2019年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

上海市2019届秋季高考数学考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）
1.已知集合
A=-¥,3、B=2,+¥
，则A  B=________.
【思路分析】然后根据交集定义得结果．
【解析】：根据交集概念，得出：(2,3).
【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
1
2.已知zC且满足 -5=i，求z=________.
z
【思路分析】解复数方程即可求解结果．
1 1 5-i 5 1
【解析】： =5+i， z= = = - i .
z 5+i (5+i)(5-i) 26 26
【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
r r
3.已知向量a=(1,0,2)，b=(2,1,0)，则a与b的夹角为________.
ab
【思路分析】根据夹角运算公式cos= 求解．
a b
ab 2 2
【解析】：cos= = = .
a  b 5 5 5
【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．
4.已知二项式 2x+15 ，则展开式中含x2项的系数为________.
x2
【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 项的的项，再求系数．
【解析】：T =C r (2x)5-r 1r =C r 25-r x5-r
r+1 5 5
令5-r =2，则r =3，x2系数为C322 =40.
5
【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．
ì x³0
ï
5.已知x、y满足í y³0 ，求z =2x-3y的最小值为________.
ï
x+ y£2
î
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截
式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当x=0，
y=2时，
z =-6.
min
【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
3
6.已知函数 f x 周期为1，且当0< x£1， f x=-log x，则 f( ) =________.
2 2
第1页 | 共8页3
【思路分析】直接利用函数周期为1，将转 到已知范围0< x£1内，代入函数解析式即
2
可．
3 1 1
【解析】： f( )= f( )=-log =1.
2 2 2 2
【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．
1 y
7.若x、yR+ ，且 +2y =3，则 的最大值为________.
x x
y
【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 的式子求解
x
2
1 1 y  3  9
【解析】：法一：3= +2y³2 2y ，∴ £     = ；
x x x 2 2 8
1 y 3  y 9
法二：由 =3-2y， =(3-2y)y=-2y2 +3y（0< y< ），求二次最值  = .
x x 2  x 8
max
【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．
8.已知数列 a  前n项和为S ，且满足S +a =2，则S =______.
n n n n 5
【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.
ìS +a =2 1
【解析】：由í n n 得：a = a （n³2）
î S n-1 +a n-1 =2(n³2) n 2 n-1
1
1[1-( )5]
∴ a  为等比数列，且a =1，q= 1 ，∴ S = 2 = 31 .
n 1 2 5 1 16
1-
2
9.过y2 =4x的焦点F 并垂直于x轴的直线分别与y2 =4x交于A、B，A在B上方，M
为抛物线上一点，OM =lOA+ l-2OB，则l=______.
【思路分析】根据等式建立坐标方程求解
【解析】：依题意求得：A(1,2)，B(1,-2)，设M坐标M(x,y)
有：(x,y)=l(1,2)+(l-2)(1,-2)=(2l-2,4)，代入y2 =4x有：16=4(2l-2)
即：l=3.
【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中
档题．
10某三位数密码锁，每位数字在0-9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是______
_.
【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.
C1 C2C1 27
【解析】：法一：P= 10 3 9 = （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字
103 100
）
C1 +P3 27
法二：P=1- 10 10 = （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）
103 100
【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．
第2页 | 共8页11.已知数列 a  满足 a <a （nN）， P n,a  在双曲线
x2
-
y2
=1上，则
n n n+1 n n
6 2
lim PP =
n n+1 _______.
n®¥
【思路分析】利用点在曲线上得到 PP 关于n的表达式，再求极限.
n n+1
n2 a 2 n2 n2
【解析】：法一：由 - n =1得：a = 2( -1)，∴P (n, 2( -1))，
8 2 n 6 n 6
(n+1)2 2
P (n+1, 2( -1))，利用两点间距离公式求解极限。lim PP = 3
n+1 6 n®¥ n n+1 3
法二（极限法）：当n®¥时，P P 与渐近线平行，P P 在x轴投影为1，渐近线倾斜
n n+1 n n+1
1 2 3
3 P P = =
角满足：tan= ，所以 n n+1  3 .
3 cos
6
【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题．
2
12.已知 f x= -a x>1,a>0 ，若 a=a ， f x 与 x 轴交点为A， f x 为曲
x-1 0
线L，在L上任意一点P，总存在一点 Q （P异于A）使得 AP^ AQ 且 AP = AQ ，
a =
则 __________.
0
【思路分析】
【解析】：
【归纳与总结】
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.已知直线方程2x- y+c=0的一个方向向量d 可以是（ ）
A. (2,-1) B. (2,1) C. (-1,2) D. (1,2)
【思路分析】根据直线的斜率求解.
【解析】：依题意：(2,-1)为直线的一个法向量，∴ 方向向量为(1,2)，选D.
【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题．
14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得
到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【思路分析】根据直线的斜率求解.
1 4 1 2
【解析】：依题意：V = 221= ，V = 122= ，选B.
1 3 3 2 3 3
15.已知R，函数 f x=x-62 sinx ，存在常数aR，使得 f x+a 为偶函

