文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果。
1、已知集合S＝，T＝{x|x＝4t＋1，t∈Z}，则两集合间的关系是：T S；
【提示】注意化简集合T、S；
【答案】T S
【解析】由题意，集合S＝＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，
⊆
又由集合T＝{x|x＝4t＋1，t∈Z}＝{x|x＝2×2t＋1，t∈Z}，所以T S.
⊆
2、已知向量 ，向量 ，则 .
【提示】注意用好向量数量积运算的坐标表示；
【答案】4；
【解析】由 ；
【说明】本题主要针对性地考查了平面向量的坐标表示与运算；
3、不等式 的解集为__________.
【提示】注意会解简单的绝对值不等式；
【答案】 ；
【解析】方法1：由 ，根据绝对值不等式的充要条件得 ，解得 ；
方法2：由不等式的性质，原不等式等价为 ，解得 ；
【说明】本题考查了简单的绝对值不等式的解法与不等式性质、数集的表示；
4、已知圆 ，其面积是 ，则 __________.
【提示】注意用好圆的标准方程；
【答案】【解析】由 ，得 ，
再由题设 ，解得 ；
【说明】本题考查了圆的标准方程、面积计算与基本数学运算；
5、已知事件 ､ 相互独立，事件 是 的对立事件，且 ， ，
则 __________.
【提示】先计算 ，再根据 ，计算得到答案；
【答案】
【解析】由 ，得 ，且事件A､B相互独立，
则 ，
故答案为：
6、已知x>2，则y＝x＋的最小值为__________.
【提示】注意：理解与应用“①一正，②二定，③三相等”；
【答案】6；
【解析】因为x>2，所以x－2>0，所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以y＝x＋的最小值为6.
7、若200辆汽车通过某段公路时的速度频率直方图如图所示，则速度在区间 内的汽车大约有
__________辆.
【提示】由频率分布直方图求出频率，即可估计数量；
【答案】
【解析】由频率分布直方图可知 所对应的频率为 ，所以速度在区间 内的汽车大约有 （辆）；故答案为： ；
8、已知 ，其中 ，
若存在 ，使得 成立，则 的最大值是__________.
【提示】注意理解二项式定理与用好赋值法；
【答案】49；
【解析】由题设，右边的通项公式为
，
；
所以，由题设得
因为， 恒正，所以，要使得 成立，
则 为奇数时，
即 为奇数，且 恒成立，
则等价为 ，又 是正整数，故 的最大值为49；
【说明】本题考查了对二项式定理的学习过程的理解；同时，考查了阅读理解与简单的分析转化；考查了
数学运算核心素养；略有新意的题，有点反套路的味道，与以往的赋值、取特殊值等考法不一样，结果来
了个利用通项公式展开进行等价；尽管仍是以求通项为背景，但求完通项后，需要借助数列奇偶项分类讨
论思想，并结合指数函数单调性解不等式；综合性比传统的二项式定理要强，但又都是基础的思想、方法
与知识。
9、已知函数 ，则不等式 的解集是__________.
【提示】作出函数 的图象，利用图象判断函数的单调性，再由函数的单调性可得出结论.【答案】 ；
【解析】作出函数 的图像如图所示，由图可知，函数 在R上单调递增，
因为 ，
所以 等价于 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 ．
10、某三位数密码，每位数字可在 这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同
的概率是__________.
【答案】
【解析】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在 数字中选取，
总的基本事件个数为1000，
其中恰有两位数字相同的个数为 ，
则其中恰有两位数字相同的概率是 ；
方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在 数字中选取，
总的基本事件个数为1000，
其中三位数字均不同和全相同的个数为 ，
可得其中恰有两位数字相同的概率是 ．
故答案为： ．
11、若|z －z|＝1，则称z 与z 互为“邻位复数”．已知复数z ＝a＋i与z ＝2＋bi互为“邻位复数”，a，
1 2 1 2 1 2
b∈R，则a2＋b2的最大值为__________.
【提示】注意：理解新定义；
【答案】8＋2.
