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7.3 空间角（精练）
1．（2023·黑龙江哈尔滨）如图所示，在棱长为2的正方体 中，O是底面的中心，E，F
分别是 ，AD的中点，那么异面直线OE与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体 中，E，F分别是 的中点，则直线
与EF所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报
时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在
某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正
四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），
已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟
面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱 如图所示，
为棱 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为 ，则异面直
线 和 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）如图，在四棱柱 中，底面 和侧面
均为矩形， ， ， ， .(1)求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
6．（2023春·新疆伊犁 ）如图：已知直三棱柱 中， 交 于点O， ，
.
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正切值.7．（2023秋·黑龙江哈尔滨）四棱锥 中， 平面 ，四边形 为菱形， ，
，E为 的中点，F为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．8．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥 中，底面ABCD的中心为O，PD边上
的垂线BE交线段PO于点F， ．
(1)证明： //平面PBC；
(2)求二面角 的余弦值．
9．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．10．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
11．（2023·四川·校联考一模）如图，在四棱锥 中， 是边长为4的等边三角形，平面
平面 ， ， ， ，
(1)证明： ；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值．12．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形，
， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
13．（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体 中， 平面 ，点 在平面 的投
影在线段 上 ， ， ， ， 平面 .
(1)证明：平面 平面 .
(2)若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.14．（2023·河南·统考三模）如图，四棱锥 中，四边形 为梯形， ∥ ， ，
， ， ，M，N分别是PD，PB的中点．
(1)求证：直线 ∥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
15．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面
，点 是 的中点.
(1)证明： ；(2)设 的中点为 ，点 在棱 上（异于点 ， ，且 ，求直线 与平面 所成角的
正弦值.
1．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）二面角 中， ， ， ，
且 ， ，垂足分别为A、C， ， ， ，已知异面直线 与 所成角为 ，
则 （ ）
A． B． C． 或5 D． 或
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）（多选）直角 中 是斜边 上的一动点，沿 将 翻折到 ，使二面角 为直二面角，当线段 的长度最小时（ ）
A．
B．
C．直线 与 的夹角余弦值为
D．四面体 的外接球的表面积为
3．（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）（多选）如图，正方体 的棱长为 分
别为 的中点，则（ ）
A．点 与点 到平面 的距离相等
B．直线 与平面 所成角的正弦值为
C．二面角 的余弦值为
D．平面 截正方体所得的截面面积为
4．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的大小.
5．（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）在如图所示的多面体中，四边形 为正方形，
四点共面，且 和 均为等腰直角三角形， ，平面 平面 ，
.
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若点 在直线 上，求直线 与平面 所成角的最大值.6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱 中，
是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求直线 与平面 所成角的正
弦值.7．（2023秋·湖南衡阳·高三校考阶段练习）如图1，在平面图形 中， ，
， ， ，沿 将 折起，使点 到 的位置，且 ， ，
如图2.
(1)求证：平面 平面 .
(2)线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ?若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由.8．（2023·北京·高三景山学校校考期中）在四棱锥 中，侧面 底面 ， ，
为 中点，底面 是直角梯形， ， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)点Q在线段PC上，平面BDQ和平面PBD的夹角为 ，求 .
9．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形，
平面 ，且 ，点 是 的中点.(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上（不含端点）是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，确定点
的位置，若不存在，请说明理由.
10．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在五棱锥 中， ，
， .
(1)证明： ；
(2)若平面 平面 ，平面 平面 ，探索： 是否为定值？若为定值，请求出 的
值；若不是定值，请说明理由.
