作MT⊥CK于T，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，
∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝60°，∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
{
AD=CD
)
∠ADE=∠CDG ，
DE=DG
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，
∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，
即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动，
根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短，
即当点G与点T重合时，MG为最小，最小值为线段MT的长．
∵∠DAC＝45°，MT⊥CK，
∴△CMT为等腰直角三角形，即MT＝CT，
∵AB＝8，点M为CD的中点，
∴MC＝4，
由勾股定理得：MT2+CT2＝MC2，
∴2MT2＝16，
∴MT＝2❑√2．
∴GM的最小值为2❑√2，
故选：C．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上
一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF的最小值为（ ）
15 5 3 3
A． ❑√3 B． ❑√3+1 C．4❑√3− D． ❑√3+3
4 2 2 2
【分析】延长BC到点G，使CG＝BD，作直线FG，作BH⊥FG于点H，由∠ACB＝90°，∠DAC＝
30°，得AD＝2CD，则AC=❑√3CD＝3，求得CD=❑√3，则CG＝BD＝4−❑√3，所以BG＝8−❑√3，再证明
1 ❑√3
四边形 DGFE 是平行四边形，则 FG∥DE，可证明∠GBH＝30°，则 GH= BG＝4− ，而 BG＝
2 2
3 3
2GH，则BH=❑√3GH＝4❑√3− ，所以BF的最小值为4❑√3− ，于是得到问题的答案．
2 2
【解答】解：延长BC到点G，使CG＝BD，作直线FG，作BH⊥FG于点H，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠DAC＝30°，
∴AD＝2CD，
∵AC=❑√AD2−CD2=❑√(2CD) 2−CD2=❑√3CD＝3，
∴CD=❑√3，
∴CG＝BD＝4−❑√3，
∴BG＝BC+CG＝4+4−❑√3=8−❑√3，
∵四边形BCFE是平行四边形，
∴BC∥EF，BC＝EF，
∵DG∥EF，DG＝CG+CD+BD+CD＝BC＝EF，
∴四边形DGFE是平行四边形，
∴FG∥DE，∴点F在经过点G且与DE平行的直线上运动，
∵∠BHG＝90°，∠BGH＝∠ADG＝90°﹣∠DAC＝60°，
∴∠GBH＝90°﹣∠BGH＝30°，
1 1 ❑√3
∴GH= BG= ×（8−❑√3）＝4− ，
2 2 2
∵BG＝2GH，
❑√3 3
∴BH=❑√BG2−GH2=❑√(2GH) 2−GH2=❑√3GH=❑√3×（4− ）＝4❑√3− ，
2 2
∵BF≥BH，
3
∴BF≥4❑√3− ，
2
3
∴BF的最小值为4❑√3− ，
2
故选：C．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DAC＝30°，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，
连接BP，取BP的中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（ ）
2❑√3 4❑√3
A．1 B． C．2 D．
3 3
【分析】延长PG至点Q，使得GQ＝PG，连接AQ、BQ，可得∠QAP＝60°，进一步可得∠BAQ＝
1
30°；根据EG= BQ可知当BQ⊥AQ时，EG有最小值，据此即可求解．
2
【解答】解：延长PG至点Q，使得GQ＝PG，连接AQ、BQ，如图所示：∵PG⊥AC，GQ＝PG，
∴AG垂直平分PQ，
∴AP＝AQ，∠QAP＝∠DAC＝30°，
∴∠QAP＝60°，
∴∠BAQ＝90°﹣∠QAP＝30°，
∵BP的中点为点E，GQ＝PG，
1
∴EG= BQ，
2
∵∠BAQ＝30°，AB＝4，
1
∴当BQ⊥AQ时，BQ有最小值，最小值为 AB=2，
2
1
此时EG也最小，最小值为 BQ=1．
2
故选：A．
9．如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线交点O为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形CDEF
的边交于A、B两点，则线段AB，的最小值为 ．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD＝∠ODB＝45°，正方形的对角线互相垂直平
分且相等可得∠COD＝90°，OC＝OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA＝∠DOB，再利用“ASA”
