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专题 2.4 《等式与不等式》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2021·四川攀枝花市·高三二模（理））已知集合 ，则 （
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
化简集合A，根据并集运算即可.
【详解】
因为 ，
所以
故选：C
2．（2021·内蒙古高三一模（理））已知集合 ， ，则 =（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
分别解绝对值不等式和一元二次不等式运算即可．【详解】
由题， ， ，所以
．
故选：B．
3．（2021·陕西西安市·高三二模（理））已知“x>2”是“ <1”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
求得 的解集，由此确定充分、必要条件.
【详解】
，
所以 是 的充分不必要条件.
故选:A
4．（2021·陕西西安市·高三二模（理））设集合 ， ，若 ，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
求得集合 ，根据 求得实数 的取值范围.
【详解】
，由于 ， ，
所以 .
故选：B
5．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模拟（理））若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
对于选项A,B,C举反例可判断，选项D函数 在 上单调递增可判断.
【详解】
由
选项A. ，不一定成立，例如 ，满足 ，但 ，故A不正确.
选项B. 不一定成立，例如 ,
此时 ，此时 ，故B不正确.
选项C. ，不一定成立， ，满足 ，但此时 ，故C不正确.
选项D. 由函数 在 上单调递增，当 时，一定有 成立，故D正确
故选：D
6．（2021·上海高三二模）已知实数 ､ 满足 ，有结论：①存在 ， ，使得
取到最大值；②存在 ， ，使得 取到最小值；正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立
【答案】C【解析】
由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断．
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
① ， ， ，当且 时取等号，
所以 ，
解得 ，即 取到最大值2；①正确；
② ， ，
当 时， ，
当且仅当 时取等号，此时 不符合 ，不满足题意；
当 时， ，
当且仅当 时取等号，此时
此时取得最大值，没有最小值，②错误.
故选：C.
7．（2021·全国高三月考（文））已知正实数 ， ， 满足 ， ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，结合 ， 是正实数可得 的范围，将 代入 ，分离
，再利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 可得： ，
所以 ，即 ，
因为 ，当 时取得最小值 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ，
故选：C.
8．（2020·上海高一专题练习）已知函数 满足 ，且 ，则
与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意，由二次函数的性质分析可得 、 的值，则有 ， ，由指数的性质分情况讨论
的值，比较 和 的大小，综合即可得答案．
【详解】根据题意，函数 满足 ，则有 ，即 ，
又由 ，则 ，所以 ， ，
若 ，则有 ，而 在 上为减函数，此时有 ，
若 ，则有 ，此时有 ，
若 ，则有 ，而 在 上为增函数，此时有 ，
综合可得 ，
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·福建高三三模）已知 ， ，且 ，则 可能取的值有（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】BCD
【解析】
由题意可知 ，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从
而可得答案
【详解】
解：因为 ， ，且 ，
所以，当且仅当 ，即 取等号，
故选：BCD
10．（2021·湖南高三三模）已知 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D． （ ）
【答案】BD
【解析】
由已知结合对数的运算性质及基本不等式，不等式的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】
解：因为 ，
所以 ， ， ，
所以 ， 错误；
， 正确；
取 ， ， ， 错误；
，
所以 ， 正确．
故选： ．11．（2021·福建漳州市·高一期末）已知函数 ，若对于区间 上的任意两
个不相等的实数 ， ，都有 ，则实数 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
对于区间 上的任意两个不相等的实数 ， ，都有 ，分析即 在区间 上
单调，利用二次函数的单调区间判断.
【详解】
二次函数 图象的对称轴为直线 ，
∵任意 且 ，都有 ，
即 在区间 上是单调函数，∴ 或 ，
∴ 或 ，即实数 的取值范围为 .
故选：AD
12．（2021·江苏高三其他模拟）当 ， 时，下列不等式中恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
利用基本不等式变形，判断ABC选项，选项D首先利用立方和公式化简，再利用基本不等式判断.
【详解】
对于A， 当且仅当 时取等号，正确.
对于B， ，当且仅当 时取等号，正确.对于C， ，当且仅当 时取等号，错误.
对于D， ，当且仅当 时取等号，正确.
故选：ABD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·高邮市临泽中学高一开学考试）已知b克盐水中含有 克盐，若给盐水加热，蒸发
了 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.
【答案】
【解析】
由已知可得原来盐占盐水的比例，再求出蒸发了 克水后，盐占盐水的比例，可得不等式．
【详解】
原来盐占盐水的比例为 ，给盐水加热，蒸发了 克水后，盐占盐水的比例为 ，则
14．（2021·浙江高一期末）若正数x，y满足 ，则 的最小值是__________．
【答案】5
【解析】
先由条件 得 ，再利用1的代换以及基本不等式求最值.
【详解】由条件 ，两边同时除以 ，得到 ，
那么
等号成立的条件是 ，即 ，即 .
所以 的最小值是5，
故答案为： 5 ．
15．（2021·北京高一期末）设 ，给出下列四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数 的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即
可.
【详解】
由 知， ， ，故 ，得 ，故①正确；
取 ，满足 ，但 ，不满足 ，故②错误；
由指数函数 单调递增可知， ，则 ，故③正确；
由 知， ， ，根据不等式性质可知， ，故，故④正确.
故答案为：①③④.
16．（2021·浙江高三专题练习）已知函数 ，若 时，
，则 的最大值是___________.
【答案】
【解析】
根据函数 ，分 ， 和 三种情况讨论，分别求得其最
大值，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
当 时， ，
因为 ，可得 ，所以 ，
所以 ；
当 时， ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以 ；
当 时， ，
由 知， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
综上可得， 的最大值是 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2020·全国高一课时练习）某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P
＝ (t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0
