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人教版数学九年级下学期
第 28 章《锐角三角函数》单元测试卷
（
满分120分，限时120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知α为锐角，sin（α﹣20°）= ，则α=（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）
α
A． B． C． D．2
4.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ）
A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB
5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
6.在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB
的高为（ ）A
B
C D
A．3米 B．6 米 C．3 米 D．2 米
9.坡度等于1： 的斜坡的坡角等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，
如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的
身高忽略不计， ≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（ ）
A．47m B．51m C．53m D．54m
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11.求值：sin60°﹣tan30°= ．
12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5 ，AB=10，则∠A= 度．
A
C B
13.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是 ．A
O B
14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA= ，则S△ABC = ．
15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距
离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高） ．
16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若
以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直
角坐标系，则小岛A也可表示成_________________．
三、解答题(共8题，共72分)
17.（本题8分）已知α为一锐角，sinα= ，求tanα．
18.（本题8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA的值．
B
A C
19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB和BC的长．
C
105°
30°
A B
AB于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都
在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，
cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送
带与地面的夹角，使其由45°改为30°． 已知原传送带AB长为4 米．求新传送带AC的长度．
D
22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的
坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡
AB的坡度i=1： ，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．
23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一
艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的
距离是3 千米．（注：结果有根号的保留根号）
（1）求A，B两观测站之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向以 千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此
时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑
物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有
25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
（参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ）第 28 章《锐角三角函数》单元测试卷解析
一、选择题
1. 【答案】sin60°= ．故选C．
2.【答案】∵α为锐角，sin（α﹣20°）= ，∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D．
3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．
α
4.【答案】A、∵sinB= ，∴b=c•sinB，故选项错误；
B、∵cosB= ，∴a=c•cosB，故选项错误；
C、∵tanB= ，∴a= ，故选项错误；
D、∵tanB= ，∴b=a•tanB，故选项正确．
故选D．
5.【答案】∵各边都扩大5倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A的三角函数值不变，
故选A．
6. 【答案】如图，
A
C B
∵tanA= ，∴设BC=x，则AC=3x，∴AB= x，∴cosA= = ．
故选D．
7. 【答案】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，
∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，
∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD= ，BD=5，∴BC= =2 ，∴sinB= = = ．
故选：B．
D
A
C B
8.【答案】设直线AB与CD的交点为点O．
∴ ．∴AB= ．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．
在Rt△BDO中，tan60°= ．
∵CD=6．∴AB= ×CD=6 ．
故选B．
A
B
C D O
9.【答案】坡角α，则tanα=1： ，则α=30°．故选A．
10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD•sin60°=60× =30 ≈51（m）．
故选B．
二、填空题
11.【答案】原式= ﹣ = ﹣ = ．故答案为 ．
12.【答案】∵∠C=90°，AC=5 ，AB=10，
∴cosA= = = ，
∴∠A=30°，
故答案为：30°．13.【答案】由图可得cos∠AOB= ．
故答案为： ．
A
O C B
14.【答案】在Rt△ABC中，
∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．
∵sinA= ，∴BC=4，AC=8 ．∴S△ABC = AC•BC=16 ．
15. 【答案】由题意得：AD=6m，
在Rt△ACD中，tanA=
∴CD=2 ，又AB=1.6m
∴CE=CD+DE=CD+AB=2 +1.6，
所以树的高度为（2 +1.6）m．
16.【答案】过点A作AC⊥x轴于C．
y
C
o x
A
在直角△OAC中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC= OA=7千米，OC=7 千米．
因而小岛A所在位置的坐标是（7 ，﹣7）．
故答案为：（7 ，﹣7）．
三、解答题
17.【解答】由sinα= ，设a=4x，c=5x，则b=3x，故tanα= ．c
a
α
b
18.【解答】sinA= = ．
19.【解答】作CD⊥AB于点D，
C
105°
30°
A D B
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD= AC=2，AD=AC•cosA=2 ．
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴BC=2 ，∴AB=AD+BD=2+2 ．
20. 【解答】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∵ +∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º.
根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．
在Rt△ABE中，sin = ，∴AB= = =40mm
在Rt△ADF中，cos∠ADF= ，∴AD= = mm．
=
∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．
21.【解答】如图，
在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4 × =4．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．
即新传送带AC的长度约为8米；
22. 【解答】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABG中，i=tan∠BAG= ，∴∠BAG=30°，
∴BG= AB=5，AG=5 ．∴BF=AG+AE=5 +15．
在Rt△BFC中，
∵∠CBF=30°，∴CF：BF= ，∴CF=5+5 ．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，
∴DE=AE=15，∴CD=CF+FE﹣DE=5+5 +5﹣15=（5 ﹣5）m．
答：宣传牌CD高约（5 ﹣5）米．
23. 【解答】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，
∴AD= PD=3 千米，PA=6千米．∴AB=BD+AD=3+3 （千米）；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF= AB= 千米，AF= AB= +3 千米．
在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴CF=BF= 千米，∴PC=AF+CF﹣AP=3 千米．
故小船沿途考察的时间为：3 ÷ =3（小时）．
24.【解答】（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，
tan22°= ，则 ，解得：x=20．
即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．
在Rt△AME中，cos22°= ．∴AE= ，
即A、E之间的距离约为48m
