文档内容
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，
第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件 A，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)．
·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
1
·棱锥的体积公式V = Sh，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高.
3
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合A={1,2,3,4}，B={-1,0,2,3}，C ={xÎR|-1£ x<2}，则(A B) C =
U I
（A）{-1,1} （B）{0,1}
（C）{-1,0,1} （D）{2,3,4}
ìx+ y£5，
ï
ï2x- y£4，
（2）设变量x,y满足约束条件í 则目标函数z =3x+5y的最大值为
-x+ y£1，
ï
ï îy³0，
（A）6 （B）19
（C）21 （D）45
（3）设xÎR，则“x3 >8”是“|x|>2” 的
第1页 | 共9页（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
7 1 1 1
（5）已知a=log ,b=( )3,c=log ，则a,b,c的大小关系为
3 2 4 1 5
3
（A）a>b>c （B）b>a>c （C）c>b>a （D）c>a>b
p p
（6）将函数y =sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
5 10
p p p
（A）在区间[- , ] 上单调递增 （B）在区间[ ,0] 上单调递减
4 4 4
p p p
（C）在区间[ , ] 上单调递增 （D）在区间[ ,p] 上单调递减
4 2 2
x2 y2
（7）已知双曲线 - =1(a>0,b>0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于
a2 b2
A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 和d ，且d +d =6, 则双曲线的方程为
1 2 1 2
x2 y2 x2 y2
（A） - =1 （B） - =1
3 9 9 3
第2页 | 共9页x2 y2 x2 y2
（C） - =1 （D） - =1
4 12 12 4
uuuur uuur uuur uuur uuuruuuur
（8）在如图的平面图形中，已知OM =1.ON =2,ÐMON =120o,BM =2MA,CN =2NA,则BC·OM
的值为
（A）-15 （B）-9
（C）-6 （D）0
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
6+7i
（9）i是虚数单位，复数 =__________．
1+2i
（10）已知函数f(x)=exlnx，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为__________．
（11）如图，已知正方体ABCD–A B C D 的棱长为1，则四棱柱A –BB D D的体积为__________．
1 1 1 1 1 1 1
（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
1
（13）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+ 的最小值为__________．
8b
第3页 | 共9页ìïx2 +2x+a-2，x£0，
（14）已知a∈R，函数 f x=í 若对任意x∈［–
ïî-x2 +2x-2a，x>0．
3，+¥），f(x)≤ x 恒成立，则a的取值范围是__________．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取
７名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生
工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
（16）（本小题满分13分）
π
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B– )．
6
（Ⅰ）求教B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．
（17）（本小题满分13分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=
2 3，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
（18）（本小题满分13分）
设{a }是等差数列，其前n项和为S （n∈N*）；{b }是等比数列，公比大于0，其前n项和为T （n∈N*）．已
n n n n
第4页 | 共9页知b =1，b =b +2，b =a +a ，b =a +2a ．
1 3 2 4 3 5 5 4 6
（Ⅰ）求S 和T ；
n n
（Ⅱ）若S +（T +T +…+T ）=a +4b ，求正整数n的值．
n 1 2 n n n
（19）（本小题满分14分）
x2 y2 5
设椭圆 + =1(a >b>0) 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 ，| AB|= 13.
a2 b2 3
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l: y =kx(k <0)与椭圆交于P,Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若
△BPM 的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.
（20）（本小题满分14分）
设函数 f(x)=(x-t )(x-t )(x-t )，其中t ,t ,t ÎR,且t ,t ,t 是公差为d 的等差数列.
1 2 3 1 2 3 1 2 3
（I）若t =0,d =1, 求曲线y = f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；
2
（II）若d =3，求 f(x)的极值；
（III）若曲线y = f(x) 与直线 y =-(x -t )-6 3有三个互异的公共点，求d的取值范围.
1 2
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1）C （2）C （3）A （4）B
（5）D （6）A （7）A （8）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
1
（9）4–i （10）e （11）
3
1 1
（12）x2 + y2 -2x=0 （13） （14）［ ，2］
4 8
三、解答题
（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式
等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．
第5页 | 共9页（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽
取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}
，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21
种．
（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙
年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C
}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．学@科网
5
所以，事件M发生的概率为P（M）= ．
21
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，
以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．
a b π
（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理 = ，可得bsinA=asinB，又由bsinA=acos(B- )，得
sinA sinB 6
π π π
asinB=acos(B- )，即sinB=cos(B- )，可得tanB= 3．又因为BÎ(0，π)，可得B= ．
6 6 3
π
（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B= ，有b2 =a2 +c2 -2accosB=7，故b= 7 ．
3
π 3 2 4 3
由bsinA=acos(B- )，可得sinA= ．因为a0，可得q=2，故b =2n-1.所以T = =2n -1.
n n 1-2
设等差数列{a }的公差为d .由b =a +a ，可得a +3d =4.由b =a +2a ，可得3a +13d =16,
n 4 3 5 1 5 4 6 1
n(n+1)
从而a =1,d =1，故a =n，所以S = .
