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第 02 章 重点突破训练：整式运算及其应用
考点体系
考点1：常规整式运算
典例：（2020·河南省初一期末）先化简再求值：2( ) ( ) ( )，其中
且a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3．
【答案】 ，
【解析】
2( ) ( ) ( )
2
，∵ 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值是3．
∴
0
，
∴原式= ，
方法或规律点拨
本题考查了整式的化简求值和整式的混合运算，解决本题的关键是掌握整式的运算顺序和运算法则．注意
互为相反数的两数的和为0，互为倒数的两数的积为1．
巩固练习
1．（2020·吉林省初一期末）先化简，再求值： ，其中
【答案】3x2y，-3
【解析】解：原式 = 2x2y+2xy-2xy+x2y = 3x2y ，
把x=1，y=-1代入
原式 = 3x2y = 3×12×（-1）= -3
2．（2020·广东省初一期末）先化简，再求值：已知6x2﹣3（2x2﹣4y）+2（x2﹣y），其中x＝﹣1，y＝
．
【答案】2x2+10y；7
【解析】解：原式＝6x2﹣6x2+12y+2x2﹣2y
＝2x2+10y，
当x＝﹣1，y＝ 时，原式＝2×（﹣1）2+10×
＝2+5
＝7．
3．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算
成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？
【答案】﹣12x4+12x3﹣3x2
【解析】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1，（3分）
正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）=﹣12x4+12x3﹣3x2．（3分）
4．（2019·河北省初三三模） 均为多项式，小元在计算“ ”时，误将符号抄错而计算成了“
”，得到结果是 ，其中 ，请正确计算 ．
【答案】
【解析】根据题意，得 ，
=
= ，
∴
=
= ．
5．（2019·苏州市景范中学校初一期末）已知： ， ．（1）求B；(用含a、b的代数式表示)
（2）比较A与B的大小．
【答案】（1）-5a2+2ab-6；（2）A＞B．
【解析】（1）∵2A-B=3a2+2ab，A=-a2+2ab-3，
∴B=2A-（3a2+2ab）=2（-a2+2ab-3）-（3a2+2ab）
=-2a2+4ab-6-3a2-2ab
=-5a2+2ab-6，
（2）∵A= ，B=-5a2+2ab-6，
∴A-B
=（ ）-（-5a2+2ab-6）
=-a2+2ab-3+5a2-2ab+6
=4a2+3，
∵无论a取何值，a2≥0，所以4a2+3＞0，
∴A＞B．
6．（2017·江西省初一期末）已知代数式
（1）求 的值；
（2）若 的值与 的取值无关，求 的值．
【答案】（1） ；（2）3
【解析】（1）
；
（2）由（1）得： ，
∵A-2B的值与x的取值无关，
∴2y-6=0，
∴y=3.7．（2020·南京市金陵中学河西分校初一期中）已知A=2 +3xy-2x-l，B= - +xy-l．
(1)求3A+6B；
(2)若3A+6B的值与x无关，求y的值．
【答案】(1) 15xy－6x－9 ;(2) .
解：（1）3A+6B=3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2+xy﹣1）
=6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2+6xy﹣6
=15xy﹣6x﹣9；
（2）原式=15xy﹣6x﹣9=（15y﹣6）x﹣9
要使原式的值与x无关，则15y﹣6=0，
解得：y= ．
8．（2019·山西省初一期中）张老师给学生出了一道题：
当 时，
求： 的值．
题目出完后，小明说：“老师给的条件 是多余的．”
小红说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”
你认为他们谁说的有道理？为什么？
【答案】因为代数式与a、b的取值无关，故小明说得对
【解析】解：∵
＝
＝
＝3
故代数式与a、b的取值无关，即小明说得对．
9．（2020·河北省初三零模）已知 ， ，且化简 的结果与 无关．
（1）求 、 的值；（2）求式子 的值．
【答案】（1） ， ；（2）-36.
【解析】（1）∵ ， ，
∴
=
=
=
∵ 的结果与 无关，
∴ ，
解得， ， ；
（2）
=
=
∵ ，
∴原式= =-36.
