文档内容
云南省昆明市2026届高三三诊一模摸底诊断测试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准
条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.在复平面内，复数z=(2+i)i对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合A={1,2,3,4}, B={x|2x∈A}, 则A∩B=
A. {1,2} B. {1,3} C. {2,4} D. {3,4}
x+1
3.不等式 ≤0的解集是
x-3
A. {x|-1≤x≤3} B. {x|x≤-1} C. {x|x≤-1或x＞3} D. {x|-1≤x＜3}
4.在6件不同产品中，有4件合格品，2件次品，从这6件产品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有一件是
次品的抽法种数为
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
1+tanα 1-tanα 1
5.已知 - = , 则sin2α=
1- tanα 1+tanα cos2α
1 √2
A. B. C. D. 1
2 2
6. 设非零平面向量a, b, c两两不垂直, 那么“(a·b)c=a(b·c)”是“a∥c”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.过原点O的直线与圆 C:(x-3) 2+y2=3交于A, B两点, 若|OA|, |AB|, |OB|成等差数列, 则|AB|=
√3
A. B. √3 C. 2 D. 2 √2
2
8.已知函数 f(x)=x3+ax-2a有两个零点与两个极值点，则a=
A. - 27 B. - 18 C. - 9 D. 0
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知数列{a}的前n项和为 S ,a =2,a -S =0,则
n n 1 n+1 n
A. a =2 B. S =8
2 3
C. {a}为等比数列 D. {S}为等比数列
n n10.已知椭圆C的左、右焦点分别为F₁(-c,0), F₂(c,0),抛物线D :y2=4cx,点A, B是椭圆C和抛物线D的公共
π
点，以AB为直径作圆E，若 ∠AF B= ,则
1 2
A. A, F₂, B三点共线 B. 抛物线D与圆E有四个公共点
C. 椭圆C的离心率为 √2-1 D. 椭圆C与圆E有四个公共点
11.甲、乙为两个不透明的盒子，已知甲中有2个红球和 1 个黑球，乙中有 1 个红球和 1个黑球.每次随机
从甲、乙两个盒子中各抽出 1 个球相互交换，每次交换相互独立，设第n次交换后甲盒中恰有0、1、
2个黑球的概率分别为 a、 b、 c, n∈N',则
n n n
1 1
A. c = B. a = b
1 3 2 3 1
23 1 1 21
C. b = D. b =- b + a +
2 36 n+1 6 n 3 n 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
5π π
12. 在△ABC中, 内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知 B= ,C= ,a=2,则C= .
12 3
13. 在三棱锥A-BCD中, AB⊥平面BCD, BC⊥CD, AB=CD=2, BC= √3 M为CD的中点，则直线AM 与平面
ABC所成角的正弦值为 .
14. 已知函数f(x)=sinωx (ω＞0), A,B是f(x)图象的两个相邻对称中心, f(x)在A,B处的切线相交于点 C，若
π
∠ACB＜ ,则ω的取值范围为
.
3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
为研究AI深度学习模型训练达标与工程师参与的关系.现随机抽取140次训练样本，对参与人员及其训
练结果进行统计.工程师甲是否参与训练、结果是否达标的2×2列联表如下 (单位:次):
训练结果
参与情况 合计
达标 不达标
参与 90 100
未参与 10
合计 140
(1) 完成2×2列联表，工程师甲参与的训练中，达标的概率记为P，求P 的估计值；
(2)根据小概率值( α=0.025的独立性检验，分析训练达标是否与工程师甲参与有关.
附： χ2=
n(ad-bc) 2
,n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001Xα 2.706 3.841 5024 6.635 10.828
16. (15分)
π
已知函数
f(x)=sin(2x- )+cos2x.
6
(1)求f(x)图象的对称轴方程；
π [ π π ]
(2)将函数 y=f(x)图象向左平移 个单位得到 y=g(x)的图象，当 x∈ - , 时，求函数
6 4 6
h(x)=g(x)-x2的值域.
17.(15分)
如图，已知斜三棱柱 ABC-A B C 中，△ABC为等边三角形，D是AC的中点，且 AA =CA .
1 1 1 1 1
(1) 求证: 平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C;
4√3
(2) 若 AB=√2AA =4,三棱锥. A -ABC的体积为 ,求平面
1 1 3
A₁BC₁与平面A₁B₁D夹角的余弦值.
18.(17分)
{xex,x≤0 ，
已知函数
f(x)= .
xlnx,x＞0 ，
(1) 求f(x)的单调区间;
(2)若直线y=a与f(x)的图象有4个交点，交点的横坐标从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄.
(i) 证明: x +x ＜0;
2 3
(ii) 若 f(x +x )≤m(x +x ),求m的取值范围.
