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一 分数乘法
1.⑴分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同 ，都是求几个相同加数的和的简便运
算 。
分数乘整数，用分数的分子与整数相乘的积 作分子，分母不变 。结果不是最简分数的，
要约分 ，为了简化计算，可以先约分，再计算 。
⑵求一个数的几分之几是多少，用乘法 计算，即用这个数 ×几分之几 。一个数乘分数
的意义就是求这个数的几分之几是多少 。分数乘分数，用分子相乘的积 作分子，分母
相乘的积 作分母。结果不是最简分数的，要约分 ，为了简化计算，可以先约分，再计算 。
分数乘整数可以看作分数乘 分母为 1 的分数。
⑶两个数相乘，如果一个因数等于0，那么积等于 0。两个大于0的数相乘，如果一个
因数大于1，那么积大于 另一个因数；如果一个因数等于1，那么积等于 另一个因数；
如果一个因数小于1，那么积小于 另一个因数。
2.⑴“求一个数的几分之几是多少”的应用题的解题方法是：用乘法计算，即用这个
数 × 几分之几 。
⑵“连续求一个数的几分之几是多少”的应用题的解题方法是：第一种：用已知
数量 ( 原始单位“ 1 ”的量 ) 依次乘已知各分率 。第二种： 先把已知各分率 相乘，求出 所
求数量占已知数量 ( 原始单位“ 1 ”的量 ) 的分率，再用已知数量 ( 原始单位“ 1 ”的
量 ) 乘这个分率 。
⑶“按原价的几分之几出售”的应用题的解题方法是： 商品的现价 = 原价 × 几分
之几；降低的价钱 = 原价 - 现价 = 原价 - 原价 × 几分之几 = 原价 × (1 - 几分之几 ) 。几折就
是零点几或十分之几 。
二 圆
1.⑴①圆是由一条曲线 围成的图形。通常用圆规 画圆，用圆规的一只脚固定在一个点
上 ，另一只脚 绕着这个点旋转 1 圈 ，就能画出一个圆。
②画圆时，固定的点 是圆心，圆心一般用字母O 表示。圆心决定圆的位置 。
③圆心到圆上任意一点的线段 是半径，半径一般用字母r 表示。圆有无数 条半径；
在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等 ；画圆时，圆规的两只脚之间的距离等于半径 的长度；半径决定圆的大小 。④通过圆心并且两端都在圆上的线段 是直径，直径一
般用字母d 表示。圆有无数 条直径；在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等 ；圆中最
长的线段是直径 ；直径也决定圆的大小 。
⑤在同圆或等圆中，直径的长度等于半径的长度的 2 倍 ，半径的长度等于直径的
长度的一半 ，用字母表示为： d=2 r 或 r = 。
⑥圆是 轴对称图形，圆有无数 条对称轴，每条直径所在的直线 都是圆的对称轴。
⑵①顶点在圆心的角 是圆心角。圆上两点之间的部分 叫做弧。
②由圆心角的两条边和圆心角所对的弧围成的图形 是扇形。扇形的大小与扇形
的半径的长短和圆心角的大小 有关；在同一个圆中，扇形的大小与扇形的圆心角的大
小 有关。扇形是 轴对称图形，扇形有1 条对称轴，扇形的圆心角的角平分线所在的直
线 是扇形的对称轴。半圆是圆心角为 18 0 ° 的扇形。
2.⑴围成圆的曲线的长 叫做圆的周长。【圆的周长除以直径的商是一个固定的数 ，把
它叫做圆周率，圆周率用希腊字母 π 表示。π是一个无限不循环 小数(无理 数)，
π= 3.1415926 … ，计算时，通常保留两位小数，π≈3.14 。】圆的周长等于直径的π
倍 ；圆的周长等于半径的 2π 倍 。圆的周长的计算公式是： 圆的周长 = 直径 × 圆周率或
圆的周长 = 半径 ×2× 圆周率 ，用字母表示为： C=π d 或 C=2π r ，圆的周长的长短与圆
的半径的长短或直径的长短或面积的大小 有关。直径= 圆的周长 ÷ 圆周率 ；半径=圆的
周长 ÷ 圆周率 ÷ 2 。
⑵扇形的周长的计算公式是： 扇形的周长 = 圆的周长 × + 半径 × 2 ；半圆的周
长的计算公式是： 半圆的周长 = 圆的周长的一半 + 直径 。
3.⑴①圆所占平面的大小 叫做圆的面积。圆的面积等于以半径为边长的正方形的面
积 的π倍，也就是圆的面积等于半径的平方 的π倍。圆的面积的计算公式是：圆的
面积 = 半径的平方 × 圆周率 ，用字母表示为： S=π r ² ，圆的面积的大小与圆的半径的