10．（2019·广西壮族自治区初一期中）有这样一道题：已知 ， ，求代数式
的值．小明认为：“已知 ”这个条件是多余的，你认为小明
的说法有道理吗？为什么？
【答案】小明的说法有道理．
【解析】解：小明的说法有道理．
理由：原式==
∵代数式化简后与x无关
∴小明的说法有道理．
11．（2020·河北省石家庄新世纪外国语学校初三二模）（1）计算2 ﹣3 ﹣5 +(﹣3 )
（2）某同学做一道数学题：“两个多项式A、B，B=3x2﹣2x﹣6，试求A+B”，这位同学把“A+B”看成“A
﹣B”，结果求出答案是﹣8x2+7x+10，那么A+B的正确答案是多少？
【答案】（1）﹣10；（2）﹣2x2+3x﹣2．
【解析】解：（1）2 ﹣3 ﹣5 ＋(﹣3 )
＝2 ﹣3 ﹣5 ﹣3
＝2 ﹣3 ﹣3 ﹣5
＝﹣1﹣9
＝﹣10．
（2）∵A﹣B＝﹣8x2＋7x＋10，B＝3x2﹣2x﹣6，
∴A＝(﹣8x2＋7x＋10)＋(3x2﹣2x﹣6)
＝﹣5x2＋5x＋4，
∴A＋B＝(﹣5x2＋5x＋4)＋(3x2﹣2x﹣6)
＝﹣2x2＋3x﹣2．
12．（2018·天津初一期末）已知 ， ．
化简： ；
已知 与 的同类项，求 的值．
【答案】（1） （2）63或-13【解析】 ∵ ， ，
∴ ；
∵ 与 的同类项，
∴ ， ，
解得： 或 ， ，
当 ， 时，原式 ；
当 ， 时，原式 ．
考点2：与某项无关问题
典例：（2020·河北省初三三模）已知 ， ．
（1）求 ，并将结果整理成关于 的整式；
（2）若 的结果与 无关，求 、 的值；
（3）在（2）基础上，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）-36．
【解析】
解：（1）∵ ， ，
∴
（2）∵ 的结果与 无关，
∴ ，
解得， ，（3）原式
∵ ，
∴原式 ．
方法或规律点拨
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
巩固练习
1．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一期中）已知多项式 与多项式 ．
（1）当 ， 时，计算 的值；
（2）如果 与 的差中不含 和 ，求 的值．
【答案】（1）9x2-y-11；（2）-8
【解析】解：（1）当 ， 时， ， ,
∴A+B=4x2+y-12+5x2-2y+1=9x2-y-11；
（2） - =4x2+my-12-2(nx2-2y+1)=(4-2n) x2+(m+4)y-14
∵ 与 的差中不含 和y
∴4-2n=0，m+4=0,
∴n=2，m=-4
∴mn=-8
( 1) 2
2．（2020·甘州中学初一月考）（1）化简求值：已知|x-1|+ y+ =0，求代数式
2
-3(2x2-4 y)+2(x2- y)的值.
（2）若化简(2mx2-x+3)-(3x2-x-4)的结果与x的取值无关，求m的值.
【答案】（1）-9；（2）m=1.5.
1 2 1
【解析】解：（1）由|x-1|+(y+ ) =0可得：x=1，y=- .
2 2
原式=-6x2+12y+2x2-2y=-4x2+10 y，
1
当x=1，y=- 时，原式=-4-5=-9
2（2）原式=2mx2-x+3-3x2+x+4=(2m-3)x2+7，
由结果与x的取值无关，得到2m-3=0，
解得：m=1.5.
3．（2020·河北省育华中学初三一模）已知
若 ，求 的值
若 的值与 的值无关，求 的值
【答案】（1）-9；（2）x=-1
【解析】（1）A-2B=（2x2+xy+3y）-2（x2-xy）
=2x2+xy+3y-2x2+2xy
=3xy+3y．
∵（x+2）2+|y-3|=0，
∴x=-2，y=3．
A-2B=3×（-2）×3+3×3
=-18+9
=-9．
（2）∵A-2B的值与y的值无关，
即（3x+3）y与y的值无关，
∴3x+3=0．
解得x=-1．
4．（2019·广西壮族自治区初一期中）课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3
－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写完后，让王红同学顺便给出一组a，b的值，老师自己说答
案，当王红说完：“a＝65，b＝－2 005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案“3”．同学们莫名其妙，
觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”，亲爱的同学你相信吗？你能说出其中
的道理吗？
【答案】相信，理由见解析.
