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2025 年高考考前信息必刷卷 04（广东专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C D D C C B A C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AB AC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．3 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）因为 ，所以，
又因为
所以， ，得 ， （3分）
所以，由余弦定理得 ，
又B为三角形内角，
所以， （6分）
（2）因为 的面积为 ， ， ，
所以， ，所以 ，又 ，
因为BD为 的中线，所以， ， （10分）所以， ，
所以 （13分）
16．（15分）
【解析】（1）连接AC.
∵底面 为菱形， ， 是正三角形， 是BC中点，
，又 ， （3分）
，又 平面 ，
平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，
∴平面 平面 . （6分）
（2）
由（1）知，AE，AD，AP两两垂直，
以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， （7分）
， ， ， ， ，
， ，
而 ， （10分）
且 ，设平面 的法向量 ，
，取 时， ， （12分）
.
设平面 的法向量为 ， （13分）
设二面角 为
，因为 为锐角，所以 ， （14分）
所以二面角 的平面角的余弦值为 . （15分）
17．（15分）
【解析】（1） ，故 ，可得 ，
所以 ，即 ，解得 或 ；
椭圆离心率 ，所以 或 ． （5分）
（2）由 得 ，所以 ，即 ，所以 ，椭圆C： ，
即 ；
设 ， ， ，则 ， ，① （6分）
由N是AB中点得 ，代入 得 ，
所以 ，即 ，即 ；由M在椭圆上，则 ，即 ， （9分）
整理得 ，②
将①代入②得： ，③
若直线AB的斜率不存在，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意，
线段AB中点为 ，设直线AB： ，由 得
，所以 ，由 解得 ，
所以 ，直线AB方程为
所以 ，④ （12分）
将④代入③得： ，
满足 ，所以椭圆C的方程为 ． （15分）18．（17分）
【解析】（1）由题意当 时 ，则 ，
令 解得 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增． （3分）
（2）先证明对任意 ， ，
令 ， ，
令 解得 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 ，即 ， （6分）
故 对任意 成立，且当且仅当 时取等号，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 在 上恒成立． （9分）
（3）由（2）， 在 上恒成立，当且仅当 时等号成立，
也即 的根为 的根，下讨论方程 的根的个数，
化简得 ，令 ，则 ，
令 解得 ，所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， （13分）
所以 ，
又 ，且当 时， ， 时， ，
故当 时，方程 无实根；当 时，方程 有一个实根；当 时，方程
有两个实根；当 时，方程 有一个实根，
综上所述当 时，方程 无实根；当 时，方程 有一个实根；当
时，方程 有两个实根；当 时，方程 有一个实根． （17分）
19．（17分）
【解析】（1）数列 ， ， ， 的所有间子列为 （4分）
（2）证明：考虑取出间子列后剩下的项，对于数列 ，考虑其剩下的项不含 项的情况，
则对于其剩下的项，必有 ，
若在剩下的项添加项 ，则必有，对于剩下的项 ，有 ，符合条件，
则剩余的项在数列 的情况下同样满足 ，故此时取出的数列既是
的间子列，也是数列 的间子列，得证. （9分）
（3）考虑取出间子列后剩下的数列，
因为间子列和剩余数列互补成原数列，故它们一一对应，即有“抽取到间子列的概率”和“抽取到取
完间子列后剩下数列”的概率相同，
记剩余的项按原顺序排成的数列为“剩余列”，
设 为数列 剩余列的数量，其中，记 为不含有 剩余列的数量， 为含有剩余列的数量，则有 ，
另一方面，由（2）中的结论有：对于与不含 的非双项剩余列，其数量与含 的非双项剩余列数
量相同，
并且对于 的双项剩余列，其由 前的每一项和 的组合而成；
即 ， （12分）
由于 ，故 ，
故 ，
故 ，等价于 ；
故 ，
设 ，
，
故 ，则对任意的 ，均有 ；
所以 有 ， （14分）
因为每个取出的新数列均按照从小到大的顺序排列，故取出的方法总数共有
种，
则 ，
要证 即证 ；
等价于 ，当 时，由上可知等价命题成立；
故 时，必有 即 ， （16分）
，
所以 ，得证. （17分）
