文档内容
押北京卷 13 题
填空题中的开放题
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
三角函数 2023·北京卷T13
开放类试题是一类具有开放性和发散性的问题，此
可以预测2024年新
类问题一般条件或结论不完备，没有明确的结论，
高考命题方向将继
解题方向不明，自由度大，需要考生自己去探索，
位置关系 2019·北京卷T13 续以基础知识为载
结合已知条件进行分析、比较和概括，因此是考查
体的开放题为背景
创新能力、数学思维能力、分析问题和解决问题能
展开命题．
力的好题型.
函数性质 2018·北京卷T13
1．（2023·北京卷T13）已知命题 若 为第一象限角，且 ，则 ．能说明p为假命
题的一组 的值为 ， ．
【答案】
【解析】因为 在 上单调递增，若 ，则 ，
取 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，则 ，
即 ，则 .不妨取 ，即 满足题意.
2.（2019·北京卷T13）已知l，m是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
3.（2018·北京卷T13）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是
增函数”为假命题的一个函数是 ．
【答案】y=sinx（答案不唯一）
【解析】令 ，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］
上不是增函数.
又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］
上不是增函数.
1.求解条件开放型问题的一般思路：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，
结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，这是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出
发，逆行追索，由果寻因.
2.求解结论开放型问题的一般思路：要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归类、类比，透彻分
析出给定条件下可能存在的结论现象.然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维方式.它要求解
题者要依据条件进行大胆合理的猜想，发现规律得出结论.
1.已知集合 ， ，则试写出从 到 的一个函数 _____________.
【答案】 （答案不唯一）【解析】令 ，
则有 ， ， ，满足题意，
故答案为： .
2．已知向量 ， ， ，写出一个非零向量 的坐标： ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 ， ，
所以 ，
又 且 ，
所以 ，则 ，
不妨令 .
3．写出一个同时满足①②的复数 .① ；② .
【答案】 (或 )
【解析】因为 ，不妨设 ，
由 得 ，
所以 ，解得 ， ，所以 或 ，
4．在三棱锥 中，当三条侧棱 之间满足条件 时，有 ．
【答案】 VC⊥VA且VC⊥VB或
【解析】当 ， 时， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，因此 ；
当 时， ，得 ≌ ，则取 的中点 ，连接 ，则 ，而 平面 ，
于是 平面 ，而 平面 ，所以 .
符合题意的条件为 且 或 等等．
5．在正四棱柱 中， 、 分别是为棱 、 的中点， 是
的中点，点 在四边形 上及其内部运动，则 满足条件 时，有 平面 （或
）．
【答案】点M在线段FH上
【解析】如图所示：
取 中点Q，连接QN，QF，连接FH，由已知得QN，FH与 、 都平行且相等，因此FH与QN平行且相等，
从而 是平行四边形，则 ，
又 分别是 中点，则 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，同理 平面 ，
而 ， 平面 ，
∴平面 平面 ，
因此只要 ，就有 平面 ．
6．在平面直角坐标系 中，角 的始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆 交于点 （ 不在坐标轴
上）．过点 作 轴的垂线，垂足为 ．若记 为点 到直线 的距离，则 的最大值为
，此时 的一个取值为 .
【答案】 /0.5 （答案不唯一）
【解析】依题意， ， 且 ， ，
由 ，得 ，
当且仅当 或 ，即 ， 时取等号，
所以 的最大值为 ， .
7．已知 ．使 成立的一组 的值为 ； ．
【答案】 （答案不唯一）【解析】取 ，此时 ， ，
故 ，符合要求.