【解析】由题意，|a＋i－2－bi|＝1，故(a－2)2＋(－b)2＝1，所以，点(a，b)在圆(x－2)2＋(y－)2＝1上，而表示点(a，b)到原点的距离，
故a2＋b2的最大值为： ；
【说明】本题考查了复数的模的拓展“复平面上两点间距离”与平面几何的整合；
12、已知正方体 的棱长为 2，动点 在正方形 内，则下列正确命题的序号是
__________.
①若 ，则三棱锥的 的外接球表面积为
②若 平面 ，则 不可能垂直
③若 平面 ，则点 的位置唯一
④若点 为 中点，则三棱锥 的体积是三棱锥 体积的一半
【提示】根据题意，建立空间直角坐标系并得出各点坐标，设 ，其中 ，由
，可知 ，设三棱锥的 的外接球的球心为 ，根据球心到球上
各点距离相等以及空间两点间的距离公式，可求出球心 的坐标，再利用球的表面积公式进行计算即可判
断命题①；
利用空间向量求法向量的方法求出平面 的法向量，有条件得出 ，利用向量的数量积运算得
出 ，进而求出 ，可知当 时 ，从而可命题②；
根据 平面 ，得出 ，再利用向量的数量积运算即可求出 和 的值，即可命
题③；
利用三棱锥体积公式和等体积法分别求出 和 ，
结合条件即可命题④；
【答案】③④
【解析】如图，建立空间直角坐标系：
则 ，由于动点 在正方形 内，可设 ，其中 ，
对于命题①选项，由于 ，则 为 的中点，此时 ，
设三棱锥的 的外接球的球心为 ，
则 ，即 ，
解得： ，所以 ，
则三棱锥的 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥的 的外接球表面积为 ，故命题①不正确；
对于命题②选项，设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，得 ，故 ，
而 ，若 平面 ，则 ，
则 ，即 ，所以 ，
此时 ，而 ，
所以 ，
当 时， ，此时 ，则 ，故命题②不正确；
对于命题③选项，若 平面 ，则 ，
由于 ， ，则 ，解得： 或 （舍去），
此时 ，即点 的位置唯一，使得 平面 ，故命题③正确；
对于命题④选项，点 为 中点，由正方体可知 平面 ，
三棱锥 的体积为： ，
由于 在正方形 内，则 到平面 为 ，
三棱锥 体积为： ，
而 ，所以 ，
所以三棱锥 的体积是三棱锥 体积的一半，故命题④正确.故选：③④；
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一
个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13、已知定义在R上的函数f(x)，若f(x)是奇函数，f(x＋1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 021)＝
（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2 0192
【答案】B
【解析】因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2).
又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
又当0≤x≤1时，f(x)＝x2，所以f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝1.
14、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理
得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】对于A，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入低于 4.5万元的农户比率估计为(0.02＋
0.04)×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入不低于10.5万
元的农户比率估计为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据频率分布直方图
可知，该地农户家庭年收入的平均值估计为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋
10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，故C错误；对于D，根据频率分布直方图可
知，该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%
＝64%＞50%，故D正确.
15、设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（ ）
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
【答案】A；
【解析】我们现在研究的平台是锥空间；如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，
与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
16、已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，若 ，则称项 为“和谐项”，则数
列 的所有“和谐项”的平方和为（ ）
A． B．
C． D．
【提示】根据 ，得 两式相减得 ，从而可得到数列的通项公式，根据“和谐项”的定义可得 ，然后利用等比数列的前 项和公式可得答案.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，即 ， ， ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ，
数列 的所有“和谐项”的平方和为：
，
故选：A.
【说明】本题考查等比数列前 项和公式的应用，考查通项公式的求解，考查计算能力；
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，
PA＝AB＝2CD＝2，∠ADC＝90°，E，F分别为PB，AB的中点．
（1）求证：CE∥平面PAD；
（2）求点B到平面PCF的距离．
【解析】（1）证明 连接EF(图略)，
∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA，
∵直线EF不在平面PAD内，PA 平面PAD，∴EF∥平面PAD，
∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD，且AF＝CD.
⊂
∴四边形ADCF为平行四边形，即CF∥AD，
∵直线CF不在平面PAD内，AD 平面PAD，∴CF∥平面PAD，
⊂∵EF∩CF＝F，EF，CF 平面EFC，
∴平面PAD∥平面EFC，CE 平面EFC，则CE∥平面PAD.
⊂
（2）方法1：设 到平面 的距离为 ，
⊂
因为 平面 ，所以 ，
由于 ，所以四边形 是平行四边形，
由于 ，所以 ，由于 ，
所以 平面 ，则 ，
由 得 ，
即 ；
方法2：∵∠ADC＝90°，AB∥CD，∴AB⊥AD，CF⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CF，又PA∩AB＝A，∴CF⊥平面PAB，∴CF⊥PF.
设CF＝x，则S ＝×1×x＝，S ＝××x＝x，
AFC PFC
设点A到平面P△CF的距离为h，△由V ＝V ，
P－AFC A－PFC
得××2＝××h，则h＝.
