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第四章 基本平面图形 章末检测卷（北师大版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022·山东·招远市教学研究室期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）两条射线所组成的图形叫做角；（2）角是有公共端点的两条射线；
（3）角的大小与边的长短无关；（4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角；
（5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据角的定义及性质逐项判断即可．
【详解】（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故（1）错误；
（2）角是有公共端点的两条射线组成的图形，故（2）错误；
（3）角的大小与边的长短无关，说法正确；
（4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角，说法正确；
（5）有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故（5）错误．即正确的个数为2个，故选：B．
【点睛】本题考查了角的定义及性质，紧扣角的定义即可作答．角的定义：有公共端点的两条射线所组成
的图形叫做角；一条射线绕着它的端点从一个位置旋转至另一个位置所形成的图形．
2．（2022·河北·石家庄七年级期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
C．∠β+∠AOB＝∠AOC D．∠AOC也可用∠O来表示
【答案】D
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【详解】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项不符合题意；
B、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选不符合题意；C、∠β表示的是∠BOC，∠β+∠AOB=∠AOC，正确，故本选项不符合题意；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
3．（2022·河南平顶山·七年级期末）下列说法中正确的有（ ）
①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是11
②在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°
③线段AB的长度就是A，B两点间的距离
④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点
⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短
⑥1°＝3600′
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】根据多边形的对角线，线段的性质，线段的中点，钟面角及角度的换算依次判断即可．
【详解】解：①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是
10，原说法错误；
②在时刻8：30时，时针和分针中间相差2.5个大格，每个大格之间的度数为30 ，
两针之间的夹角为： ，原说法正确； °
∴③线段AB的长度就是3A0，°×B2两.5=点7间5°的距离，说法正确；
④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点，说法错误，缺少条件P、A、B在同一直线上；
⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短，正确；
⑥1°＝3600”，原说法错误；所以正确的有3个，故选：A．
【点睛】题目主要考查多边形的对角线，线段的性质，线段的中点，钟面角及角度的换算，掌握相关定义
是解题关键．
4．（2022·山东烟台·期中）下列换算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可．
【详解】解：A、∵1°=60′，∴0.48°=28.8′，
∵1′=60″，∴0.8′=48″，∴23.48°=23°28′48″，故A不符合题意；
B、∵1°=60′，∴0.25°=15′，∴22.25°=22°15′，故B符合题意；
C、∵1°=60′，∴0.183°=10.98′，∵1′=60″，∴0.98′=58.8″，∴18.183°=18°10′58.8″，故C不符合题意；
D、∵1°=60′，∴0.11°=6.6′，∵1′=60″，∴0.6′=36″，
∴47.11°=47°6′36″，故D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
5．（2022·福建省福州延安中学七年级期末）如图，点P是线段 上的点，其中不能说明点P是线段
中点的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线段的中点的意义和定义去判断即可．
【详解】A、∵ ，∴点P是线段 中点，不符合题意；
B、∵ ，∴点P是线段 中点，不符合题意；
C、∵ ，∴点P是线段 上一点，不能说明点P是线段AB的中点，符合题意；
D、∵ ，∴点P是线段 中点，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查线段的中点即线段上的一点把线段分成了相等的两条线段，熟练掌握定义是解题的关键．
6．（2022·河北·石家庄七年级期中）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【分析】一副三角板，度数有： 、 、 、 ，根据度数组合，可以得到答案．
【详解】解：利用一副三角板可以画出 的角，是 和 角的组合故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.