数，则 可能的值为（ ）
   
A. B. C. D.
2 3 4 5
【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.
f x+a
【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验 的奇偶性，选C；
第3页 | 共8页法二： f(x+a)=(x+a-6)2sin[(x+a)]，若 f(x+a)为偶函数，则a=6，且

sin[w(x+6)]也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴ 6= +k，当k =1时，
2

= ，选C.
4
16.已知tantan=tan(+).
①存在在第一象限，角在第三象限；
②存在在第二象限，角在第四象限；
A. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对；
【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.
1 1
【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令tan= 和tan=- ，求tan
3 3
看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，
选D.
tan+tan
法二：解：tantan= ……①
1-tantan
x+ y
设tan= x,tan= y，则原式可化为xy = ，整理得x2y2 + y1- x+ x =0，
1- xy
以 y为主元，则要使方程有解，需使D =1- x2 -4x3 = -4x3 + x2 -2x+1³0有解，
令 f x= -4x3 + x2 -2x+1，则 f¢x= -12x2 +2x-2<0恒成立
∴函数 f x= -4x3 + x2 -2x+1在R上单调递减，又∵ f 0=1>0, f 1= -4<0
∴存在x 0,1 使 f x =0，当x£ x 时D = f x³0
0 0 0
设方程x2y2 + y1- x+ x =0的两根分别为 y ,y ，
1 2
x-1 1
当x < 0时， y + y = <0,y y = <0，故必有一负根，②对；
1 2 x2 1 2 x
x-1 1
当0< x£ x 时， y + y = <0,y y = >0，故两根均为负根，①错；选D.
0 1 2 x2 1 2 x
三. 解答题（本大题共5题，共76分）
17.（本题满分14分）如图，在长方体ABCD-ABC D 中，M
1 1 1 1
为BB 上一点，已知BM =2，AD=4，CD=3，AA =5.
1 1
（1）求直线AC与平面ABCD的夹角；
1
（2）求点A到平面AMC的距离.
1
【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平
面的法向量求解..
【解析】：（1）依题意：A A^面ABCD，连接AC，则AC与平面ABCD所成夹角为
1 1
ACA；
1
第4页 | 共8页
∵ A A=5，AC = 32 +42 =5，∴△ACA为等腰直角△，ACA= ；
1 1 1 4