∵点F为AB的中点，∴点B到平面PCF的距离等于点A到平面PCF的距离，为；
18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
（1）证明：A＝2B；
（2）若△ABC的面积S＝，求角A的大小.
【解析】（1）证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0 ，k∈[1，2].
max
由k∈[1，2]，得∈.
所以－>，所以v2＋20v－800<0，
解得－400)，
20×＝72(千米/时)，
所以汽车的行驶速度应限制在72千米/时内.
20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，且右焦点 的坐标为 ，点
在椭圆 上， 为坐标原点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，求直线 的方程；
（3）过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的两条切线，切点分别为 ， （ ， 不
在坐标轴上），若直线 在 轴、 轴上的截距分别为 、 ，那么 是否为定值？若是，求出此
定值；若不是，请说明理由.
【提示】（1）由已知 ，且 ，又已知椭圆上的一个点，根据定义可求得 的值，进而得到椭圆
方程；（2）讨论直线 是否与x轴垂直.当直线 不垂直 轴时，设直线 ，联立直线与椭圆的方程，用 表示出弦长，根据条件解出 的值，即可得到直线方程；
（3）分别设点 ， ， ，则可得出直线 的方程为 ，同理得出直线
的方程为 ，两者形式相同，且 满足两个方程，则直线 的方程为 ，
求得 ， ，又Q在椭圆上，则可求得 ；
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）是，2；
【解析】（1）椭圆 的右焦点 的坐标为 ， 椭圆 的左焦点 的坐标为 ，
由椭圆的定义得 ，所以， ，
， ，由题意可得 ，即 ，
即椭圆 的方程为 ；
（2）直线 与椭圆 的两个交点坐标为 ， ，
①当直线 垂直 轴时， 方程为： ，代入椭圆可得， ，则 ，不合题意，舍去；
②当直线 不垂直 轴时，设直线
联立 ，消 得， ，
则 ， ，
恒成立.
，又 ，则 ，
化简得， ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 ， 直线方程 的方程为 或 .
（3）
是定值，定值为2.
设点 ， ， ，连接 ， ，
， ，则有 ， .
， 不在坐标轴上，则 ， ，
则 ， ，
直线 的方程为 ，即 ， ①
同理直线 的方程为 ， ②，
将点 代入①②，得 ，
显然 ， 满足方程 ，
直线 的方程为 ，分别令 ， ，得到 ， ， ， ，
又 满足 ， ，即 ；
【说明】圆锥曲线定值问题，设出相关点的坐标.根据已知条件，求出定值涉及的要点，根据圆锥曲线方程
确定这一隐含条件，找准出发点，即可推得.本题中，分别设点 ， ， ，则
可得出直线 的方程为 ，同理得出直线 的方程为 ，两者形式相同，且
满足两个方程，则直线 的方程为 ，求得 ， ，又Q在椭圆上，
则可求得 ；
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 对任意 恒成立，则称函数 为
“线性控制函数”；
（1）判断函数 和 是否为“线性控制函数”，并说明理由；
（2）若函数 为“线性控制函数”，且 在 上严格增，设 为函数 图像上互异的两点，
设直线 的斜率为 ，判断命题“ ”的真假，并说明理由；
（3）若函数 为“线性控制函数”，且 是以 为周期的周期函数，证明：对任意 都有
.
【提示】（1）根据“线性控制函数”的定义即可判断选项；
（2）根据 为“线性控制函数”，构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，再结合函数 单调递增的式子，化简判断 ；
（3）根据 为“线性控制函数”，构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，分
， 和 三种情况讨论；
【答案】（1）不是，理由见解析；（2）真命题，理由见解析；（3）证明见解析；
【解析】（1） ，故 是“线性控制函数”；
，故 不是“线性控制函数”；
（2）命题为真，理由如下：
设 ，其中
由于 在 上严格增，故 ，因此
由于 为“线性控制函数”，故 ，即
令 ，故 ，因此 在 上为减函数
，
综上所述， ，即命题“ ”为真命题.
（3）根据（2）中证明知，对任意 都有
由于 为“线性控制函数”，故 ，即
令 ，故 ，因此 在 上为增函数因此对任意 都有 ，即
当 时，则 恒成立
当 时，
若 ，则 ，故
若 时，则存在 使得
故 ，因此
综上所述，对任意 都有 ；
（事实上，对任意 都有 ，此处不再赘述）；
【说明】关键点点睛：第二问构造函数并作差判断 ，第三问的关键是讨论 和 的关系，从而
根据函数的单调性，证明不等式；