证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得 OA＝OB，从而得到△AOB是等腰直角三
角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等
于直角边的❑√2倍解答即可．
【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，
∴∠COA＝∠DOB，
在△COA和△DOB中，
{∠OCA=∠ODB
)
OC=OD ，
∠AOC=∠DOB
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB=❑√OA2+OB2=❑√2OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴OC＝OD，OC⊥OD，
1
∴CA=DA= CD=1，
2
∴AB=❑√2OA=❑√2．
故答案为：❑√2．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E是BC边上的动点（E可以和B，C重合），连接DE，AE，过D
点作AE的垂线交线段AB于点F，现以DF，DE为邻边构造平行四边形DFGE，连接BG，则BG的最
小值是 ．
【分析】求出∠AEB＝∠AFD，证明△ABE≌△DAF（AAS），可得AE＝DF，然后根 据平行四边形的
性质得出△AEG是等腰直角三角形，再取临界情况，判断出点G在G G 上运动，当BG⊥G G 时，BG
1 2 1 2取最小值，然后证明ΔG BG 是直角边为1的等腰直角三角形，再根据直角三角形 斜边中线的性质和勾
1 2
股定理计算即可．
【解答】解：当E不与B重合时，
∵正方形ABCD中，AB＝AD＝1，∠DAF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠AEB＝∠AFD，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF，
∵平行四边形DFGE中DF∥GE，DF＝GE，且 AE⊥DF，
∴AE⊥GE，AE＝GE，
∴△AEG是等腰直角三角形，
如图，当点F E 分别与A，B重合时，△ABG 是等腰直角三角形，
1 1 1
当点F ，E 分别与B，C重合时，△ACG 是等腰直角三角形，
2 2 2
∵点E在BC边上运动，
∴点G在G G 上运动，
1 2
∴当BG⊥G G 时，BG取最小值，
1 2
∵AB＝1，AG ⊥BC，
2
∴BG ＝AB＝1，AB＝BG ＝1，
1 2
1 1 ❑√2
∴△G BG 是直角边为1的等腰直角三角形，BG= G G = ×❑√12+12= ，
1 2 2 1 2 2 2
❑√2
故答案为： ．
211．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，BC=2❑√6，点E、F分别是AD、BC边上的两个动点，连接
AF，EF，若FA平分∠BFE，则AE的最小值为 ．
【分析】过点B作BG⊥AD于点G，由菱形的性质得出AD∥BC，AD=BC=AB=CD=2❑√6，求出
AG=❑√6，BG=3❑√2．根据菱形的性质及角平分线得到∠DAF＝∠AFE，推出 AE＝EF．得出当
EF⊥AD时，EF最小，即AE最小．
【解答】解：过点B作BG⊥AD于点G，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°
∴AD∥BC，AD=BC=AB=CD=2❑√6，
∴∠BAD＝60°，∠ABG＝30°，∠AFB＝∠DAF，
∴AG=❑√6，BG=❑√AB2−AG2=3❑√2，
∵FA平分∠BFE，
∴∠AFB＝∠AFE，
∴∠DAF＝∠AFE，
∴AE＝EF，
当EF⊥AD时，EF最小，即AE最小，
∴AE的最小值=BG=3❑√2．
故答案为：3❑√2．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点F在AB上，AF＝1，点E是CD上的动点，连接AE，点
G是AE的中点，连接FG，则FG的最小值为 ．【分析】首先判断出点G的运动轨迹是线段MN，过点F作FH⊥MN于点H，则FH为FG的最小值．
【解答】解：连接AC，BD交于点N，过点N作NM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴AC=BD，AN= AC，DN= BD，
2 2
∴AN＝DN，
∵MN⊥AD，
∴AM＝DM，
∴点M是AD的中点，
∵点N是AC的中点，
∴MN是△ADC的中位线，
∴MN∥DC，
∵G为AE的中点，
∴MG是△ADE的中位线，
∴MG∥DE，即MG∥DC，
∴点G在MN上，
过点F作FH⊥MN于点H，
根据题意知，点G的运动轨迹是线段MN，由“垂线段最短”知FH为FG的最小值，
∵点M是AD的中点，
1 3
∴AM=DM= AD= ，
2 2
又∠MAB＝∠AMH＝∠FHM＝90°，
∴四边形AMHF是矩形，3
∴FH=AM= ，
2
3
∴FG的最小值为 ，
2
3
故答案为：
2
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，点M、N分别是AD、AB上的动点，且△CMN为等边三