7．（2022·北京海淀区·七年级期中）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区
和B小区相距am，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距am，某公司的员工在A小区有30人，
B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停
靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区【答案】B
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．
【详解】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5a+20×（200+a）+6（2a+200）
＝37a+5200（m），
因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30a+20×200+6（a+200）＝36a+5200（m），
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30（a+200）+5×200+6a＝36a+7000（m），
当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×（2a+200）+5（a+200）+20a＝98a+7000
（m），
因为36a+5200＜37a+5200＜36a+7000＜98a+7000，
所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：
B．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
8．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，若 ，且 ，
求 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据角的和差可得 ，又根据角的和差可得 ，再根据
即可得．
【详解】解： ， ，
，
，
，
又 ， ，
，故选：A．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，正确找出图形中的角之间的联系是解题关键．9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）己知点M是线段AB上一点，若 ，点N是直线AB上的一动
点，且 ，则 的（ ）
A． B． C．1或 D． 或2
【答案】C
【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．
【详解】当N在射线BA上时， ，不合题意
当N在射线AB上时， ，此时
当N在线段AB上时，
由图可知
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴ 故选：C．
【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系．
10．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）将一张长方形纸片 按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点
B、D折叠后的对应点分别为 、 ，若 ，则 的度数为（ ）A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°
【答案】B
【分析】由长方形和折叠的性质结合题意可求出 ．再根据
，即可求出答案．
【详解】由长方形的性质可知： ．
∴ ，即
．
由折叠的性质可知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．故选B．
【点睛】本题考查长方形的性质，折叠的性质．利用数形结合的思想找到角之间的关系是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江）木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点，而且只能弹出一条
墨线，其数学原理为___________．
【答案】两点确定一条直线
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故答案是：两点确定一条直线．
【点睛】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，掌握直线的性质是解题的关键．
12．（2022·辽宁西丰县·八年级期末）如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，
C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是______．【答案】78°
【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可
求解．
【详解】解：∵AE，DB是正南和正北方向，∴BD∥AE，
∵B处在A处的南偏西42°方向，∴∠BAE＝∠DBA＝42°，
∵C处在A处的南偏东30°方向，∴∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°，
又∵C处在B处的北偏东72°方向，∴∠DBC＝72°，∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°．故答案为：78°．
【点睛】本题考查的是方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象
所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
13．（2022·山东威海·七年级期中）已知：从 边形的一个顶点出发共有 条对角线；从 边形的一个顶
点出发的所有对角线把 边形分成 个三角形；正 边形的边长为 ，周长为 ．则 的值为
________．
【答案】-1
【分析】根据题意，由多边形的周长及性质“从n边形的一个顶点出发，能引出(n﹣3)条对角线，一共有
条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形”，分析出m、n、t的值并代入 计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可知， ， ， ，
∴ ．故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质，理解并掌握多边形的相关性质是解题关键．
14．（2022·山东烟台·期末）小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为________度．
【答案】22.5
【分析】根据分针与时针每分钟转动的度数，得出2点时的夹角，然后根据15分钟内它们所转动的角度，