【解析】相信，理由如下：
(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3
＝(7a3＋3a3－10a3)＋(－6a3b＋6a3b)＋(3a2b－3a2b)＋3＝3，
则不管a，b取何值，整式的值都为3.
考点3：整式运算的应用
典例：（2020·珠海市斗门区实验中学初一期中）今年秋季，长白山土特产喜获丰收，某土特产公司组织
10辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土
特产，且必须装满．设装运甲种土特产的汽车有x辆，装运乙种土特产的汽车有y辆，根据下表提供的信
息，解答以下问题．
（1）装运丙种土特产的车辆数为（用含x、y的式子表示）；
（2）用含x、y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的吨数；
（3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含x、y的式子表示）．
【答案】（1）装运丙种土特产的车辆数为10-x-y ；（2）这10辆汽车共装运土特产的吨数为60-2x-y；
（3）销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为90000-4200x-4000y．
【解析】（1）由题意得，装运丙种土特产的车辆数为：10−x−y（辆）
答：装运丙种土特产的车辆数为（10−x−y）；
（2）根据题意得：4x+5y+6(10-x-y)=4x+5y+60-6x-6y=60-2x-y
答：这10辆汽车共装运土特产的数量为（60-2x-y）吨；
（3）根据题意得：
=4800x+5000y+90000-9000x-9000y
=90000-4200x-4000y．
答：销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为（90000-4200x-4000y）元．
方法或规律点拨
本题主要考查了列代数式，正确理解各种数量关系之间的运算关系是列代数式的关键所在．
巩固练习
1．（2019·广西壮族自治区初一期末）某商店在甲批发市场以每箱x元的价格进了30箱海鸭蛋，又在乙批发市场以每箱y元（x＞y）的价格进了同样的50箱海鸭蛋，如果商家以每箱 元的价格卖出这些海
鸭蛋，卖完后，这家商店（ ）
A．盈利了 B．亏损了 C．不赢不亏 D．盈亏不能确定
【答案】A
【解析】购买海鸭蛋的进价为：30x+50y
卖完海鸭蛋的收入为：80
∵40x+40y－(30x+50y)=10(x－y)＞0
∴收入＞进价
故选：A．
2．（2019·霍林郭勒市第五中学初一期中）如图所示，某长方形广场的四角都有一块半径相同的 圆形的
草地，已知圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米．
（1）请列式表示广场空地的面积；
（2）若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，计算广场空地的面积（计算结果保留
π）．
【答案】(1)ab-πr2；（2）60 000-100π．
【解析】（1）广场空地的面积（单位：平方米）为：ab-πr2；
（2）当a=300，b=200，r=10时，ab-πr2＝300×200-π×102＝60 000-100π.
所以广场空地的面积（单位：平方米）为：60 000-100π．
3．（2019·河南省初一期中）自我国实施“限塑令”起，开始有偿使用环保购物袋，为了满足市场需求，
某厂家生产A、B两种款式的布质环保购物袋，每天生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，若设
每天生产A种购物袋x个.(1)用含x的整式表示每天的生产成本，并进行化简；
(2)用含x的整式表示每天获得的利润，并进行化简（利润=售价-成本）；
(3)当x＝1500时，求每天的生产成本与每天获得的利润.
