文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由集合的运算求解即可.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B
2．若复数z满足 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据题意，利用复数除法，准确计算，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，
所以 ，故z在复平面内对应的点 位于第一象限.
故选：A.
3.《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．已知圆亭的高为 ，上底面半径为1，母线与底面成 角，则
此圆亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】作该圆亭的轴截面，根据几何关系求得下底面半径，进而根据体积公式求解即可.
【详解】由题意，可作该圆亭的轴截面，如下图所示：
则圆台的高 ，
上底面半径 ，下底面半径 ，母线 ，即 ，
在 中， ，则 ，
综上， ，
圆台的体积 ．
故选：A．
4. 的展开式中 的系数为12，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】 的展开式中 的系数可以看成：6个因式 中选取5个因式提供 ，
余下一个因式中提供 或者6个因式 中选取4个因式提供 ，余下两个因式中均提供 ，
故 的系数为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
5．已知RL串联电路短接时，电流 随时间 的变化关系式为 ，电路的时间常数，当 由 减小到 时，相应的时间间隔称为半衰期．若某RL串联电路电流从 减少到 的
时间间隔为 ，则该电路的时间常数约为（ ）（参考数据：
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设半衰期为 ，依题意 ，两边取对数得 ，由 得
，即 ，所以 ，解得 ．故选C．
6. 在 中，点 是 的中点，点 是 的中点，点 在线段 上并且 ，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又点 是 的中点，点 是 的中点，所以 ，
故 .
故选：D.7. 已知函数 ，满足 ，在下列不等关系中，一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造 ，应用导数研究单调性，进而比较 大小即可.
【详解】设 ，则 ，
所以 单调递增，则 ，即 ，即 .
故选：A
8. 已知 又 ，对任
意的 均有 成立，且存在 使 ，方程 在
上存在唯一实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.【答案】A
【解析】
【 分 析 】 化 简 可 得 ， 根 据 成 立 ， 且 存 在
，可知存在 使得 ，即 ，根据函数性质建立不等
式关系进行求解即可.
详解】由
【
，
其中 满足 ，
又由任意的 均有 成立，
即任意的 均有 成立，
且存在 使 ，
可知 最大值为 ，
又 ，
当 时， ，
又 在 上存在唯一实数 使 ，即 .
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数据 的平均数是 ，中位数为 ，方差为 ，极差为 .由这组数据得到新数据
，其中 ，则（ ）
A．新数据的平均数是 B．新数据的中位数是
C．新数据的方差是 D．新数据的极差是
【答案】CD
10.已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
B．若直线l与圆C交于A，B两点，则 的最大值为4
C．当 时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D．当 时，对任意 ，曲线 恒过直线 与圆C的交点
【答案】BCD
【分析】根据直线与圆的位置关系逐项判断即可.
【详解】 ，圆心 且半径为 ，
因为直线 过定点 ，且点 在圆上，若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，即 ，
故A不正确；
当直线l经过圆心时， 取最大值即圆的直径 ，故B正确；
当 时，直线 ，因为圆心C到直线l的距离 ，所以 ，
所以圆C上有4个点到直线的距离为 ，故C正确；
当 时，直线 ，曲线 ，即 一定过直线 与圆 的交点，故D正确．
故选：BCD．
11.关于函数 ，下述结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 在 上单调递增
C．函数 在 上有3个零点 D．曲线 关于直线 对称
【答案】CD
【分析】分情况讨论，去掉绝对值，结合辅助角公式及三角函数的性质可得答案.
【详解】因为 ，
所以 的一个周期为 ；
对于A，当 时， ，
因为 ，所以 ， 的最小值为 ；
当 时， ，
因为 ，所以 ， 的最小值为 ，A不正确.
对于B，当 时， ，
令 ，由 的单调性可知 在 上先增后减，B不正确.
对于C，当 时，令 得 ，
因为 ，所以 或 ，即 或 ；
当 时，令 得 ，
因为 ，所以 ，即 ；所以共有3个零点，C正确.对于D，因为 ，
所以曲线 关于直线 对称，D正确.
