文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海专用）
黄金卷08·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。
1、3 2、 3、 4、2
5、 6、1 7、
8、10 9、 10、18
11、 12、 ，
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一
个正确答案.
13 14 15 16
A A B B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、【解析】（1）证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1.
又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形．
又BC＝OB＝1，
所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO.
同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO，
所以BD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，所以PD⊥BD，
又AD∩PD＝D，AD，PD 平面ADP，所以BD⊥平面ADP.
⊂
因为PA 平面ADP，所以BD⊥PA.
⊂
（2）由（1）知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°，
⊂
所以三角形ADO为正三角形．
过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，则A，B，P(0,0，)，D(0,0,0)．
则AB＝(0,2,0)，AP＝，DP＝(0,0，)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒
令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2,0,1)．
设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝|cos〈n，DP〉|＝＝＝，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
18、【提示】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理、三角形面
积公式，结合基本不等式进行求解即可；
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设该三角形外接圆的半径为 ，
，
，
． ，
， ， ；
（2）由余弦定理得 ，
，即 ， ，当 时等号成立，，
的面积 ，
当 时， 面积的最大值为
19、【提示】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得 ，而切线长 需构造直
角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得 的取值范围；
（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可
得答案；
【答案】（1） ， ；（2） 米
【解析】（1）过N作AB的垂线，垂足为F，过M作NF的垂线，垂足为G，在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
由题意易得 ，
所以 ，
；
（2）解： ，
令 ，得 ，又 ，所以 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以当 时，总造价W最小，最小值为 ，此时 ， ， ，
所以当 米时，能使总造价W最小．
20、【提示】（1）点 的横坐标 ，由 ，得 ，由此能求出 与焦点的距离．
（2）设 ，直线 ，当 时， ，同理求出 ，由
此能证明 为常数；（3）解设 ， ，直线 ，联立 ，
得 ，求出 ，同理得 ，
由此能求出存在 ，使得 且 为常数1；
【解析】：（1）解： 抛物线 上的动点 ， ，
过 分别作两条直线交抛物线于 、 两点，交直线 于 、 两点； 点 纵坐标为 ，
点 的横坐标 ，
， ，
与焦点的距离为 ．
（2）证明：设 ，直线 ，
当 时， ，
直线 ， 时， ， ，
为常数 ．
（3）解：设 ， ，直线 ，
联立 ，得 ，
，即 ，
同理得 ，
，
，
要使 为常数，即 ，此时 为常数1，
存在 ，使得 且 为常数1．
【说明】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力；
21、【提示】（1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；（2）依题意， 为增
函数，由双勾函数的图象及性质即得解；（3）由题意， ， ，又为常值
函数，故 ，由此即可得解；
【解析】（1） 为减函数， ， 具有 性质；
为增函数， ， 不具有 性质；
（2）依题意，对任意 ， 恒成立，
为增函数（不可能为常值函数），
由双勾函数的图象及性质可得 （因为 在 上是增函数）
当 时，函数单调递增，满足对任意 ， 恒成立，
综上，实数 的取值范围为 ， ．
（3） 为整数集，具有 性质的函数均为常值函数，
当 ， 恒成立，周期为2，
设 ， ，
由题意， ，则 ，
当 ， ， ，
当 ， ， ，
综上， 为奇数；
【说明】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力；