8．请写出一个函数 使之同时具有如下性质：
（1）函数 为偶函数；
（2） 的值域为 ．
【答案】 （答案不唯一）．
【解析】根据题意，要求函数函数 为偶函数，则函数 关于直线 对称，
而 的值域为 ， 可以为二次函数，
如 ，
9．请写出满足：直线 在两坐标轴上的截距相等且与圆 相切的一条直线的方程为
．（写出一条即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】圆 ，圆心 ，半径 ，
当直线过原点时斜率存在，设方程为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
则 解得 ，∴所求直线的方程为 ，即 ，
当直线不过原点时，设直线的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，解得 (舍)或 ，
∴所求直线的方程为 .综上，满足题意的直线有 或 ,
10．若直线 与单位圆和曲线 均相切，则直线 的方程可以是 .（写出符合条件的一
个方程即可）
【答案】 （写出符合条件的一个方程即可）
【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为： ，
由 消去y得： ，
则 ，化简得 ，
由 ，消去y得： ，
则 ，化简得 ，
由 ，解得 ，则 ，
所以直线方程为： ，
11．已知圆C满足以下两个条件：①圆C的半径为 ；②直线 被圆C所截得的弦长为2．
写出一个符合以上条件的圆C的标准方程为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】设圆C的圆心坐标为 ，因为直线 被圆C所截得的弦长为2，圆的半径为 ，
所以 ，整理得 或 ，所以 或 ．
可取 ，此时圆 ．
12．已知M，N为抛物线C： 上不关于x轴对称的两点，线段 的中点到C的准线的距离为3，则直线 的方程可能是 .（写出满足条件的一个方程即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】设直线 ， ，联立 ， ，
， ，
，
因为线段 的中点到C的准线的距离为3，抛物线的准线为： ，
所以 ，所以 .
令 ，得 ，直线 的方程可能是 .
13．写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为 ．
①中心在原点，焦点在y轴上；②离心率为 ；③焦距大于8．
【答案】 （答案不唯一，符合题意即可）
【解析】由题意可知： ，可得 ，
令 ，可得 ，
又因为中心在原点，焦点在y轴上，可得椭圆的标准方程为 .
14．已知数列 满足： ， ，数列 是递增数列，试写出一个满足条件的实数 的值 ．
【答案】1（ 取满足 的任何一个实数值）
【解析】因为数列 是递增数列，且 ，
则 ，即 ，
整理可得 ，即 ，
因为 ，即 ，所以 ，所以 .
15．已知数列 是公比不为1的等比数列， ，则 ．（写出满足上述条件的一个
值即可）
【答案】7（或12，或15，或16中任一个均可）
【解析】在等比数列 中，由 得 ，
所以 ，不妨令 ，
则 的不同取值有 ，或者 ，
或者 ，或者 ，所以 的所有取值为 .
16．写出一个同时满足下列三个性质的函数： .
① 的图象在 轴的右侧；
②若 ，则 ；
③当 时， （ 为函数 的导函数）.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】结合①③不妨设 ，其定义域为 ，
其图象在 轴的右侧，且 ，所以满足条件①③；
若 ，则 ，令 ，则 ，
所以 ，令 ，可得 （答案不唯一）.
17．函数 ，其中 且 ，若函数是单调函数，则 的一个取值为 ，若
函数存在极值，则 的取值范围为 .
【答案】 2（满足 均可）
【解析】因为 且 ，若函数是单调函数，结合二次函数可知： 在 上单调递增，
则 ，解得 ，例如 ；
可知 为连续不断函数，若函数存在极值，则 在 上不单调，
所以 的取值范围为 .
18．在 中，角A， ， 所对的分别为 ， ， ．若角A为锐角， ， ，则 的周长
可能为 ．（写出一个符合题意的答案即可）
【答案】9（答案不唯一， 内的任何一个值均可）
【解析】由余弦定理可得 ，
因为角A为锐角，则 ，可得 ，
所以 的周长 .
19．函数 的定义域为 ，对任意的 ， ，恒有 成立.请写
出满足上述条件的函数 的一个解析式 .
【答案】 （答案不唯一）【解析】依题意不妨令 ，
则 ，
又
，
所以 ，故 符合题意.
同理可证明 ， ， ，也符合题意.
20．已知函数 的图像关于 中心对称，且 在区间 上单
调递减，则 的值可以是 .（写出一个符合题意的 的值即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由题意得 ，则 ，
即 ， ，解得 ， ，
又因为 ，即 ， ，
单调递减，所以 ， ，解得 ， ，
所以当 ， 时，得 时满足题意（本题答案不唯一，只需所取 同时满足
和 即可）.