【答案】（1）每天的生产成本为(－x＋13 500)元；
（2）每天获得的利润为
（3）每天的生产成本为12 000元；每天获得的利润为1 950元．
【解析】解：（1）2x＋3(4500－x)＝－x＋13500，
即每天的生产成本为(－x＋13500)元．
（2）(2.3－2)x＋(3.5－3)(4500－x)＝－0.2x＋2250，
即每天获得的利润为(－0.2x＋2250)元．
（3）当x＝1 500时，
每天的生产成本：－x＋13500＝－1500＋13 500＝12000元；
每天获得的利润：－0.2x＋2250＝－0.2×1500＋2 250＝1950(元)．
4．（2019·内蒙古自治区初一期末）如图所示，一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分
的图形．已知正方形的边长为a，三角形的高为h．
（1）用式子表示阴影部分的面积；（2）当a＝2，h＝ 时，求阴影部分的面积．
【答案】（1） （2）2
【解析】（1）阴影部分的面积为: ；（2）当 时，
原式 22- ．
5．（2020·黑龙江省初一期末）A、B两仓库分别有水泥15吨和35吨，C、D两工地分别需要水泥20吨和
30吨．已知从A、B仓库到C、D工地的运价如表：
到C工地 到D工地
A仓库 每吨15元 每吨12元
B仓库 每吨10元 每吨9元
（1）若从A仓库运到C工地的水泥为x吨，则用含x的代数式表示从A仓库运到D工地的水泥为 吨，
从B仓库将水泥运到D工地的运输费用为 元；
（2）求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运输费（用含x的代数式表示并化简）；
（3）如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨时，那么总运输费为多少元？
【答案】（1）15-x；9x+180；（2）（2x+515）元；（3）535元．
【解析】（1）从A仓库运到D工地的水泥为：（15-x）吨，
从B仓库将水泥运到D工地的运输费用为：[35-（15-x）]×9=（9x+180）元；
（2）总运输费：15x+12×（15-x）+10×（15-x）+[35-（15-x）]×9=（2x+510）元；
（3）当x=10时，
2x+510=530．
答：总运费为530元．
6．（2019·山西省初一期中）综合与探究
阅读理解：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形
结合的方法解决一些问题.例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用较大数与较小数的差来表
示.例如：
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为 ；
在数轴上，有理数3与－2对应的两点之间的距离为 ；
在数轴上，有理数－3与－2对应的两点之间的距离为 .解决问题：如图所示，已知点 表示的数为－3，点 表示的数为－1，点 表示的数为2.
（1）点 和点 之间的距离为______.
（2）若数轴上动点 表示的数为 ，当 时，点 和点 之间的距离可表示为______；当 时，
点 和点 之间的距离可表示为______.
（3）若数轴上动点 表示的数为 ，点 在点 和点 之间，点 和点 之间的距离表示为 ，点
和点 之间的距离表示为 ，求 （用含 的代数式表示并进行化简）
（4）若数轴上动点 表示的数为－2，将点 向右移动19个单位长度，再向左移动23个单位长度终点为
，那么 ， 两点之间的距离是______.
【答案】（1）5；（2） ， ；（3）12-x；（4）4
【解析】解：（1）2-（-3）=5；
（2）x-(-1)= ； ；
（3）∵PA=x-(-3)=x+3，PC=2-x，
∴
；
（4）∵-2+19-23=-6，
∴ ， 两点之间的距离是-2-（-6）=4.
7．（2020·珠海市斗门区实验中学初一期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b
是最小的正整数，且a、b满足|a+2|+（c﹣7）2=0．
（1）a= ，b= ，c= ；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分
别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示
为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB= ，AC= ，
BC= ．（用含t的代数式表示）
（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-2， 1，c=7；（2）4；（3）3t+3， 5t+9， 2t+6；（4）不变，3BC﹣2AB=12．
【解析】（1）∵|a＋2|＋（c−7）2＝0，
∴a＋2＝0，c−7＝0，
解得a＝−2，c＝7，
∵b是最小的正整数，
∴b＝1；
故答案为：−2；1；7．
（2）（7＋2）÷2＝4.5，
对称点为7−4.5＝2.5，
2.5＋（2.5−1）＝4；
故答案为：4．
（3）依题意可得AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6；
故答案为：3t＋3；5t＋9；2t＋6．
（4）不变．
3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）＝12．
8．（2020·四川省初一期中）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方
形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计）