可得答案．
【详解】解：对于分针，每分钟转动360÷60=6°
对于时针，每分钟转动6÷12=0.5°
在2点整，分针落后时针 ×360=60°
而再过15分钟，分针追上（6-0.5）×15=82.5°
即两针夹角为：82.5-60=22.5°故答案为：22.5．
【点睛】本题考查了钟面角，理解时针与分针转动角度的意义所在，时钟的时针跟分针都会同时转动是解
题关键．
15．（2022·山东城阳区·）如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，1~7号分别对应着七巧板的七块，如
果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”的面积等于___________cm2．
【答案】80【分析】将七巧板进行分割，分成16个面积相等的三角形，从而计算即可．
【详解】解：如图，将七巧板进行如下分割，可将七巧板分成16个面积相等的三角形，
其中编号5对应的面积为5cm2，∴由这个七巧板拼成的正方形的面积为：16×5=80cm2，
则拼成的“房子”的面积为80cm2，故答案为：80．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，七巧板的性质，解题的关键是明确七巧板的构成，以及每块的面积与整
个七巧板的关系．
16．（2022·福建·福州华伦中学七年级期末）如图直线l上有AB两点， ，点O是线段AB上的
一点， ，若点C是射线AB上一点，且满足 ，则OC＝______cm．
【答案】 或
【分析】根据题意可求出 ， ．设 ，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点
C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据 ，即得
出关于x的等式，解出x即可．
【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴ ， ．
设 ，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知， ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ．
故此时 ；
②当点C在OB之间时，如图，
由图可知， ， ．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故此时 ；
综上可知OC的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的
思想是解题的关键．
17．（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：
问题：在一条直线上有 ， ， ， 四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以 为端点的线段有 ， ， 3条，同样以 为端点，以
为端点，以 为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但 和 是同一条线段，
即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有
______条线段；若在一条直线上有 个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角 内部画2条射线 ， ，则这个图形中总共有______个角；若在
内部画 条射线，则总共有______个角．学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段
线路准备______种不同的车票．
【答案】6 ，10， ，6， ，20
【分析】问题：根据线段的定义解答；
知识迁移：根据角的定义解答；
学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．
【详解】解：问题：根据题意，则
；
；
；
知识迁移：在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在∠AOB内部画n条射线OC，
OD，OE，…，则图中有
1+2+3+…+n+（n+1）= 个不同的角；
学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数
×5×4=10，
需要车票的种数：10×2=20（种）．
故答案为：6 ，10， ，6， ，20；
【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别
注意．
18．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在
同一平面内自由转动），给出以下结论：① ；② ；
③ ；④ ．其中不正确的是_________．（写出序号）【答案】①③④
【分析】根据三角板中角之间的关系解答即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴当 时， ，故①不正确；
∵
∴②正确；
∵
∴③不正确；
∵ ， ，
∴
∴④不正确；
综上所述：不正确的是①③④，
故答案为：①③④
【点睛】本题考查三角板中角度的关系，解题的关键是结合图象找出角之间的关系．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．（2022·河北保定·七年级期末）已知平面上有四个村庄，用四个点A、B、C、D表示．
(1)连接AB；(2)作射线AD；(3)作直线BC与射线AD交于点E；(4)若要建一供电所M，向四个村庄供电，
要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？请画出点M的位置并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)M应建在AC与BD的交点处，理由见解析【分析】（1）根据线段的定义连接即可；
（2）根据射线的定义作出即可；
（3）根据直线、射线的定义进而得出E点位置；
（4）根据线段的性质，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
（1）如图所示，连接AB即为所求；
（2）如图所示，作射线AD即为所求；
（3）如图所示，点E即为所求；
（4）如图，点M即为所求，供电所M应建在AC与BD的交点处；
理由：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段最短，熟知线段的性质是
解题的关键．
20．（2022·福建泉州·七年级期末）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．
以下请你解答有关时钟的问题：(1)分针每分钟转了几度？(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所
成的钝角会第一次等于 ？(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于 后，再经过几分钟两针所成