2 4 2 4
19.(17分)x 2 y 2
已知双曲线C： － =1（a＞b＞0）的离心率为 √2,点.P(n=1,2,…)在C上,记 P 的坐标为
a 2 b2 n n
1 n-3
(x ,y ),x -y =( ) ,x ＞0,P关于y轴的对称点为 Q.已知 ∣P Q ∣=5.
n n n n 2 n n 1 1
(1) 求C的方程;
(2)证明：直线 P P 与直线P₁P₁₄₃平行;
n+1 n+2
T
(3) 设△P
n
P
n+1
P
n+2
的面积为 S
n
, △P
n
P
n
+1Q
n
的面积为 T
n
, 当
S
n 取得最小值时，求n.
n
普通高中2026届高三摸底诊断测试
数学参考答案及评分标准
一、单选题；二、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D C A C D A ABD AC ACD
三、填空题
√2
12.√6 13. 14.(√3,+∞)
4
四、解答题
15. (1) 列联表如下:
训练结果
参与情况 合计
达标 不达标
参与 90 10 100
未参与 30 10 40
合计 120 20 140
90 9
由表格可知，工程师甲参与的训练中，达标的概率估计值 p= = .⋯5分
100 10
(2)零假设 H :训练达标与工程师甲参与无关，
0
χ2=
140×(90×10-10×30) 2
=5.25＞5.024,
100×40×120×20
故依据小概率值a=0.025的独立性检验，推断. H 不成立，
0
即认为训练达标与工程师甲参与有关.···················································13分
16. (1) 由题可得 f(x)=sin(2x-
π
)+cos2x=
√3
sin2x-
1
cos2x+cos2x
6 2 2
=
√3
sin2x+
1
cos2x=sin(2x+
π
).
2 2 6π π π kπ
由 2x+ = +kπ,解得 x= + ,k∈Z,
6 2 6 2
π kπ
所以f(x)图象的对称轴方程为 x= + ,k∈Z.···················································6分
6 2
(2)将函数 y=f(x)图象向左平移 π 个单位得到 g(x)=sin [ 2(x+ π )+ π] =cos2x,所以
6 6 6
h(x)=g(x)-x2=cos2x-x2.
[ π] [ π]
又因为g(x)在| 0, |上单调递减，且 y=-x2在 0, 上单调递减，
2 2
[ π ]
所以h(x)在| 0, |上单调递减.
2
因为函数h(x)是偶函数，所以h(x)在| [ - π ,0) 上单调递增，
2
[ π π]
故当 x∈ - , 时, h(x)的最大值为h(0)=1,
4 6
π π π π π π2
因为 ∣- ∣＞∣ ∣,所以 h(- )＜h( ),所以h(x)的最小值为 h(- )=- .
4 6 4 6 4 16
[ π π ] [ π2 ]
所以当 x∈ - , 时，函数 h(x)=g(x)-x2的值域为 - ,1 .·····························15分
4 6 16
17. (1) 证明: 因为 AA =CA ,D是AC的中点，所以
1 1
A₁D⊥AC.
又在等边△ABC中, BD⊥AC,
且A₁D∩BD=D, A₁D,BD⊂平面A₁BD, 所以AC⊥平面A₁BD.
因为AC⊂平面AA₁C₁C, 所以平面 A
1
BD⊥平面AA
1
C
1
C.··············································5分
(2) 解: 如图, 过点A₁作A₁H⊥BD于点H, 由(1) 可知AC⊥平面A₁BD,又. A
1
H⊂平面A
1
BD,,所以
A₁H⊥AC, 且AC∩BD=D, BD,AC⊂平面ABC,所以A₁H⊥平面ABC.
由于AB=4, 则 S =
1
×42×
√3
=4√3,
△ABC 2 2
1 4√3
所以 V = A H·S = ,
A 1 -ABC 3 1 △ABC 3
则 A H=1.
1
又在△A₁AC中, AB=√2AA =4,
1
√ AC 2
所以 A D= AA2-( ) =2;
1 1 2
在直角△A₁HD中, DH=√A D2-A H2=√3;
1 1
又 BD=2√3,所以点H是BD的中点.
以点H 为坐标原点, x轴∥AC, HB, HA₁所在直线分别为y, z轴,建立如图所示的
空间直角坐标系，
则H( 0,0,0),D(0,-√3,0),B(0,√3,0),A(2,-√3,0),C(-2,-√3,0),A (0,0,1),
1
所以 ⃗A B=(0,√3,-1),A C =AC=(-4,0,0),A D=(0,-√3,-1),A B =AB=(-2,2√3,0)
1 1 1 1 1 1
设平面 A₁BC₁的一个法向量 m=(x ,y ,z ),
1 1 1→
m·A B=√3y -z =0
则 { 1 1 1 , 令 z =√3,则 x =0,y =1,
→ 1 1 1
m·A C =-4x =0
1 1 1
所以平面A₁BC₁的一个法向量. m=(0,1,√3).