（1）求a的值；（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；
（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种活动
方案，如表：
已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？
【答案】（1）3；（2）木地板：75﹣7x，地砖：7x+53；（3）B种活动方案
【解析】解：（1）根据题意，可得a+5＝4+4，
得a＝3 ；
（2）铺设地面需要木地板：
4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝75﹣7x，
铺设地面需要地砖：
16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝7x+53；
（3）∵卧室2的面积为21平方米，
∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，
∴3（17﹣5x）＝21，
∴x＝2，
∴铺设地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，
铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝67，
A种活动方案所需的费用：61×300×0.8+67×100×0.85+2000＝22335（元），
B种活动方案所需的费用：61×300×0.9+67×100×0.85＝22165（元），
22335＞22165，
所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低．
考点4：数字规律探究
典例：（2020·河北省初三一模）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台
阶上依次标着﹣3，﹣2，﹣1，0，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
（1）求第五个台阶上的数x是多少？（2）求前21个台阶上的数的和是多少？
（3）发现：数的排列有一定的规律，第n个﹣2出现在第 个台阶上；
（4）拓展：如果倩倩小同学一步只能上1个或者2个台阶，那么她上第一个台阶的方法有1种：1＝1，上
第二个台阶的方法有2种：1+1＝2或2＝2，上第三个台阶的方祛有3种：1+1+1＝3、1+2＝3或2+1＝
3，…，她上第五个台阶的方法可以有 种．
【答案】（1）第五个台阶上的数x是﹣3（2）-33（3）（4n﹣2）（4）8
【解析】（1）由题意得：﹣3﹣2﹣1+0＝﹣2﹣1+0+x，
x＝﹣3，
答：第五个台阶上的数x是﹣3；
（2）由题意知：台阶上的数字是每4个一循环，
﹣3﹣2﹣1+0＝﹣6，
∵21÷4＝5…1，
∴5×（﹣6）+（﹣3）＝﹣33，
答：前21个台阶上的数的和是﹣33；
（3）第一个﹣2在第2个台阶上，
第二个﹣2在第6个台阶上，
第三个﹣2出现在第10个台阶上；
…
第n个﹣2出现在第（4n﹣2）个台阶上；
故答案为（4n﹣2）；
（4）上第五个台阶的方法：1+1+1+1+1＝5，1种，
1+1+1+2＝5，1+2+2＝5，1+2+1+1＝5，1+1+2+1＝5，4种，
2+2+1＝5，2+1+2＝5，2+1+1+1＝5，3种，
∴1+4+3＝8种，
答：她上第五个台阶的方法可以有8种．
故答案为8．
方法或规律点拨本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中数字的变化特点，求出相应的结果．
巩固练习
1．（2020·绵竹市孝德中学初一期中）已知一个三位数：100a＋10b＋c，将它的百位数字与个位数字交换
后得到一个新的三位数：100c＋10b＋a，试求这两个三位数的差，并求当a＝5，c＝7时，差的值是多少？
【答案】差为99a-99c或99c-99a，差值分别为-198和198
【解析】解：由题意可得：
①100a＋10b＋c-（100c＋10b＋a）=99a-99c，
将a＝5，c＝7代入，
原式=99×（-2）=-198；
②100c＋10b＋a-（100a＋10b＋c）=99c-99a，
将a＝5，c＝7代入，
原式=99×2=198；
2．（2019·湖南省初一期中）定义：若 ，则称 与 是关于 的平衡数，例如， ，则
与 是关于 的平衡数
（1） 与 是关于 的平衡数， 与 （用含的式子表示）是关于 的平衡数
（2）若 ， ，判断 与 是否是关于 的平衡数，并说
明理由．
【答案】（1）-1，x-3；（2） 与 不是关于 的平衡数，理由见详解
【解析】解：（1）∵
∴ 与-1是关于 的平衡数， 与x-3是关于 的平衡数；
（2） 与 不是关于 的平衡数，理由如下：
∵ ，
∴
∴ 与 不是关于 的平衡数．3．（2020·河北省初三二模）把正整数 ， ， ， ， 排成如下的一个数表．
（1） 在第_____行，第______列；
（2）第 行第 列的数是_______（用含“ ”的代数式表示）
（3）嘉嘉和淇淇玩数学游戏，嘉嘉对淇淇说：“你从数表中挑一个数 ，按如图所示的程序计算，只要你
告诉我所得的数在第几行，我就知道你挑的数在第几行．”你认为嘉嘉说得有道理吗？计算说明理由．
【答案】（1） ，4；（2） ；（3）嘉嘉说得有道理，见解析
【解析】（1）由图中可以得出规律，每一行共有8个数，每行最后的数是8的倍数，
∵2020÷8=252……4，
∴2020在第253行，第4列；
（2）第n行第3列的数是：
8（n−1）+3=8n−5；
（3）根据计算程序，可得：
y= ，
所以当知道数y在第几行时，则x必在它的上一行，所以嘉嘉说得有道理.