故选：CD
12. 如图，在 中， ， ， ，过 中点 的直线 与线段 交于点 ．
将 沿直线 翻折至 ，且点 在平面 内的射影 在线段 上，连接 交 于点
， 是直线 上异于 的任意一点，则（ ）
A. B.
C. 点 的轨迹的长度为
D. 直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A、B选项结合线面角最小，二面角最大可判断;对于C，先由旋转，易判断出 ，故其
轨迹为圆弧，即可求解.对于D求直线与平面所成角的余弦值，即求 ， ，用 表示 ，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可
【详解】
依题意，将 沿直线 翻折至 ，连接 ,由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线
被该轴垂直平分，
故 ，又 在平面 内的射影 在线段 上，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ， 平面
所以 平面 .
平面 ， 平面 ， 平面 ，
，
，且 即为二面角 的平面角
对于A选项，由题意可知， 为 与平面 所成的线面角，故由线面角最小可知
，故A错误；
对于B选项， 即为二面角 的平面角，故由二面角最大可知 ，
故B正确；
对于C选项， 恒成立，故 的轨迹为以 为直径的圆弧夹在 内的部分，易知其长度为 ，故C正确；
对于D选项，如下图所示
设 ，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
所以 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则
，
当且仅当 时取等号，故D正确．故选：BCD．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数 ,则 ．
【答案】
【分析】根据解析式分别求出 和 ，再相加可得结果.
【详解】 ,
,
所以 .
故答案为：
14．已知等差数列 的前n项和为 ，公差d为奇数，且同时满足：① 存在最大值；② ；
③ ．则数列 的一个通项公式可以为 ．（写出满足题意的一个通项公式）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由 可得 ，由 存在最大值可得 ，结合d为奇数且 可得 的
取值，从而可得 .
【详解】由 得 ，即 ．
因为数列 是等差数列，所以由等差数列的性质可知 ．
设等差数列 的公差为d，则 ， ．
因为 存在最大值，所以公差 ，又因为d为奇数且 ，故可取 ．当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ．
故答案为： （答案不唯一）
15.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米
两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为 ，200米比赛未能站上领
奖台的概率为 ，两项比赛都未能站上领奖台的概率为 ，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则
他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 .
【答案】
【分析】设出事件，根据事件的关系得到 ，进而求出
，再利用条件概率公式求出答案.
【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件 ，在100米比赛中站上领奖台为事件 ，
则 ， ， ， ，
则 ，
则 ，
故 .
故答案为：
16．已知椭圆 的两个焦点分别为 ．若 为 上关于坐标原点对称的两
点，且 的面积 ，则 的离心率的取值范围为______________．【答案】
【解析】不妨设 的离心率为 ，焦距为 分别位于第一、三象限，连接 ， ，
并结合图形对称性，可知四边形为对角线长度相等的平行四边形，即矩形，因此 为直角，所以
，且 的面积与 的面积相等，若椭圆上存在点 使得 为直角，
则上顶点 处应满足 ，也即 ，解得 ，又
，所以 ，则 的面积为
，因此 ，即 ．所以 的取值范围为 ．故答案为
．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17. 已知数列 的前n项和为 ，且 .
（1）求 ；（2）若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分为 ， 两种情况，结合等差数列前 项和公式求解；
（2）利用裂项相消法可求 .
【小问1详解】当 时， .
当 时， ，也适合上式.
故 .
【小问2详解】
由（1）可得 ，
则 .
18.如图，直四棱柱 的底面是正方形， ，E，F分别为BC， 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理即可
求解；（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面 与平面 的法向量，
利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的关系即可求解.
【详解】（1）连接 ，交 于点G，连接FG，
因为E，F分别为BC， 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形AEFG是平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴建立坐标系，如图所示，
设 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
,即 ，
不妨取 ，则 ，即 ，
设平面 的一个法向量为 ，则,即 ，
不妨取 ，则 ，即 ，
所以 ，
设二面角 的平面角为 ，则
，
所以
故二面角 的正弦值为 .
19.在斜三角形 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）利用三角形内角和化简三角函数方程，即可证明结论；
（2）由正弦定理求出 的表达式，即可得出其最小值.