设平面A₁B₁D的一个法向量. n=(x ,y ,z ),
2 2 2
→
n·A D=-√3y -z =0
则 { 1 2 2 , 令 z =√3,则 x =-√3,y =-1,
→ 2 2 2
n·A B =-2x +2√3y =0
1 1 2 2
所以平面A₁B₁D的一个法向量. n=(-√3,-1,√3).
∣m⋅n∣ 3-1 √7
由于 ∣cos＜m,n＞∣= = = ,
∣m∣⋅∣ n∣ √1+3×√1+3+3 7
√7
所以平面A₁BC₁与平面A₁B₁D夹角的余弦值为 .························································15分
7
18. (1) 由题 f'(x)={
(x+1)ex,x≤0,
,
1+lnx,x＞0
1 1
因为在区间(-∞,-1)和 (0, ),f' (x)＜0,所以f(x)的减区间为(-∞,-1)和 (0, );
e e
1 1
因为在区间(-1，0)和 ( ,+∞),f' (x)＞0,所以f(x)的增区间为(-1,0)和 ( ,+∞).…5分
e e
(2)因为直线y=a与f(x)的图象有4个交点，其横坐标分别为.x₁,x₂,x₃,x₄,
且 x ＜x ＜x ＜x ,所以有 x ex 1=x cx 2=x lnx =x lnx =a.
1 2 3 4 1 2 3 3 4 4
1
且 x ＜-1＜x ＜0＜x ＜ ＜x ＜1,由于 xlnx=elnxlnx,所以有 x =lnx ,x =lnx .
1 2 3 e 4 1 3 2 4
x ex 1 x ex 2
(i)x =ex 1= 1 = 2 ,
3 x x
1 1
x ex 2 x -x
因为 -1＜x
2
＜0,所以 ex 2＜e0=1,所以
x
2 ＜
x
2 =
-x
2 ,又因为 x
1
＜-1,所以
1 1 1
1 -x
0＜ -x ＜1, 所以 -x 2 ＜-x 2 ,即 x 3 ＜-x 2 ,即 x 2 +x 3 ＜0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分
1 1
()因为 x =lnx ,所以 x +x =x +lnx ,令 t=x +lnx ,
2 4 2 4 4 4 4 4
1 1
因为 ＜x ＜1,所以 t∈( -1,1),
e 4 e
当t=0时, f(0)=m·0, 满足题设,
当 t∈( 1 e -1,0) 时， f(t)=tel≤mt,即 el≥m,所以有 m≤e 1 e -1 ,
当t∈(0,1)时, f(t)=tlnt≤mt, 即lnt≤m, 所以有m≥0,
1
所以 0≤m≤ec -1 .··················································17分
19. 解: (1) 由题意知, 双曲线 C 离心率为 √2, 所以 a=b,又因为1 n-3
x -y =( ) ,所 以 x -y =4,因 为 |P|Q|=5, 所 以
n n 2 1 1
5 3
x = ,y =- ,所以双曲线的方程为 x2-y2=4.
1 2 1 2
(2) 因 为 点 Pn 在 C 上 , 所 以 x2-y2=4=(x -y )(x +y ),所 以 x +y =2n-1,所 以
n n n n n n n n
1 n-2 1 n-2 1 1
x =2n-2+( ) ,y =2n-2-( ) , 令 t=2n-2, 则 P (t+ ,t- ),
n 2 n 2 n t t
1 1 1 1 1 1
P (2t+ ,2t- ),P (4t+ ,4t- ),P (8t+ ,8t- ),直线 P P
n+1 2t 2t n+2 4t 4t n+3 8t 8t n n+3
7 1
7t+ 2t+
8t 8t2+1 4t 8t2+1
的斜率 k = = ,直线 P P 的斜率 k = = ,所以
P n P n+3 7 8t2-1 n+1 n+2 P n+1 P n+2 1 8t-1
7t- 2t-
8t 4t
········································5分
k =k ,
P P P P
n+1 n+2 n n+3
故 P
n+1
P
n+2
‖P
n
P
n+3
. ⋯⋯11分
(3) 因 为 P P ‖P P ,所 以 S =S ,故 Sn 是 定 值 ，
n+1 n+2 n n+3 n n+1
1 1 1 1 3 1
T = (2x )|∣y -y ∣=x (y -y )=(t+ ) ⋅ (t+ )=t2+ + ,令 t2=22(n-2)≥ , 因
n 2 n n n+1 n n+1 n t 2t 2t2 2 4
为 函 数 f(x)=x+ 1 在 (√2 ,+∞ ) 单 调 递 增 ， 当 n≥3 时 , 22(n-2)＞22(n-3)＞ √2 , 故
2x 2 2
3 3 3 3 1 3 15
T =f(t2)+ =f(22(n-2))+ ＞f(22(n-3))+ =T ,又因为 T =f(1)+ =3,T =f( )+ = , 故
n 2 2 2 n-1 2 2 1 4 2 4
T
T
1
＞T
2
,故Tn≥T₂, n∈N°,即n=2时, T,取最小值,所以当
S
n 取得最小值时, n=2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17
n
分