∴ 直线AC与平面ABCD的夹角为 .
1 4
（2）法一（空间向量）：如图建立坐标系：
则：A(0,0,0)，C(3,4,0)，A(0,0,5)，M(3,0,2)
1
AC =(3,4,0)，AC =(3,4,-5)，MC =(0,4,-2)
1
∴求平面AMC的法向量n=(x,y,z)：
1
ï ìnAC =3x+4y-5z=0
1
í ，得：n=(2,1,2)
ï înMC =4y-2z=0
ACn
32+41 10
A到平面AMC的距离为：d = = =
1 n 22 +12 +22 3
V =V S
法二（等体积法）：利用 A-AMC C-AAM 求解，求 △AMC时，需要求出三边长（不是特
1 1 1
1
殊三角形），利用S = absinC 求解.
△
2
【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，
考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
1
18.（本题满分14分）已知 f x=ax+ (aR).
x+1
（1）当a=1时，求不等式 f x+1< f x+1 的解集；
（2）若x1,2 时， f x 有零点，求a的范围.
【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值
与值域.
1
【解析】：（1）当a=1时， f(x)=x+ ；
x+1
1 1 1 1
代入原不等式：x+ +1<x+1+ ；即： <
x+1 x+2 x+1 x+2
1
移项通分： <0，得：-2<x<-1；
(x+1)(x+2)
1
（2）依题意： f(x)=ax+ =0在x[1,2]上有解
x+1
1 1
参编分离：a=- ，即求g(x)=- 在x[1,2]值域，
x(x+1) x(x+1)
x(x+1)在x[1,2]单调递增，x(x+1)[2,6]；
1 1 1 1 1
- [- ,- ]，故：a[- ,- ].
x(x+1) 6 2 6 2
【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转
化与划归思想的应用．
第5页 | 共8页19.（本题满分14分）如图，A-B-C为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，
BD=39.2km，BDC =22o，CBD=68o，BDA=58o
.
（1）求BC长度；
（2）若AB=40km，求D到海岸线A-B-C的最短距离.（
精确到0.001km）
【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形.

【解析】：（1）依题意：BC =BDsin22o，弧BC所在圆的半径R=BCsin
4
  2 2
弧BC长度为： R= BC = 3.14139.2sin22o =16.310km
2 2 2 4
BD AB 39.2
（2）根据正弦定理： = ，求得：sinA= sin58o =0.831，A=56.2o
sinA sin58o 40
∴ABD=180-56.2-58=65.8o
DH =BDsinABD=35.752km<CD=36.346km
∴ D到海岸线最短距离为35.752km.
【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结
合思想的应用．
20.（本题满分16分）
x2 y2
已知椭圆 + =1，F,F 为左、右焦点，直线l过F 交椭圆于A、B两点.
8 4 1 2 2
（1）若AB垂直于x轴时，求 AB ；
（2）当FAB=90o时，A在x轴上方时，求A,B的坐标；
1
（3）若直线AF 交y轴于M，直线BF 交y轴于N，是否存在直线l，使S =S
1 1 △FAB △FMN
1 1
，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【思路分析】直接求出A,B坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.根据面积
关系S =S 转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程.
△FAB △FMN
1 1
【解析】：（1）依题意：F (2,0)，当AB⊥x轴，则坐标A(2, 2)，B(2,- 2)，
2
∴ AB =2 2
 
（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：S =b2tan =4tan =4；
△F 1 AF 2 2 4
1
又： FF =2c=4，S = 2cy =2y =4，即y =2
1 2 △F 1 AF 2 2 A A A
所以A在短轴端点，即A(0,2)
ìy=-x+2
ï 8 2
直线l （即l ）方程为：y=-x+2，联立：íx2 y2 ，得B( ,- ).
AF AB ï + =1 3 3
î 8 4