4．（2020·云南省初三学业考试）符号“ ”表示一种运算，它对一些数的运算如下： ，
， ， ， ．（1）利用以上运算的规律写出 ；（ 为正整数）
（2）计算： 的值．
【答案】（1）1+ ；（2）5151．
【解析】解：（1）∵f（1）＝1+ ，f（2）＝1+ ，f（3）＝1+ ，f（4）＝1+ …
∴f（n）＝1+ ，
故答案为：1+ ；
（2）f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）
＝（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）
＝ × × × ×…×
＝
＝5151
5．（2020·河北省初三学业考试）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题，
① ；
② ；
③ ；
（1）直接写出第④个等式： ；
（2）猜想第 个等式（用含字母 的式子表示），并说明这个等式的正确性；（3）利用发现的规律，求 的值．（参考数据： ）
【答案】（1）35﹣34＝2×34；（2）猜想：第n个等式为：3n+1﹣3n＝2×3n．理由见解析；（3）88572
【解析】（1）① ；
② ；
③ ；
∴第④个等式：35-34=2×34；
故答案为：35-34=2×34；
（2）猜想：第n个等式为：3n+1﹣3n＝2×3n．
理由如下：
∵3n+1﹣3n＝3×3n﹣3n＝（3﹣1）×3n＝2×3n，
∴3n+1﹣3n＝2×3n；
（3）根据发现的规律，有：311﹣310＝2×310，
∴（32﹣31）+（33﹣32）+（34﹣33）+…+（311﹣310）＝2（31+32+33+…+310），
∴311﹣31＝2（31+32+33+…+310），
即31+32+33+…+310＝ (311﹣3）．
∵311＝177147，
∴31+32+33+…+310＝ (177147﹣3）＝88572．
6．（2020·河北省初三二模）魔术师说将你想到的数进行以下四步操作，我就可以猜到你心里想的数．
第一步：心中想一个数，求其平方；
第二步：想比这个数小2的数，求其平方；
第三步：求其平方的差值；
第四步：平方的差值除以4再加1．
将结果告诉我，我就能猜中你心里想的数．
（1）若你想的数是5，求出你告诉魔术师的结果是多少．
（2）聪明的同学们，你觉得魔术师的步骤一定能猜中你心中的数吗？请用代数式计算证明你的结论．
解答：魔术师 猜中你心中的数（填“能”或“否”）；
证明：设心中想的数为 （ 为任意实数）【答案】（1）5；（2）能，证明见解析．
【解析】（1） ， ，告诉魔术师的数是5．
故答案为:5
（2）能
，
，
，
∴可以猜中．
故答案为：能，证明见解析
7．（2020·河北省初三三模）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻
的四个小桶所放置的小球个数之和相等．
尝试 求x＋y的值；
应用 若n＝22，则这些小桶内所放置的小球个数之和是多少？
发现 用含k（k为正整数）的代数式表示装有“4个球”的小桶序号．
【答案】尝试：x＋y＝9；应用：99；发现：装有“4个球”的小桶序号为4k－1．
【解析】尝试：根据题意可得6＋3＋4＋5＝4＋5＋x＋y，
∴x＋y＝9；
应用：∵6＋3＋4＋5＝3＋4＋5＋x，
又∵x＋y＝9，
∴x＝6，y＝3，
∴小桶内所放置的小球数每四个一循环，
∵22÷4＝5 2，
∴（6+3+4⋯+5⋯）×5+9=99
发现：装有“4个球”的小桶序号分别为3＝4×1－1，7＝4×2－1，11＝4×3－1…，
∴装有“4个球”的小桶序号为4k－1．8．（2020·云南省初三学业考试）观察下列等式的规律
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）请直接写出 的值为 ．
（2）化简：
【答案】（1） ；（2）
【解析】
故答案为： ．
（2）
9．（2020·石家庄市第二十八中学初三一模）小丽同学准备化简：（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x□6），算式中
“□”是“+，﹣，×，÷”中的某一种运算符号．
（1）如果“□”是“×”，请你化简：（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x×6）；
（2）若x2﹣2x﹣3＝0，求（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x﹣6）的值；（3）当x＝1时，（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x□6）的结果是﹣8，请你通过计算说明“□”所代表的运算符
号．
【答案】（1）2x2+6x﹣8；（2）4；（3）□处应为“﹣”．
【解析】（1）（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x×6）
＝（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣12x）
＝3x2﹣6x﹣8﹣x2+12x
＝2x2+6x﹣8；
（2）（3x2﹣6x﹣8）﹣（x2﹣2x﹣6）
＝3x2﹣6x﹣8﹣x2+2x+6
＝2x2﹣4x﹣2，
∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴2x2﹣4x﹣2＝2（x2﹣2x）﹣2＝6﹣2＝4；
（3）“□”所代表的运算符号是“﹣”，
当x＝1时，原式＝（3﹣6﹣8）﹣（1﹣2□6），
∴﹣11﹣（1+2□6）＝﹣8，
整理得：1+2□6＝﹣3，
∴2□6＝﹣4
∴即□处应为“﹣”．
10．（2020·重庆中考真题）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习
自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这