长短或直径的长短或周长的长短 有关。半径= 。②把一个圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似平行四边形，这个近
似平行四边形的底相当于圆的周长的一半 ，高相当于圆的半径 ，因为平行四边形的面
积= 底 × 高 ，所以圆的面积= C×r = ×2πr×r=πr ² 。
③周长都相等的所有四边形中，正方形 的面积最大 ；周长都相等的所有平面图形
中，圆 的面积最大 。面积都相等的所有四边形中，正方形 的周长最短 ；面积都相等的所
有平面图形中，圆 的周长最短 。
⑵①扇形的面积的计算公式是： 扇形的面积 = 圆的面积 × ；半圆的面积的计
算公式是： 半圆的面积 = 圆的面积的一半 。
②圆环的面积的计算公式是： 圆环的面积 = 外圆的面积 - 内圆的面积 = 外圆的半径
的平方 × 圆周率 - 内圆的半径的平方 × 圆周率 = ( 外圆的半径的平方 - 内圆的半径的平
方 ) × 圆周率 ，用字母表示为： ，其中外圆
的半径= 内圆的半径 + 环宽 ，外圆的直径= 内圆的直径 + 环宽 × 2 。
③求一个不规则图形的面积，可以将其转化为求一个规则图形的面积 ，或将其转
化为求几个规则图形的面积的和或差 。
三 分数除法
1.⑴① 乘积是 1 的两个数 互为倒数。例如：因为 × =1，所以 与 互为
倒数， 的倒数是 。因为 × =1，所以 与 互为倒数， 的倒数是
。因为1×1 =1，所以1与1 互为倒数，1的倒数是1 。因为 0 乘任何数都不等于 1 ，
所以0没有倒数。
②求一个非0数的倒数，只要 把这个非 0 数的分子和分母交换位置 就可以了。例
如： 的倒数是 ， 的倒数是38 ，27的倒数是 ， 的倒数是 ，
的倒数是 ，3.65的倒数是 ，a的倒数是 (a≠0)。
③0 没有倒数； - 1 和 1 的倒数等于它本身； 小于 - 1 的数 和 大于 0 且小于 1 的数 的
倒数大于它本身； 大于 - 1 且小于 0 的数 和 大于 1 的数 的倒数小于它本身。⑵①加减法的关系：加数+加数=和，一个加数= 和 - 另一个加数 ；被减数-减数=差，
被减数= 差 + 减数 ，减数= 被减数 - 差 。乘除法的关系：因数×因数=积，一个因数= 积 ÷
另一个因数 ；在没有余数的除法里，被除数÷除数=商，被除数= 商 × 除数 ，除数=被除
数 ÷ 商 ；在有余数的除法里，余数小于除数 ，被除数= 商 × 除数 + 余数 ，除数= ( 被除数 -
余数 )÷ 商 ，商= ( 被除数 - 余数 )÷ 除数 ，余数= 被除数 - 商 × 除数 。
②分数除法的意义与整数除法的意义相同 ，都是已知两个因数的积和其中一个
因数，求另一个因数的运算 ；除法是乘法的逆 运算，0 不能作除数。分数除以非0整数，
等于分数乘这个整数的倒数 ；一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数 ；甲数除以
乙数(乙数不为0)，等于甲数乘乙数的倒数 。
③两个数相除(除数不为0)，如果被除数等于0，那么商等于 0。两个大于0的数
相除，如果除数大于1，那么商小于 被除数；如果除数等于1，那么商等于 被除数；如果
除数小于1，那么商大于 被除数。
2.⑴“求一个数的几分之几是多少”的应用题的这个数(单位“1”的量)是已知 的，
其解题方法是： 这个数 × 几分之几 ；“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的
应用题的这个数(单位“1”的量)是未知 的，其常用解题方法是： 先设这个数为 x 再
列方程解答 。
⑵“求比一个数的几分之几多(或少)几的数是多少”的应用题的这个数(单位
“1”的量)是已知 的，其解题方法是： 这个数 × 几分之几 ± 几 ；“已知比一个数的几
分之几多(或少)几的数是多少，求这个数”的应用题的这个数(单位“1”的量)是未
知 的，其常用解题方法是： 先设这个数为 x 再列方程解答 。
⑶“求比一个数多(或少)几分之几的数是多少”的应用题的这个数(单位“1”
的量)是已知 的，其解题方法是： 这个数 ± 这个数 × 几分之几 = 这个数 × ( 1 ± 几分之
几 ) ；“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数”的应用题的这个数