【详解】（1）由题意证明如下，
在 中， ，
，
，
，
又 为斜三角形，则 ，
，
，
∵ 为 的内角，
.
（2）由题意及（1）得，在 中， ， ，是等腰三角形，
由正弦定理 ，则 ，
又 ，即 ，
，
，
令 ， ，
又因为 ，即 ，
当 即 时， 取最小值，且 ，
∴ 的最小值为 ．
20.《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动､质量为先､绿色发展､结构优化､人才为本”的基本方针，通
过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国
制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强
国前列.为此，我国在基础教育阶段鼓励中学生开展科技发明活动，为了解某校学生对科技发明活动的兴趣，
随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对科技发明活动没兴趣的占女生人数的 ，男生有
5人表示对科技发明活动没有兴趣.
(1)完成 列联表，并回答能否有 的把握认为“该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别有关”？
没兴
有兴趣 合计
趣
男 60
女
合计
参考表格、公式如下：
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635.
(2)从样本中对科技发明活动没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽出6名学生，记从这6人中随机抽取
3人，抽到的男生人数为 ，求 的分布列和期望.
【答案】(1)有 的把握认为“该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别有关”
(2)分布列见解析，期望
【分析】（1）首先结合已知条件和题设完成列联表，然后根据表格计算 ，判断 成立即可求
解.
（2）首先算出抽取的6人中男生、女生的人数，然后写出 的所有可能取值，并算出相应的概率，由此
即可得出 的分布列和期望.
【详解】（1）由题述列联表可知，男生合计60人，所以女生合计 人，
由题意，女生中对科技发明没兴趣、有兴趣的分别有 人， 人，
男生中对科技发明没兴趣、有兴趣的分别有5人， 人，
由此可以得到完整列联表如下：
没 兴
有兴趣 合计
趣
男 55 5 60
女 30 10 40
合计 85 15 100
所以 ，
所以有 的把握认为“该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别有关”.
（2）由题意首先抽出的6名学生中，男生、女生分别有 人， 人，
若从这6人中随机抽取3人，抽到的男生人数为 ，则 的所有可能取值为 ，
， ， ，
所以 的分布列如下表：
0 1 2
所以 的期望为 .21.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 的直线l交C的右支于M，N两点，
当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为 .
(1)求C的方程；
(2)证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，直接列出方程求解 ，可得答案.
（2）根据题意，分类讨论当 垂直于 轴和 不垂直于 轴时的情况，对于 垂直于 轴的情况，直接列方
程计算；对于 不垂直于 轴时的情况，直线与双曲线联立方程，利用韦达定理，计算化简可证明成立.
【详解】（1）根据题意有 ，C的一条渐近线方程为 ，
将 代入C的方程有 ， ，
所以M，N到直线 的距离之和为 ，
所以 ，C的方程为 .
（2）
方法1：当l垂直于x轴时，由（1）可知， ，
且由双曲的定义可知 ，故 .
当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知 ， ，故 .
设 ，代入C的方程有： ，
设 ， ，则 ， ，
所 以
，
所以 .
综上， 的值为6.
方法2：当l垂直于x轴时，由（1）可知， ，
且由双曲的定义可知 ，
故 .
当l不垂直于x轴时，设 ，
代入C的方程有： .
设 ， ，则 ， ，
所以 .
综上， 的值为6.
22.已知函数 ， 的导函数为 ．(1)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)当 时，记函数 的极大值和极小值分别为 ， ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 在 上恒成立，参变分离可得 在
上恒成立，令 ， ，利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范
围；
（ 2 ） 令 ， 则 ， 所 以 ， 且 ， 则
， 从 而 得 到 ， ， 则
，设 ， ，利用导数求出 的最
小值，即可得证；
【详解】（1）依题意， ，根据题意知， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
则 时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．而 ， ， ，故 ， ，
当 时， ， ，即 在 上单调递增，
当 时， ， ，即 在 上单调递减，
故 ，则 ，
故实数 的取值范围为 ．
（2）令 ，则 ，设 ， 分别为函数 在 上的极大值点与极小值
点，
所以 ， ，则 ，且 ．
所以 ，由 ，得 ，其中 ， ，
故
．
设 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
故当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，故 ．