个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，
941．理由见解析．
【解析】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十
位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
考点5：图形规律探究
典例：（2020·山东省初三二模）（问题提出）：有同样大小正方形256个，拼成如图1所示的 的一
个大的正方形．请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过多少个小正方形？
（问题探究）：我们先考虑以下简单的情况：一条直线穿越一个正方形的情况．（如图2）
从图中我们可以看出，当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线最多与正方形上、下、左、右四条边中
的两个边相交，所以当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线会与其中某两条边产生两个交点，并且以
两个交点为顶点的线段会全部落在小正方形内．
这就启发我们：为了求出直线 最多穿过多少个小正方形，我们可以转而去考虑当直线 穿越由小正方形拼
成的大正方形时最多会产生多少个交点.然后由交点数去确定有多少根小线段，进而通过线段的根数确定下
正方形的个数．
再让我们来考虑 正方形的情况（如图3）：为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线 右上方至左下方穿过一个 的正方形，我们从两
个方向来分析直线 穿过 正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的两条
线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的四条线段；这样直线 最多可穿过 的大正方形中
的六条线段，从而直线 上会产生6个交点，这6个交点之间的5条线段，每条会落在一个不同的正方形内，
因此直线 最多能经过5个小正方形．
（问题解决）：
（1）有同样大小的小正方形16个，拼成如图4所示的 的一个大的正方形．如果用一条直线穿过这个
大正方形的话，最多可以穿过_________个小正方形．
（2）有同样大小的小正方形256个，拼成 的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的
话，最多可以穿过___________个小正方形．
（3）如果用一条直线穿过 的大正方形的话，最多可以穿过___________个小正方形．
（问题拓展）：
（4）如果用一条直线穿过 的大长方形的话（如图5），最多可以穿过个___________小正方形．
（5）如果用一条直线穿过 的大长方形的话（如图6），最多可以穿过___________个小正方形．（6）如果用一条直线穿过 的大长方形的话，最多可以穿过________个小正方形．
（类比探究）：
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，平面中的正方形中四条边可联想到正方体中的正方形的六
个面，类比上面问题解决的方法解决如下问题：
（7）如图7有同样大小的小正方体8个，拼成如图所示的 的一个大的正方体.如果用一条直线穿过
这个大正方体的话，最多可以穿过___________个小正方体．
（8）如果用一条直线穿过 的大正方体的话，最多可以穿过_________个小正方体．
【答案】（1）7；（2）31；（3） ；（4）4；（5）6 ；（6） ；（7）4；（8）
【解析】（1）再让我们来考虑4×4正方形的情况（如图4）：为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨
假设直线L右上方至左下方穿过一个4×4的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过4×4正方形的情况：
从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的3条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右
平行的5条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的8条线段，从而直线L上会产生8个交点，
这8个交点之间的7条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过7个小正方形．
故答案为7
（2）我们发现直线穿越1×1正方形时最多经过1个正方形，直线穿越2×2正方形时最多经过3个正方形，
直线穿越3×3正方形时最多经过5个正方形，
直线穿越4×4正方形时最多经过7个正方形，…直线穿越n×n正方形时最多经过2n-1个正方形．
∴直线穿越10×10正方形时最多经过19个正方形．
故答案为19．
（3）由（2）可知，有2×16-1=31个正方形，
故答案为31．
（4）由（2）可知有2n-1个正方形．故答案为2n-1．
（5）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个2×3的正方形，我
们从两个方向来分析直线l穿过2×3正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行
的1条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的4条线段；这样直线L最多可穿过2×3的大正
方形中的5条线段，从而直线L上会产生5个交点，这5个交点之间的4条线段，每条会落在一个不同的
正方形内，因此直线L最多能经过4个小正方形，
故答案为4．
（6）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个3×4的正方形，我