(单位“1”的量)是未知 的，其常用解题方法是： 先设这个数为 x 再列方程解答 。
四 比和按比例分配
1.⑴①求两个数量之间的关系要用一个数除以另一个数 ，我们还可以把这两个数量
之间的关系用比 来表示。例如：5÷4可以写成 5 ∶ 4 或 ，都读作 “ 5 比 4 ” 。两个数相除 又叫做这两个数的比。在5∶4或 中，5是比的前项 ，“∶”或“—”都是
比号 ，4是比的后项 。两个量的比可以是同类量 的比，也可以是不同类量 的比；比有 顺
序；比没有 单位名称。
② 比 的 前 项 除 以 后 项 所 得 的 商 ， 是 这 个 比 的 比 值 。 例 如 ： 求 比 值
300∶12= 30 0 ÷12=2 5 ， ， = 5 ÷4 = ，4∶5= 4 ÷5=0. 8 。比值可以是整数、分
数或小数 。
③比、除法、分数之间的联系是：比的前项相当于除法的被除数 和分数的分子 ；比
号相当于除法的除号 和分数的分数线 ；比的后项相当于除法的除数 和分数的分母 ，比
的后项、除数和分母都不能为0 ；比值相当于除法的商 和分数的分数值 。比、除法、分
数之间的区别是：比是一种关系 ；除法是一种运算 ；分数是一种数 。比、除法、分数之
间的关系可以用字母表示为 a ∶ b 或 = a ÷b = ( b ≠ 0 ) 。
⑵ 比的前项和后项同时乘或除以相同的非 0 数，比值不变 。这叫做比的基本性质。
前项和后项只有公因数 1 的比 叫做最简整数比。把一个比化成同它相等的最简整数
比的过程 叫做化简比。化简比的依据是比的基本性质 。化简比的方法是：
①化简整数比，用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数 。例如：
化简比= 。
②化简分数比，通常先用比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数将分数
比转化成整数比 。
例如：化简比∶ 。
③化简小数比， 通常先用比的前项和后项同时乘 10 或 100 或 1000 或……将小
数比转化成整数比 。例如：
化 简 比
2.75∶1.5= (2.75×100 ) ∶ (1.5× 10 0 )=27 5 ∶ 150=(27 5 ÷ 25 ) ∶ (15 0 ÷2 5 )=1 1 ∶ 6 。
2.把一个数量按照一定的比来进行分配 ，这种分配方法通常叫做按比例分配。“按比
例分配”的应用题的常用解题方法是： 先用“ 已知的数量 ÷ 已知的数量对应的份
数 ” 求出 每份的数量 ，再 用“ 每份的数量 × 未知的数量对应的份数 ”求出未知 的数
量 。五 图形变化和确定位置
1.能够完全重合的两个图形的大小和形状完全相同 。图形放大或缩小得到的图形与
原图形相比，大小不同 ，形状相同 。在方格纸上将一个多边形放大或缩小，要先数出这
个多边形各边的格数，再计算出这个多边形 各边按相同的比放大或缩小 后的新多边
形各边的格数，最后画出新多边形 。注意：斜边的放大或缩小可以转化成直角三角形
的两条直角边 的放大或缩小；角的大小(度数)不能 放大或缩小；如果一个多边形的各
边按n∶1放大即各边放大到原来的n倍，那么这个多边形的周长按 n ∶ 1 放大即周长
放大到原来的 n 倍 ，面积按 n ² ∶ 1 放大即面积放大到原来的 n ² 倍 ；如果一个多边形
的各边按1∶n缩小即各边缩小为原来的 ，那么这个多边形的周长按 1 ∶ n 缩小
即周长缩小为原来的 ，面积按 1 ∶ n ² 缩小即面积缩小为原来的 。
2.比例尺是图上距离与实际距离的比 ，就是 =比例尺； =比例尺 。比例尺按表
示的形式可以分为数字比例尺、线段比例尺和文字比例尺 三类。比例尺按图上距离与
实际距离的大小关系可以分为放大比例尺、等大比例尺和缩小比例尺 三类。图上距离
= 实际距离 × 比例尺 ；实际距离= 图上距离 ÷ 比例尺 。
3.⑴确定参照点后，根据物体相对于参照点的方向 和距离 就能确定物体的位置。
①根据平面图描述物体的实际位置，要 说出物体相对于参照点的 方向和 实际距
离 。注意：除东、南、西、北 四个方向外，其他方向通常说成 南 ( 北 ) 偏东 ( 西 ) 多少度 的
方位角。
②画平面图确定物体的图上位置，要先画出以参照点为原点的十字线并标注上
“ 北 ” 右 “ 东 ”和比例尺 ，再根据物体相对于参照点的 方向和 图上距离画出线段并