的钝角会第二次等于 ？
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；
（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是 ，列方程解答即可；
（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于 时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与
之和是360°．
（1）
解：∵分针一小时转一圈即360°,
∴分针每分钟转过的角度是： ,
答：分针每分钟转了6度；（2）
设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，
∵时针一小时转动角度为： ，
时分针每分钟转过的角度是： ；
∵分针与时针所成的钝角会第一次等于 ，
∴时针与分针转过的角度差是 ，
∴ ，
解得： ，
答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；
（3）
设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于 ，
则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于 ，
因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与 之和是360°，
故列得方程： ，
解得： ，
解得： ，
答：经过 分钟两针所成的钝角会第二次等于 ．
【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的
关键．选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果．
21．（2022·上海普陀·期末）斐波那契数列是数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称
为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13…也就是从第三个数开始，每一个数都是
前两个数的和． 如图所示的长方形是由几个正方形依次拼接而成，其中最小的正方形的边长为1．(1)如图1中最大的正方形的边长是_________．(2)如图2所示，在小正方形中画弧，将6段圆弧依次连接
起来得到曲线ABCDEFG，求曲线ABCDEFG的长．(3)如果按此规律继续画弧，将9段圆弧依次连起来得
到的曲线的长为____．
【答案】(1)8(2) (3)
【分析】（1）由图可以看出最大的正方形是 ，它的的边长是“兔子数列”的第六个数，可得；
（2）由图2可知，每个小正方形内的圆弧的半径都为这个小正方形的边长，根据弧长公式可求每个小正方
形内的弧长，然后相加即可；
（3）根据“兔子数列”的规律继续画弧，第9段圆弧的半径是34，根据弧长公式可求．
（1）解：∵ =1，由图1知， 是数列中的第六项，∴ =8，故答案为:8；
（2）解：由图2可知，每个小正方形内的圆弧的半径都为这个小正方形的边长，
则 …
∴
∴曲线ABCDEFG的长为10π；
（3）解：根据题意得：按此规律继续画弧，将9段圆弧依次连起来得到的曲线的长为：
故答案为：44 ．
【点睛】本题考查用归纳推方法需求数列规律及弧长，理解“兔子数列”的特征是求解本题的关键．
22．（2022·辽宁西丰县·七年级期末）利用折纸可以作出角平分线．（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝ ．
（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．
①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；
②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30°
【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；（2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，
∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论；
②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论．
【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，
∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝ ∠AOB＝ ×58°＝29°，故答案为：29°；
（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，
理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，
由折叠知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，
∵点B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；
②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，
∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，
∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度数为30°．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本
题的关键．23．（2022·河北石家庄市·七年级期中）如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的
中点．（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长 cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中
结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
【答案】（1）16；（2）MN＝6cm；（3）同意，理由见解析
【分析】（1）根据线段中点的定义可求解AP的长，进而可求解AB的长；（2）根据线段中点的定义可求
得AB=2MN，即可求解MN的值；（3）可分两种情况：当P点在线段AB延长线上时，当P点在线段BA
延长线上时，根据中点的定义求解M，N两点间的距离．
【详解】解：（1）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，
∵MP=4cm，∴AP=8cm，∵P为AB的中点，∴AB=2AP=16cm，故答案为：16；
（2）∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，
