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大题仿真卷 05（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（23-24高三下·辽宁·期末）如图所示， ， ， 为山脚两侧共线的三点，在山顶 处测得三点的俯
角分别为 ， ， ．计划沿直线 开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算：
(1) 的长度
(2)隧道 的长度．
2．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
3．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线 ： （ ， ）经过点 ，离心率
是 ，过点 的直线 与双曲线的左右两支分别交于 ， 两点.
(1)求直线 斜率的取值范围；
(2)设点 ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，试判断 是否为定值，请说明理由.
4．（24-25高三上·广西·阶段练习）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，
否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着
进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.
(1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为
随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
(2)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记 表示成功时抽球游戏的轮数， 表示对应
的人数，部分统计数据如下：
1 2 3 4 5
232 94 57 44 23
经计算发现，非线性回归模型 的拟合效果优于线性回归模型，求出 关于 的非线性回归方程；
(3)证明： （其中 且
）.
附：回归方程系数： ，
参考数据：设 ， ， ， ， ， ， .
5．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定
的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为
，相应的反链函数表达式为 .
(1)证明：曲线 是轴对称图形，
(2)若直线 与函数 和 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为 ，
证明： ；
(3)已知函数 ，其中 .若 对任意的 恒成
立，求 的最大值.（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
一、解答题
1．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知等差数列 前 项的和为 ，且 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
2．（2024·安徽·三模）如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，底面 是矩形，平面
平面 分别为线段 的中点，点 在线段 上（不包括端点）.
(1)若 ，求证：点 四点共面；
(2)若 ，是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 ，若
不存在，请说明理由.
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数 ．
(1)证明： 为奇函数；
(2)求 的导函数的最小值；
(3)若 恰有三个零点，求 的取值范围．
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（2024·北京·模拟预测）乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3
胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．
(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人采用两种赛制各共进行了
场比赛，请根据小概率值 的 独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．
(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p，没有平局．记事件“甲只要取得3局
比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B，
试证明： ．
(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是 ，没有平局．若采用“赛满 局，胜
方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为 ．若采用“赛满 局，胜方至少取得 局胜
利”的赛制，甲获胜的概率记为 ，试比较 与 的大小．
附： ，其中 ．
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
2．（23-24高三下·辽宁·期末）如图1，在矩形 中， 是线段 上（包括端
点）的一动点，如图2，将 沿着 折起，使点 到达点 的位置，满足点 平面 .
(1)如图2，当 时，点 是线段 上点的， 平面 ，求 的值；
(2)如图2，若点 在平面 内的射影 落在线段 上.
①是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求 的长；若不存在，请说明理由；
②当三棱锥 的体积最大值时，求点 到平面 的距离.