法二（常规）：依题意：设坐标A(x ,y )，∵ F AF = （注意：用点F 更方便计算）
1 1 1 2 2 2
第6页 | 共8页则有：AF AF =(x +2,y )(x -2,y )=x2 -4+ y2
1 2 1 1 1 1 1 1
x2 y2 x2
又A在椭圆上，满足： 1 + 1 =1，即：y2 =4(1- 1 )
8 4 1 8
x2
∴ AF AF =x2 -4+4(1- 1 )=0，解出：x =0，A(0,2)
1 2 1 8 1
8 2
B点坐标求解方法同法一，B( ,- ).
3 3
（3）设坐标A(x ,y )，B(x ,y )，M(0,y )，N(0,y )，直线l：x=my+2（k不存在时
1 1 2 2 3 4
不满足题意）
1
则：S = FF  y - y =2y - y ；
△F 1 AB 2 1 2 1 2 1 2
1
S = FO  y - y = y - y ；
△F 1 MN 2 1 3 4 3 4
ì 4m
ìx=my+2 y + y =-
ï ï ï 1 2 m2 +2
联立方程：íx2 y2 ，(m2 +2)y2 +4my-4=0，韦达定理：í
ï + =1 ï -4
î 8 4 ï î y 1 y 2 = m2 +2
y 2y
由直线AF 方程：y= 1 (x+2)得M纵坐标：y = 1 ；
1 x +2 3 x +2
1 1
y 2y
由直线BF 方程：y= 2 (x+2)得N纵坐标：y = 2 ；
1 x +2 4 x +2
2 2
若S =S ，即2y - y = y - y
△FAB △FMN 1 2 3 4
1 1
2y 2y 2y 2y 8(y - y )
y - y = 1 - 2 = 1 - 2 = 1 2 =2y - y
3 4 x +2 x +2 my +4 my +4 (my +4)(my +4) 1 2
1 2 1 2 1 2
∴ (my +4)(my +4) =4， m2y y +4m(y + y )+16 =4，代入韦达定理：
1 2 1 2 1 2
-4m2 -4m
得： +4m +16 =4，解出：m= 3
m2 +2 m2 +2
∴ 存在直线x+ 3y-2=0或x- 3y-2=0满足题意.
【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力
，属于中档题．
21.（本题满分18分）
数列 a  有100项，a =a，对任意n2,100 ，存在a =a +d,i1,n-1 ，若
n 1 n i
a 与前n项中某一项相等，则称a 具有性质P.
k k
（1）若a =1，求a 可能的值；
1 4
（2）若 a  不为等差数列，求证： a  中存在满足性质P；
n n
第7页 | 共8页（3）若 a n  中恰有三项具有性质P，这三项和为C，使用a,d,c表示a 1 +a 2 + L +a 100 .
【思路分析】根据定义式子代入即可求解a ；通过证明逆否命题证明；去掉具有P性质三
4
项，求和
【解析】：（1）a 可能的值为3,5,7；
4
（2）要证明 a  中存在满足性质P，
n
即证明：若数列a 中不存在满足性质P的项，则a 为等差数列（原命题的逆否命题）
n n
显然a =a,a =a+d,a =a +d,(i =1,2)
1 2 3 i
i =1时，a =a +d =a ，满足性质P
，不成立；
3 1 2
i =2时，a =a +d =a+2d，a =a +d,i =1,2,3，
3 2 4 i
同理i =1时，a =a i =2时，a =a
不成立；
4 2 4 3
所以a =a +d =a+3d
4 3
以此类推a =a +d,i[1,n-1]，其中a =a +d,i[1,n-2]时不成立
n i n i
只有i =n-1，即a =a +d成立，即a  为等差数列，
n n-1 n
a 不为等差数列，a 中存在满足性质P
即得证明：
n n
（3）将数列中具有性质P的三项去掉，形成一个新数列
b 
n
b =a =a,n[2,97]时，b =a +d,i[1,n-1]，且 b  中元素满足性质P的项，
1 1 n i n
根据（2）
b 
为等差数列，所以
n
9796
b +b + +b =97b + d
1 2 L 97 1 2
即b
1
+b
2
+
L
+b
97
=97a+4656d
又因为三项去掉和为c，所以a
1
+a
2
+
L
+a
100
=97a+4656d +c
【归纳与总结】本题考查新定义“性质P”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定
义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
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