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专题 1.4 最短路径模型
1．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在 点的蚂蚁想吃到 点的食物，沿着侧面
需要爬行的最短路径是 1 3 ．
【解答】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线的长，即 ，
故答案为：13．
2．如图，长方体的高为 ，底面是正方形且边长为 ，现有一只蚂蚁从 点出发，
沿长方体表面到达 点，蚂蚁行走的最短路程为 5 ．
【解答】解：如图1所示，
，
如图2所示，，
，
它爬行的最短路程为 ．
故答案为：5．
3．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点 处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶
点 处，要沿着长方体盒子的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是 ．
【解答】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和3，
则所走的最短线段 ；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是23和10，
所以走的最短线段 ；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是15和18，
所以走的最短线段 ；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为： ．
4．如图，圆柱的底面周长为 ， 是底面圆的直径，点 是 上的一点，且
， ．一只蚂蚁从点 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点 最短路程
是 ．A．17 B．16 C．15 D．13
【解答】解：如图所示，
圆柱的底面周长为 ，
．
，
，
在 中，
．
故选： ．
5．如图，矩形 为圆柱体的横截面， 是上底的直径，其中 为 ，底面圆周
长为 ，一只蚂蚁从点 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 ，则爬行的最短路程是A． B． C． D．
【解答】解：底面周长为 ，半圆弧长为 ，
画展开图形如下：
由题意得： ， ，
根据勾股定理得： ．
故选： ．
6．如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ．在杯内离杯底 的点 处有一
滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂
蜜的最短距离为 ．
A．15 B． C．12 D．18
【解答】解：如图所示，将圆柱沿过 的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点 ，使 最小，
故先作出 关于杯口所在直线的对称点 ，连接 与杯口的交点即为 ，此时
，
根据两点之间线段最短，即可得到此时 最小，并且最小值为 的长度，
如图所示，延长过 的母线，过 作 垂直于此母线于 ，
由题意可知， ，
，
由勾股定理得： ，
故蚂效到达蜂蜜的最短距离为 ，
故选： ．
7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周长为 ，在容
器内壁离容器底部 的点 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿
的点 处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是
A． B． C． D．
【解答】解：如图： 高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点
处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 与饭粒相对的点 处，， ，
将容器侧面展开，作 关于 的对称点 ，
连接 ，则 即为最短距离，
．
故选： ．
8．如图，正四棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，一只蚂蚁从点 出发，沿棱柱外
表面到点 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是
A． B． C． D．
【解答】解：当沿着平面 、平面 爬行时，如图所示，
，
当沿着平面 、平面 爬行时，，
因为 ，
所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 ，
故选： ．
9．如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，一只蚂蚁要从点 爬行到点 ，则爬行的
最短距离是
A． B． C．10 D．
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是8和6，
则所走的最短线段是 ；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是11和3，
所以走的最短线段是 ；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9和5，
所以走的最短线段是 ；
，三种情况比较而言，第一种情况最短，最短路程 ，
故选： ．
10．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短
路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为 ，如果把树干看成圆柱体，其底
面周长是 ，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是 ．
A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8
【解答】解： 葛藤绕树干盘旋2圈升高为 ，
葛藤绕树干盘旋1圈升高为 ，
如图所示：
．
这段葛藤的长 ．
故选： ．
11．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点 出发沿着长方体的表面爬行到顶点 ，那么它爬行的最短路程是
A． B． C． D．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路
线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得 ；
（2）展开前面上面由勾股定理得 ；
（3）展开左面上面由勾股定理得 ．
所以最短路径的长为 ．
故选： ．
12．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点 离点 的距离为1，一只蚂蚁如果要沿
着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短路程是
A． B．5 C． D．
【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，
如图
长方体的宽为2，高为4，点 离点 的距离是1，
；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图
长方体的宽为2，高为4，点 离点 的距离是1，
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图
长方体的宽为2，高为4，点 离点 的距离是1，
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是5．
故选： ．13．如图，圆柱的底面半径为 ， 是底面圆的直径，点 是 上一点，且
，一只蚂蚁从 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短距离是
A． B． C． D．
【解答】解：侧面展开图如图所示：
圆柱的底面半径为 ，
圆柱的底面周长为 ，
．
在 中， ．
故选： ．
14．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 、 、 ． 和 是这个台阶
上两个相对的端点，点 处有一只蚂蚁，想到点 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶
面爬行到点 的最短路程为A．15 B．17 C．20 D．25
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 ，宽为 ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程为 ，
由勾股定理得： ，
解得 ．
故选： ．
15．如图，长方体长为8，宽为10，高为6，已知点 与点 距离为2，一只蚂蚁如果要沿
着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是 ．
【解答】解：如图 （1） ；（2） ；
（3） ．
，
需要爬行的最短距离是 ，
故答案为： ．
16．如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点 出发，沿 ， ，
三个面走最短路径到点 ；同时，乙蚂蚁以相同的速度从 点 出发，沿 ， 两个面
走最短路径到点 ．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？【解答】解析展开 ， ， 与 在同一平面内，如图所示．
由题意可知，甲蚂蚁走的路径为 ， ．
乙蚂蚁走的路径为 ， ．
因为 ，
所以 ，故乙蚂蚁先到达目的地．
17．如图，圆柱形容器的高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的
点 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 与蚊子相对的点 处，
求壁虎捕捉蚊子的最短距离．
【解答】解：如图，将容器侧面展开，作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，
则 即为最短距离．
高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点 处有一蚊子，此时
一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 与蚊子相对的点 处，
， ，
在直角△ 中， ．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．18．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于 、 、 ，
和 是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点 出发经过台阶爬到点 的最短路
线有多长？
【解答】解：将台阶展开，如下图，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以蚂蚁爬行的最短线路为 ．
答：蚂蚁爬行的最短线路为 ．
19．如图，是放在地面上的一个无盖的长方形盒子，长、宽、高分别是 ， ， ．
一只蚂蚁想从盒底的点 沿盒的表面爬到盒顶的点 ，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？
蚂蚁要爬行的最短行程是多少？【解答】解：（1）如图1所示：
，
如图2所示：
．
，
蚂蚁沿着正面和右面爬行即可；蚂蚁爬行的最短路程是 ．
20．（1）如图1，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ．求该长方体中能放入木棒
的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ．现有一只蚂蚁从点 处沿长方
体的表面爬到点 处，求它爬行的最短路程．
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面周
长为 ，在容器内壁离底部 的点 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离
容器上沿 的点 处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【解答】解：（1）由题意得：该长方体中能放入木棒的最大长度是：
．
（ 2 ） 分 三 种 情 况 可 得 ：
所以最短路程为 ；
（3） 高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点 处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 与饭粒相对的点 处，
， ，
将容器侧面展开，作 关于 的对称点 ，
连接 ，则 即为最短距离，
．