1 n n 2
（II）解：由（I），知T +T + +T =(21+23+ +2n)-n=2n+1-n-2.
1 2 L n L
n(n+1)
由S +(T +T + +T )=a +4b 可得 +2n+1-n-2=n+2n+1，
n 1 2 L n n n 2
整理得n2 -3n-4=0, 解得n=-1（舍），或n=4.所以n的值为4.学&科网
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的
第7页 | 共9页性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.
c2 5
（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得 = ，又由a2 =b2 +c2，可得2a=3b. 由
a2 9
| AB|= a2 +b2 = 13,从而a=3,b=2.
x2 y2
所以，椭圆的方程为 + =1.
9 4
（II）解：设点P的坐标为(x ,y )，点M的坐标为(x ,y ) ，由题意，x > x >0，
1 1 2 2 2 1
点Q的坐标为(-x ,-y ). 由△BPM 的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|=2|PQ|，
1 1
从而x -x =2[x -(-x )]，即x =5x .
2 1 1 1 2 1
ì2x+3y =6, 6
易知直线AB的方程为2x+3y =6，由方程组í 消去y，可得x = .由方程组
îy =kx, 2 3k+2
ìx2 y2
ï + 6
í 9 4 =1,消去y，可得x = .由x =5x ，可得 9k2 +4 =5(3k+2)，两边平方，整理得
1 2 1
ï 9k2 +4
îy =kx,
8 1
18k2 +25k+8=0，解得k =- ，或k =- .
9 2
8 1 12
当k =- 时，x =-9<0，不合题意，舍去；当k =- 时，x =12，x = ，符合题意.
9 2 2 2 1 5
1
所以，k的值为- .
2
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查
函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分.
（Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故f‵(x)=3x−1，因此f(0)=0， f¢(0)=−1，又因为曲线y=f(x)在
点(0， f(0))处的切线方程为y−f(0)= f¢(0) (x−0)，故所求切线方程为x+y=0.
（Ⅱ）解：由已知可得
f(x)=(x−t +3)( x−t ) (x−t −3)=( x−t )3−9 ( x−t )=x3−3t x2+(3t 2−9)x− t 2+9t .
2 2 2 2 2 2 2 2 2
故 f¢(x)= 3x3−6t x+3t 2−9.令 f¢(x)=0，解得x= t − 3，或x= t + 3.
2 2 2 2
当x变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表：
x
(−∞，t − 3 t − 3 (t − 3，t + 3 t + 3 (t + 3，+∞
2 2 2 2 2 2
第8页 | 共9页) ) )
f¢(x) + 0 − 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极大值为f(t − 3)=(− 3)3−9×(− 3)=6 3；函数小值为f(t + 3)=( 3)3−9×( 3)=−6 3.
2 2
（III）解：曲线y=f(x)与直线y=−(x−t )−6 3有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t +d) (x−t )
2 2 2
(x−t −d)+ (x−t )+ 6 3=0有三个互异的实数解，令u= x−t ，可得u3+(1−d2)u+6 3=0.
2 2 2
设函数g(x)=
x3+(1−d2)x+6 3，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t )−6 3有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.
2
g'(x)=3 x3+(1−d2).
当d2≤1时，g'(x)≥0，这时g'(x)在R上单调递增，不合题意.
d2 -1 d2 -1
当d2>1时，g'(x)=0，解得x =- ，x = .
1 2
3 3
易得，g(x)在(−∞，x )上单调递增，在[x ， x ]上单调递减，在(x ， +∞)上单调递增，
1 1 2 2
3
d2 -1 2 3(d2 -1)2
g(x)的极大值g(x )= g(- )= +6 3>0.
1
3 9
3
d2 -1 2 3(d2 -1)2
g(x)的极小值g(x )= g( )=− +6 3.
2
3 9
若g(x ) ≥0，由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点，不合题意.
2
3
若g(x )<0,即(d2 -1)2 >27，也就是|d |> 10，此时|d |> x ，g(|d |)=|d |+6 3 >0, 且
2 2
-2|d |< x ,g(-2|d |)=-6|d |3 -2|d |+6 3 <-62 10+6 3 <0，从而由g(x)的单调性，可知函数
1
y = g(x) 在区间(-2|d |,x ),(x ,x ),(x ,|d |)内各有一个零点，符合题意.学科……网
1 1 2 2
所以d 的取值范围是(-¥,- 10) ( 10,+¥).
U
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