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专题 2.4 《等式与不等式》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2021·四川攀枝花市·高三二模（理））已知集合 ，则 （
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
化简集合A，根据并集运算即可.
【详解】
因为 ，
所以
故选：C
2．（2021·内蒙古高三一模（理））已知集合 ， ，则 =（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
分别解绝对值不等式和一元二次不等式运算即可．【详解】
由题， ， ，所以
．
故选：B．
3．（2021·陕西西安市·高三二模（理））已知“x>2”是“ <1”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
求得 的解集，由此确定充分、必要条件.
【详解】
，
所以 是 的充分不必要条件.
故选:A
4．（2021·陕西西安市·高三二模（理））设集合 ， ，若 ，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
求得集合 ，根据 求得实数 的取值范围.
【详解】
，由于 ， ，
所以 .
故选：B
5．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模拟（理））若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
对于选项A,B,C举反例可判断，选项D函数 在 上单调递增可判断.
【详解】
由
选项A. ，不一定成立，例如 ，满足 ，但 ，故A不正确.
选项B. 不一定成立，例如 ,
此时 ，此时 ，故B不正确.
选项C. ，不一定成立， ，满足 ，但此时 ，故C不正确.
选项D. 由函数 在 上单调递增，当 时，一定有 成立，故D正确
故选：D
6．（2021·上海高三二模）已知实数 ､ 满足 ，有结论：①存在 ， ，使得
取到最大值；②存在 ， ，使得 取到最小值；正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立
【答案】C【解析】
由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断．
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
① ， ， ，当且 时取等号，
所以 ，
解得 ，即 取到最大值2；①正确；
② ， ，
当 时， ，
当且仅当 时取等号，此时 不符合 ，不满足题意；
当 时， ，
当且仅当 时取等号，此时
此时取得最大值，没有最小值，②错误.
故选：C.
7．（2021·全国高三月考（文））已知正实数 ， ， 满足 ， ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，结合 ， 是正实数可得 的范围，将 代入 ，分离
，再利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 可得： ，
所以 ，即 ，
因为 ，当 时取得最小值 ，
所以 ，
所以 的最大值为 ，
故选：C.
8．（2020·上海高一专题练习）已知函数 满足 ，且 ，则
与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意，由二次函数的性质分析可得 、 的值，则有 ， ，由指数的性质分情况讨论
的值，比较 和 的大小，综合即可得答案．
【详解】根据题意，函数 满足 ，则有 ，即 ，
又由 ，则 ，所以 ， ，
若 ，则有 ，而 在 上为减函数，此时有 ，
若 ，则有 ，此时有 ，
若 ，则有 ，而 在 上为增函数，此时有 ，
综合可得 ，
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·福建高三三模）已知 ， ，且 ，则 可能取的值有（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】BCD
【解析】
由题意可知 ，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从
而可得答案
【详解】
解：因为 ， ，且 ，
所以，当且仅当 ，即 取等号，
故选：BCD
10．（2021·湖南高三三模）已知 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D． （ ）
【答案】BD
【解析】
由已知结合对数的运算性质及基本不等式，不等式的性质分别检验各选项即可判断．
【详解】
解：因为 ，
所以 ， ， ，
所以 ， 错误；
， 正确；
取 ， ， ， 错误；
，
所以 ， 正确．
故选： ．11．（2021·福建漳州市·高一期末）已知函数 ，若对于区间 上的任意两
个不相等的实数 ， ，都有 ，则实数 的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
对于区间 上的任意两个不相等的实数 ， ，都有 ，分析即 在区间 上
单调，利用二次函数的单调区间判断.
【详解】
二次函数 图象的对称轴为直线 ，
∵任意 且 ，都有 ，
即 在区间 上是单调函数，∴ 或 ，
∴ 或 ，即实数 的取值范围为 .
故选：AD
12．（2021·江苏高三其他模拟）当 ， 时，下列不等式中恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
利用基本不等式变形，判断ABC选项，选项D首先利用立方和公式化简，再利用基本不等式判断.
【详解】
对于A， 当且仅当 时取等号，正确.
对于B， ，当且仅当 时取等号，正确.对于C， ，当且仅当 时取等号，错误.
对于D， ，当且仅当 时取等号，正确.
故选：ABD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·高邮市临泽中学高一开学考试）已知b克盐水中含有 克盐，若给盐水加热，蒸发
了 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.
【答案】
【解析】
由已知可得原来盐占盐水的比例，再求出蒸发了 克水后，盐占盐水的比例，可得不等式．
【详解】
原来盐占盐水的比例为 ，给盐水加热，蒸发了 克水后，盐占盐水的比例为 ，则
14．（2021·浙江高一期末）若正数x，y满足 ，则 的最小值是__________．
【答案】5
【解析】
先由条件 得 ，再利用1的代换以及基本不等式求最值.
【详解】由条件 ，两边同时除以 ，得到 ，
那么
等号成立的条件是 ，即 ，即 .
