2019年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

上海市2019届秋季高考数学考试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1.已知集合 A=-¥,3、B=2,+¥ ，则A  B=________. 【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 1 2.已知zC且满足 -5=i，求z=________. z 【思路分析】解复数方程即可求解结果． 1 1 5-i 5 1 【解析】： =5+i， z= = = - i . z 5+i (5+i)(5-i) 26 26 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础． r r 3.已知向量a=(1,0,2)，b=(2,1,0)，则a与b的夹角为________. ab 【思路分析】根据夹角运算公式cos= 求解． a b ab 2 2 【解析】：cos= = = . a  b 5 5 5 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础． 4.已知二项式 2x+15 ，则展开式中含x2项的系数为________. x2 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 项的的项，再求系数． 【解析】：T =C r (2x)5-r 1r =C r 25-r x5-r r+1 5 5 令5-r =2，则r =3，x2系数为C322 =40. 5 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础． ì x³0 ï 5.已知x、y满足í y³0 ，求z =2x-3y的最小值为________. ï x+ y£2 î 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截 式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当x=0， y=2时， z =-6. min 【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3 6.已知函数 f x 周期为1，且当0< x£1， f x=-log x，则 f( ) =________. 2 2 第1页 | 共8页3 【思路分析】直接利用函数周期为1，将转 到已知范围0< x£1内，代入函数解析式即 2 可． 3 1 1 【解析】： f( )= f( )=-log =1. 2 2 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题． 1 y 7.若x、yR+ ，且 +2y =3，则 的最大值为________. x x y 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 的式子求解 x 2 1 1 y  3  9 【解析】：法一：3= +2y³2 2y ，∴ £     = ； x x x 2 2 8 1 y 3  y 9 法二：由 =3-2y， =(3-2y)y=-2y2 +3y（0< y< ），求二次最值  = . x x 2  x 8 max 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题． 8.已知数列 a  前n项和为S ，且满足S +a =2，则S =______. n n n n 5 【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. ìS +a =2 1 【解析】：由í n n 得：a = a （n³2） î S n-1 +a n-1 =2(n³2) n 2 n-1 1 1[1-( )5] ∴ a  为等比数列，且a =1，q= 1 ，∴ S = 2 = 31 . n 1 2 5 1 16 1- 2 9.过y2 =4x的焦点F 并垂直于x轴的直线分别与y2 =4x交于A、B，A在B上方，M 为抛物线上一点，OM =lOA+ l-2OB，则l=______. 【思路分析】根据等式建立坐标方程求解 【解析】：依题意求得：A(1,2)，B(1,-2)，设M坐标M(x,y) 有：(x,y)=l(1,2)+(l-2)(1,-2)=(2l-2,4)，代入y2 =4x有：16=4(2l-2) 即：l=3. 【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中 档题． 10某三位数密码锁，每位数字在0-9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是______ _. 【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解. C1 C2C1 27 【解析】：法一：P= 10 3 9 = （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字 103 100 ） C1 +P3 27 法二：P=1- 10 10 = （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 103 100 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题． 第2页 | 共8页11.已知数列 a  满足 a 1,a>0 ，若 a=a ， f x 与 x 轴交点为A， f x 为曲 x-1 0 线L，在L上任意一点P，总存在一点 Q （P异于A）使得 AP^ AQ 且 AP = AQ ， a = 则 __________. 0 【思路分析】 【解析】： 【归纳与总结】 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.已知直线方程2x- y+c=0的一个方向向量d 可以是（ ） A. (2,-1) B. (2,1) C. (-1,2) D. (1,2) 【思路分析】根据直线的斜率求解. 【解析】：依题意：(2,-1)为直线的一个法向量，∴ 方向向量为(1,2)，选D. 【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题． 14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得 到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【思路分析】根据直线的斜率求解. 1 4 1 2 【解析】：依题意：V = 221= ，V = 122= ，选B. 1 3 3 2 3 3 15.已知R，函数 f x=x-62 sinx ，存在常数aR，使得 f x+a 为偶函  数，则 可能的值为（ ）     A. B. C. D. 2 3 4 5 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. f x+a 【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验 的奇偶性，选C； 第3页 | 共8页法二： f(x+a)=(x+a-6)2sin[(x+a)]，若 f(x+a)为偶函数，则a=6，且  sin[w(x+6)]也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴ 6= +k，当k =1时， 2  = ，选C. 4 16.已知tantan=tan(+). ①存在在第一象限，角在第三象限； ②存在在第二象限，角在第四象限； A. ①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对； 【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解. 1 1 【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令tan= 和tan=- ，求tan 3 3 看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)， 选D. tan+tan 法二：解：tantan= ……① 1-tantan x+ y 设tan= x,tan= y，则原式可化为xy = ，整理得x2y2 + y1- x+ x =0， 1- xy 以 y为主元，则要使方程有解，需使D =1- x2 -4x3 = -4x3 + x2 -2x+1³0有解， 令 f x= -4x3 + x2 -2x+1，则 f¢x= -12x2 +2x-2<0恒成立 ∴函数 f x= -4x3 + x2 -2x+1在R上单调递减，又∵ f 0=1>0, f 1= -4<0 ∴存在x 0,1 使 f x =0，当x£ x 时D = f x³0 0 0 0 设方程x2y2 + y1- x+ x =0的两根分别为 y ,y ， 1 2 x-1 1 当x < 0时， y + y = <0,y y = <0，故必有一负根，②对； 1 2 x2 1 2 x x-1 1 当0< x£ x 时， y + y = <0,y y = >0，故两根均为负根，①错；选D. 0 1 2 x2 1 2 x 三. 解答题（本大题共5题，共76分） 17.（本题满分14分）如图，在长方体ABCD-ABC D 中，M 1 1 1 1 为BB 上一点，已知BM =2，AD=4，CD=3，AA =5. 1 1 （1）求直线AC与平面ABCD的夹角； 1 （2）求点A到平面AMC的距离. 1 【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平 面的法向量求解.. 【解析】：（1）依题意：A A^面ABCD，连接AC，则AC与平面ABCD所成夹角为 1 1 ACA； 1 第4页 | 共8页 ∵ A A=5，AC = 32 +42 =5，∴△ACA为等腰直角△，ACA= ； 1 1 1 4  ∴ 直线AC与平面ABCD的夹角为 . 1 4 （2）法一（空间向量）：如图建立坐标系： 则：A(0,0,0)，C(3,4,0)，A(0,0,5)，M(3,0,2) 1 AC =(3,4,0)，AC =(3,4,-5)，MC =(0,4,-2) 1 ∴求平面AMC的法向量n=(x,y,z)： 1 ï ìnAC =3x+4y-5z=0 1 í ，得：n=(2,1,2) ï înMC =4y-2z=0 ACn 32+41 10 A到平面AMC的距离为：d = = = 1 n 22 +12 +22 3 V =V S 法二（等体积法）：利用 A-AMC C-AAM 求解，求 △AMC时，需要求出三边长（不是特 1 1 1 1 殊三角形），利用S = absinC 求解. △ 2 【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与 方程思想，是基础题． 1 18.（本题满分14分）已知 f x=ax+ (aR). x+1 （1）当a=1时，求不等式 f x+1< f x+1 的解集； （2）若x1,2 时， f x 有零点，求a的范围. 【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值 与值域. 1 【解析】：（1）当a=1时， f(x)=x+ ； x+1 1 1 1 1 代入原不等式：x+ +1