∴AP+BP=2MP+2PN=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm；
（3）同意．理由：当P点在线段AB延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，
∴AP=2MP，BP=2PN，∴AP-BP=2MP-2PN=2MN，即AB=2MN，
∵AB=12cm，∴MN=6cm；
当P点在线段BA延长线上时，
∵点M、N分别是线段AP、PB的中点，∴AP=2MP，BP=2PN，
∴BP-AP=2PN-2MP=2MN，即AB=2MN，∵AB=12cm，∴MN=6cm．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点，由线段中点的定义求解两点间的距离是解题的关键．
24．（2022·广西贵港·七年级期末）.如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分
别平分∠AOC和∠BOC．(1)若∠AOB=100°，求∠MON的度数．
(2)若∠AOB=ɑ，直接写出∠MON的度数= （结果用含α的代数式表示）．
(3)若射线OC在∠AOB外部（∠BOC＜180°），其它条件不变，如图2所示，∠AOB= ，求∠MON的度
数（结果用含 的代数式表示）．
【答案】(1)50°
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CON= ∠AOC，∠COM= ∠BOC，再根据
，即可计算；
（2）根据（1）中的结论直接得到答案；
（3）根据角平分线的性质可得∠CON= ∠AOC，∠COM= ∠BOC，再根据角的和差计算．
（1）
解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON= ∠AOC，∠COM= ∠BOC，
所以∠MON=∠COM+∠CON
= ∠BOC+ ∠AOC
= （∠BOC+∠AOC）
==50°；
（2）
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON= ∠AOC，∠COM= ∠BOC，
所以∠MON=∠COM+∠CON
= ∠BOC+ ∠AOC
= （∠BOC+∠AOC）
=
= ；
故答案为： ；
（3）
如图2所示：
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON= ∠AOC，∠COM= ∠BOC，
所以∠MON=∠COM﹣∠CON
= ∠BOC﹣ ∠AOC
= （∠BOC﹣∠AOC）
=
= ．
如图3所示，∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠CON= ∠AOC，∠COM= ∠BOC，
所以∠MON=∠COM+∠CON
= ∠BOC+ ∠AOC
= （∠BOC+∠AOC）
=
= ，
综上所述，∠MON的度数 或 ．
【点睛】本题考查角的和差计算，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和理解角的和差运算是解题
的关键．
25．（2022·广东东莞·七年级期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，a、b满足
，点 是数轴原点．
（1）计算点A表示的数、点B表示的数；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点O与数_________表示的点重合；
（3）点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在线段AB上找一点C，使
，写出点C在数轴上表示的数；
（4）若点A以0.5cm/s的速度向左移动，2秒后，点B以1cm/s的速度向右移动，则B出发几秒后，A、B
两点相距1个单位长度？【答案】（1）点A表示的数为 、点B表示的数 ；（2） ；（3） ；（4）B出发4或 秒后，
A、B两点相距1个单位长度
【分析】（1）根据绝对值、乘方的性质，得 ， ，从而得 ， ，通过求
解一元一次方程，即可得到答案；
（2）点G为线段 的中点，根据数轴和线段中点的性质，得点G表示的数；结合题意，再根据数轴的性
质计算，即可得到答案；
（3）根据题意，计算得 ，结合线段的和差性质，列一元一次方程并求解，得 ，再根据坐标
的性质计算，即可得到答案；
（4）设B出发 秒后，A、B两点相距1个单位长度，根据题意列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A表示的数为 、点B表示的数 ；
（2）如图，点G为线段 的中点
∵点A表示的数为 、点B表示的数 ；
∴点G表示的数为：
∴
∵将数轴折叠，使得点A与点B重合
∴将数轴沿点G折叠
∴与点O重合的点为： ，即点O与数 表示的点重合
故答案为： ；
（3）∵点A表示的数为 、点B表示的数 ；
∴∵点C在线段AB上，且 ，
又∵
∴
∴
∵点B表示的数为
∴点 表示的数为： ；
（4）设B出发 秒后，A、B两点相距1个单位长度
根据题意，得： ，或
去括号，得： ，或
移项并合并同类项，得： ，或
∴B出发4或 秒后，A、B两点相距1个单位长度．
【点睛】本题考查了线段、有理数和一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、乘方、
一元一次方程的性质，从而完成求解．
26．（2022·重庆八中七年级期末）一副三角板按如图1所示放置，边 在直线 上，
．
(1)求图1中 的度数；
(2)如图2，将三角板 绕点O顺时针旋转，转速为 ，同时将三角板 绕点O逆时针旋转，转速
为 ，当 旋转到射线 上时，两三角板都停止转动．设转动时间为 ．
①在 范围内，当 时，求t的值；
②如图3，旋转过程中，作 的角平分线 ，当 时．直接写出时间 的值．
【答案】(1)
(2)①2s；② s或 s或 s．【分析】（1）利用角的和差关系可得 从而可得答案；
（2）①先求解 重合的时间，再画出图形，结合几何图形与角的和差关系列方程，再解方程即可；
②分情况讨论：当 时，结合①可得 当 时， 当 时，利用
角的和差关系列方程 解方程即可，当 时，如图，当 利
用角的和差关系列方程 再解方程即可，当 时， 当
时，利用角的和差关系列方程 ，再解方程即可，从而可得答案.
(1)
解： ，
(2)
解：① 则 重合时的时间为： （s），
当 时，
解得：
所以当旋转2s时，
②当 旋转到射线 上时， （s），当 时，结合①可得
当 重合时， （s）， 重合时， （s），如图，
所以当 时，
当 重合时， （s），如图，
当 时，
平分
解得：
当 重合时， （s），
当 时，如图，平分
解得： 不符合题意，舍去，
当 重合时， （s），
当
平分解得：
如图，当 再次重合时， （s），
当 时，
如图，当 重合时， （s）
当 时，
平分
解得：
综上：当 时， s或 s或 s．
【点睛】本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，“数形结
合与利用一元一次方程解决动态几何问题”是解本题的关键.