所以 的最小值是5，
故答案为： 5 ．
15．（2021·北京高一期末）设 ，给出下列四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数 的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即
可.
【详解】
由 知， ， ，故 ，得 ，故①正确；
取 ，满足 ，但 ，不满足 ，故②错误；
由指数函数 单调递增可知， ，则 ，故③正确；
由 知， ， ，根据不等式性质可知， ，故，故④正确.
故答案为：①③④.
16．（2021·浙江高三专题练习）已知函数 ，若 时，
，则 的最大值是___________.
【答案】
【解析】
根据函数 ，分 ， 和 三种情况讨论，分别求得其最
大值，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
当 时， ，
因为 ，可得 ，所以 ，
所以 ；
当 时， ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以 ；
当 时， ，
由 知， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
综上可得， 的最大值是 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2020·全国高一课时练习）某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P
＝ (t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，
t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？
【答案】销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
【解析】
先化简函数解析式，再求出各段的最大值，比较得出函数的最大值．
【详解】
设日销售金额为 元，则
，即 ，
当 时， ， 时 有最大值900；
当 时， 是减函数， 时 有最大值1125.
综上所述， 时 有最大值1125，
所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元.
18．（2021·安徽高三二模（理））已知函数 ．
（Ⅰ）解不等式： ；
（Ⅱ）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
（Ⅰ）分类讨论的方式，求绝对值不等式的解集即可.
（Ⅱ）由题设，讨论 、 情况下，由参变分离变形为 形式且恒成立，即可求
的范围.
【详解】
（Ⅰ）由 ，得： 或 或 ，
∴解得 或 或 ，故不等式 的解集为 ．
（Ⅱ）由题意知，当 时， 恒成立．
若 ，则 ，可得 ；
若 ，则 ，可得 ．综上，实数 的取值范围是 ．
19．（2021·山西临汾市·高三二模（文））已知a，b为正实数，且满足 ．证明：
（1） ；
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）由基本不等式直接证明；
（2）用“1”的代换，凑配成积的定值，再由基本不等式证明．
【详解】
（1）因为 ，
所以 （当且仅当 取等号）；
（2） （当且仅当 ，
即 时等号成立），
所以 ．
20．（2021·贵溪市实验中学高三一模）已知二次函数 的最小值为3，且 .
（1）求 的解析式；
（2）若 的图像恒在直线 的上方，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .【解析】
（1）根据题意设 ，代 求出参数即可得出函数解析式；
（2）原不等式等价于 恒成立，将二次函数函数 配成顶点坐标式求出最小值
即可得出其范围.
【详解】
解：（1）因为二次函数 中 ，所以对称轴为
又二次函数 的最小值为3，故可设
所以
所以
（2） 的图像恒在直线 的上方
等价于 即 恒成立
因为
所以 ，即实数 的取值范围 .
21．（2021·全国高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成
“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量 （单位：千克）与施用肥料 （单位：
千克）满足如下关系： ，肥料成本投入为 元，其它成本投入（如培育管
理、施肥等人工费） 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 （单位：元）
（1）写单株利润 （元）关于施用肥料 （千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） （2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最
大，最大利润为480元．
【解析】
（1）用销售额减去成本投入得出利润 的解析式；
（2）分段判断 的单调性，及利用基本不等式求出 的最大值即可．
【详解】
（1）依题意 ，又
所以 ．
（2）当 时， ，开口向上，对称轴为 ，
在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
在 ， 上的最大值为 ．
当 时， ，
当且仅当 时，即 时等号成立．因为 ，所以当 时， ．
答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．
22．（2020·泰州市第二中学高一期中）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的零点；
（2）当 时，函数 在 上为减函数，求实数 的取值范围；
（3）当 时，是否存在实数 ，使得 在闭区间 上的最大值为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，且 .
【解析】
（1）分 、 两种情况解方程 ，即可得解；
（2）化简函数 在区间 上的解析式，由已知条件可得出关于实数 的不等式，进而可得出实数
的取值范围；
（3）根据题意，先由 可得出 ，可得知，对任意的 ， ，从而可得出
函数 在区间 上的最大值为 ，然后对实数 的取值进行分类讨论，分析二次函数 在区
间 上的单调性，结合 可求得实数 的值.
【详解】
（1）当 时， .
当 时， ，令 ，可得 ， ，
方程 无实根，此时，函数 无零点；当 时， ，令 ，可得 ， ，解得 .
综上所述，函数 的零点为 ；
（2）当 且 时， ，
由于函数 在 为减函数，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 ；
（3）存在实数 ，使得函数 在闭区间 上的最大值为 .
根据题意， .
若函数 在区间 上的最大值为 ，则 ，即 .
当 时，函数 在区间 上为增函数，
则函数 在区间 上的最大值为 .
故函数 必在区间 上取得最大值 .
①当 时，即当 时，函数 在区间 上为减函数，
此时， ，解得 ；
②当 时，即当 时， ，解得 ，不合乎题意.
综上所述， .