们从两个方向来分析直线l穿过3×4正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行
的2条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的5条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正
方形中的7条线段，从而直线L上会产生7个交点，这7个交点之间的6条线段，每条会落在一个不同的
正方形内，因此直线L最多能经过6个小正方形．
故答案为6．
（7）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个m×n的正方形，我
们从两个方向来分析直线l穿过m×n正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行
的（m-1）条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的（n+1）条线段；这样直线L最多可穿过
4×4的大正方形中的（m+n）条线段，从而直线L上会产生（m+n）个交点，这m+n个交点之间的
（m+n-1）条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过（m+n-1）个小正方形，
故答案为（m+n-1）．
（8）用类似的方法可以得到：用一条直线穿过1×1×1正方体的话，最多可以穿过1个小正方体，用一条直
线穿过，2×2×2正方体的话，最多可以穿过4个小正方体，用一条直线穿过，3×3×3正方体的话，最多可
以穿过7个小正方体，用一条直线穿过4×4×4正方体的话，最多可以穿过10个小正方体，…用一条直线穿
过，n×n×n正方体的话，最多可以穿过（3n-2）个小正方体．
故答案为4．
（9）由（8）可知有（3n-2）个正方形，
故答案为（3n-2）．
方法或规律点拨
本题考查线线相交得点、以及正方形、立方体的有关知识，是个探究题目，学会从简单到复杂的推理方法，
找到规律即可解决问题，本题难度比较大，从穿过的线段入手，找到问题的突破口，这个方法值得在以后
的学习中应用．巩固练习
1．（2020·安徽省初三二模）（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：
第一个图形： ；
第二个图形： ；
第一个等式：9+4＝13；第二个等式：13+8＝21；
第三个图形： ；……；
第三个等式： + ＝ ；……；
（2）根据以上图形与等式的关系，请你猜出第n个等式（用含有n的代数式表示），并证明．
【答案】（1）17，12，29；（2）（4n+5）+4n＝8n+5，证明见解析
【解析】解：（1）观察图形的变化可知：
第一个图形：9+4＝13，即4×1+5+4＝13＝8×1+5，
第二个图形：13+8＝21，即4×2+5+4×2＝21＝8×2+5，
第三个图形：17+12＝29，即4×3+5+4×3＝29＝8×3+5，
…
发现规律：
第n个等式为：（4n+5）+4n＝8n+5；
故答案为：17，12，29；
（2）由（1）发现的规律：
所以第n个等式为：（4n+5）+4n＝8n+5；
证明：左边＝4n+5+4n＝8n+5＝右边．
所以等式成立．
2．（2020·河北省初三其他）如图，第①个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为 ；第②个多
边形由正方形“扩展”而来，边数记为 ；…，依此类推，由正 边形“扩展”而来的多边形的边数记为 ．
（1）由题意可得 ；
（2）求 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵ ， ，
∴ ．
（2）
．
3．（2020·安徽省初三二模）我们把如图1所示的菱形称为基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使
得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有菱形都称为基本图形的特征图形，显然图2
中有3个特征图形．（1）观察以上图形并完成如表：
根据表中规律猜想，图n（n≥2）中特征图形的个数为 ．（用含n的式子表示）
图形名称 基本图形的个数 特征图形的个数
图1 1 1
图2 2 3
图3 3 7
图4 4
…… …… ……
（2）若基本图形的面积为2，则图2中小特征图形的面积是 ；图2020中所有特征图形的面积之和
为 ．
【答案】（1）4n﹣5．（2） ， ．
【解析】解：（1）由题意可知，图③中菱形的个数7＝3+4×（3﹣2），
图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）＝11，
∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，
∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）＝4n﹣5，
故答案为：4n﹣5．
（2）如图2中，图形的面积＝2×2﹣ ×2＝ ，
图2020中所有特征图形的面积之和为＝2020×2﹣2019× ×2＝ ，
故答案为 ， ．
4．（2020·广东省初三一模）观察下面的点阵图，探究其中的规律．
摆第1个“小屋子”需要5个点，摆第2个“小屋子”需要 个点，摆第3个“小屋子”需要 个点？
（1）摆第10个这样的“小屋子”需要多少个点？
（2）写出摆第n个这样的“小屋子”需要的总点数，S与n的关系式．
【答案】11，17；（1）59；（2）
【解析】解：摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，
摆第2个需要 枚棋子，
摆第3个需 枚棋子，
故答案为：11、17；
（1）摆第10个这样的“小屋子”需要 个点；
（2）按这种方式摆下去，摆第 个这样的“小屋子”需要 枚棋子．