角形，则△AMN面积的最大值为 ．
【分析】连接 AC，过点 C 作 AD⊥CG 于点 G，MN⊥CH 于 点 H，证明△ADC 是等边三角形，
△DCM≌△ACN，得到 S =4❑√3−S ，利用等边三角形的性质，垂线段最短，勾股定理解答
△AMN △CMN
即可．
【解答】解：如图，连接AC，过点C作AD⊥CG于点G，MN⊥CH于点H，
∵菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，
∴AD＝CD＝AB＝4，∠DCG＝30°，∠DAC＝∠BAC＝60°，
1
∴△ADC是等边三角形，DG= CD=2，CG=❑√CD2−DG2=2❑√3，
2
1 1
∴S = AD⋅CG= ×4×2❑√3=4❑√3；
△ADC 2 2
∴AD＝CD＝AB＝AC＝4，∠ACD＝60°，
∵△CMN为等边三角形，
∴CM＝MN＝CN，∠NCM＝∠CMN＝∠CNM＝60°，
∴∠DCM＝60°﹣∠ACM＝∠ACN，{
AC=DC
)
∵ ∠ACN=∠DCM ，
CN=CM
∴△DCM≌△ACN（SAS），
∴S△DCM ＝S△ACN S△DCM +S△ACM ＝S△ACN +S△ACM ．
∴S△ADC ＝S四边形ANCM ＝S△AMN +S△CMN ，
∴S△AMN ＝S△ADC ﹣S△CMN S
△AMN
=4❑√3−S
△CMN
′
∵△CMN为等边三角形，
∴CM＝MN＝CN，∠NCM＝∠CMN＝∠CNM＝60°，
∴∠MCH＝30°，
1 ❑√3
∴MH= CM CH=❑√CM2−M H2= CM，
2 2
1 ❑√3
∴S = MN⋅CH= CM2 ；
△MNC 2 4
当CM最小时，S△MNC 最小，S△AMN 取得最大值，
根据垂线段最短，得当CM与CG重合时，CM最小，
此时CM=CG=2❑√3，
❑√3
∴S =4❑√3− ×(2❑√3) 2=❑√3，
△AMN 4
故答案为：❑√3．
14．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝120°，CD=CB=2❑√3，点E为BC的中点，连接AE，点F
为线段AE上的一个动点，连接DF，则线段DF长度的最小值为 ．
【分析】连接DE，BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AD＝CD
1
＝BC＝2❑√3，根据等边三角形的性质得到DE⊥BC，CE= BC=❑√3，根据勾股定理和三角形的面积公
2
式即可得到结论．
【解答】解：连接DE，BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝CB＝4，∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝BC＝2❑√3，
∵∠B＝120°，
∴△CDB是等边三角形，
∵点E为BC的中点，
1
∴DE⊥BC，CE= BC=❑√3，
2
∴DE=❑√3CE＝3，
∵AD∥BC，
∴DE⊥AD，
∴AE=❑√AD2+DE2=❑√(2❑√3) 2+32=❑√21，
当DF⊥AE时，线段DF长度的最小，
1 1
∵S△ADE =
2
AD⋅DE=
2
AE⋅DF，
3×2❑√3 6❑√7
∴DF= = ，
❑√21 7
6❑√7
故线段DF长度的最小值为 ，
7
6❑√7
故答案为： ．
7
15．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，点E、F分别为边AD、CD上的两个动点，始终保持
DE＝DF，连接BE、EF，取BE中点G并连接FG，则FG的最小值是 6 ．
【分析】过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长EF交DH于点M，连接BM，证明△DEF是等边1
三角形，得DE＝DF＝EF，∠DEF＝60°，再证明FG是△BEM的中位线，则FG= BM，当BM最小时
2
FG最小，进而由垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，然后在Rt△CDH中，求出CH的长，即可解
决问题．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长EF交DH于点M，连接BM，
在菱形ABCD中，∠A＝120°，AD∥BC，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠HDC＝90°﹣60°＝30°，
∵DE＝DF，∠ADC＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF＝EF，∠DEF＝60°，
∴∠MDF＝∠DMF＝30°，
∴FM＝FD＝EF，
∵EG＝BG，
∴FG是△BEM的中位线，
1
∴FG= BM，
2
∴当BM最小时FG最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，
在菱形ABCD中，AB＝8，
∴AB＝BC＝CD＝8，
在Rt△CDH中，∠HDC＝30°，
1
∴CH= CD＝4，
2
∴BH＝BC+CH＝8+4＝12，∴BM的最小值为12，
∴FG的最小值为6．
故答案为：6．