标示方位角 和 物体 。
⑵①根据平面图描述行走路线，要从起点开始依次说出从一个地点向什么方向
行走多长的实际距离到达下一个地点 。
②画行走路线图，要先画出方向标和标注比例尺，再根据各个物体相对于参照点
的方向和图上距离依次画出行走路线图的各条线段并标示方位角和物体 。
六 分数混合运算1.⑴分数混合运算的运算顺序和整数混合运算的运算顺序相同 。
①在没有括号的综合算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，要从左往右依次计算 。
②在没有括号的综合算式里，如果既有加减法又有乘除法，要先算乘除法，再算加减
法 。
③在有括号的综合算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的 。
⑵我们学过的运算律和运算性质，在分数运算中同样适用 。
①两个数相加，交换两个加数的位置，和不变 。这就是加法交换律。如果用a和b表示
两个数，那么加法交换律可以表示为：a+b=b+a
② 3 个数相加，先把前两个数相加，再加第 3 个数；或先把后两个数相加，再加第 1 个
数，和不变 。这就是加法结合律。如果用a，b，c表示三个数，那么加法结合律可以表
示为： ( a+ b ) +c=a + ( b+ c )
③减法的运算性质可以表示为： a-b-c=a - ( b+ c ) ； a-b+c=a - ( b- c )
④两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变 。这就是乘法交换律。如果用a和b表示
两个数，那么乘法交换律可以表示为：a×b=b×a
⑤ 3 个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第 3 个数；或先把后两个数相乘，再乘第 1 个
数，积不变 。这就是乘法结合律。如果用a，b，c表示三个数，那么乘法结合律可以表
示为： ( a× b ) ×c=a× ( b× c )
⑥除法的运算性质可以表示为： a÷b÷c=a÷ ( b× c ) ； a÷b×c=a÷ ( b÷ c )
⑦ 两个数的和与一个数相乘，可以先把两个加数分别与这个数相乘，再将两个积相加 ，
结果不变 。这就是乘法分配律。如果用a，b，c表示三个数，那么乘法分配律可以表示
为： ( a+ b ) ×c=a×c+b× c
2.分数应用题可以分为如下三类：
⑴ “求一个数是 另一个数 的几分之几”的应用题 ； “求一个数比 另一个数 多 ( 或
少 ) 几分之几”的应用题 。
⑵ “ 求 一个数 的几分之几是多少 ”的应用题 ； “ 求比 一个数 的几分之几多 ( 或少 )
几的数是多少 ”的应用题 ； “ 求比 一个数 多 ( 或少 ) 几分之几的数是多少 ”的应用题 。⑶ “ 已知 一个数 的几分之几是多少，求这个数 ”的应用题 ； “ 已知比 一个数 的几
分之几多 ( 或少 ) 几的数是多少，求这个数 ”的应用题 ； “ 已知比 一个数 多 ( 或少 ) 几分
之几的数是多少，求这个数 ”的应用题 。
七 负数的初步认识
1.⑴①在标准大气压下，规定水结冰时的温度是 0 ℃ ，水沸腾时的温度是 10 0 ℃ 。零上
3摄氏度记作 + 3 ℃ ；比0摄氏度低的温度，我们用带“-”号的数表示，零下4摄氏度
记作 - 4 ℃ 。表示海拔高度时，规定海平面的高度为0m 。比海平面高8844.43m记作
+8844.43m ；比海平面低155m记作-155m 。
②像+0.72，+3，+8844.43，…这样 大于 0 的数都是正数。正数有无数 个，1不是 最
小的正数，最大的正数和最小的正数都不存在 。“+3”读作 “ 正三 ” ，“+”是正号 ，
通常“+”号省略不写 。像-0.098，-6，-155，…这样 小于 0 的数都是负数。负数有无
数 个，-1不是 最大的负数，最大的负数和最小的负数都不存在 。“-0.098”读作 “ 负
零点零九八 ” ，“-”是负号 ，“-”不可以 省略不写。0既不是正数 ，也不是负数 。
⑵正数和负数可以用来表示相反意义 的量。如果规定用“+”分别表示向东走，
向北行驶，体重增加，盈利，上升，收入，逆时针旋转，往银行存入……那么用“-”分
别表示向西走，向南行驶，体重减少，亏损，下降，支出，顺时针旋转，从银行取出……
八 可能性
(略)
