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2020 年上海市松江区中考数学一模试卷
答案解析版
一、选择题
1.已知二次函数 的图像如图所示，那么下列判断正确的
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向、对称轴的位置、抛物线与y轴的交点位置进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下a＜0；对称轴在y轴右侧，b＞0（与a异号）；图像交y正
半轴，c＞0，
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项
系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向
下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞
0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右
异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
2.如果点A（1，3）、B（m，3）是抛物线 上两个不同的点，那么m的值
为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的对称性，抛物线上的点，纵坐标相同，则关于对称轴对称，由顶点式可知对称
轴是x=2，则可求出.
【详解】解：∵点A（1，3）、B（m，3）是抛物线 上两个不同的点，
∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴由顶点式可知对称轴是 ，对称轴位于A点的右侧，
∴ ，
∴ ，解之得： ，
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象的对称性等知识点，能熟记二
次函数的性质是解此题的关键．
3.在以O为坐标原点的直角坐标平面内，有一点A（3，4），射线OA与x轴正半轴的夹角
为 ，那么 的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．
【详解】解：∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（3，4）
∴ ，
∴
故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理
的知识．
4.下列两个三角形不一定相似的是
A. 两条直角边的比都是 的两个直角三角形
B. 腰与底的比都是 的两个等腰三角形
C. 有一个内角为 的两个直角三角形
D. 有一个内角为 的两个等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形相似的定义判定，用排除法求解．
【详解】解：A. 两条直角边的比都是 的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角
相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；
B. 腰与底 比的都是 的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比
例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；
C. 有一个内角为 的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相
似，故正确，不符合题意；
D. 有一个内角为 的两个等腰三角形，内角是 的等腰三角形需要注意的是，这个角
是顶角还是底角，情况不一样不一定相似.
故选：D.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解
答此题的关键．
5.如果 ， ，且 ，下列结论正确的是
A. B.
C. 与 方向相同 D. 与 方向相反【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的性质进行计算判断即可.
【详解】解：将 代入 ，
计算得： （方向相反）.
故选：D
【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.
6.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角 ，它们重叠部
分（阴影部分）的面积是1.5，那么 的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE，再根据面积求出 ．
【详解】解：如图示：作 交CD于C点， 交CD于D点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，
则有 ， ，
∴
∴
解之得： ，
故选：C
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是
解题的关键．
二、填空题
7.已知： ，那么 ．
【答案】
【解析】
【分析】
设 ， ，代入求解即可.
【详解】解：∵
∴设 ，则 ，代入得： ，
故答案为：
的
【点睛】本题考查了比例 性质，根据题意利用参数设 ， 是解题的关键.
的
8.已知线段a是线段b、c 比例中项，如果 ， ，那么 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据比例中项的定义可得 ，从而易求c．
【详解】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案是：
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
的
9.若两个相似三角形 面积比为 ，则它们的相似比为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可【详解】解：∵两个相似三角形面积的比为 ，
∴它们的相似比=
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相
似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角
平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
10.已知点 是线段 上的黄金分割点， ，且 ，那么 ________.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据黄金分割点的定义，知 AP是较长线段；则AP＝ AB，代入数据即可得出AP
的长，于是得到结论．
【详解】由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段；
则AP＝AB× ＝2，
∴AB＝
∴PB＝AB−PA＝ −2= ，
故答案为 .
【点睛】本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段
与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
11.已知Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，则∠A的余切值为 ．【答案】
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的定义，直接得出 即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
，
故答案为： .
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问
题的关键．
12.已知二次函数 图像的对称轴为直线 ，则 ．
（填“＞”或“＜”）
【答案】>
【解析】
【分析】
根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．
【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
∴当x的取值越靠近4函数值就越小，反之越大，
∴ > ，故答案为：＞．
【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性．
13.在直角坐标平面中，将抛物线 先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
那么平移后的抛物线表达式是 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数图像平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”求解即可.
【详解】解：根据二次函数图像平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”
则抛物线 平移后为：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
14.如图，已知D是△ABC的边AC上一点，且AD＝2DC．如果 ， ，那么
向量 关于 、 的分解式是 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则计算即可.
【详解】解：∵AD＝2DC，∴ ，
根据题意，可得：
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是向量的运算法则，熟悉向量的计算遵循三角形法则是解题的关键.
15.如图，在正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，那么tan∠BAC的值为
．
【答案】2
【解析】
【分析】
在正方形网格中构造一个∠BAC为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义求解．
【详解】解：如图示：
连接BC，根据题意可得：
∴∴ ，
∴在Rt△ABC中，
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边
与邻边的比值．
16.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB的坡度
为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据坡度的概念计算，得到答案．
【详解】解：斜面AB的坡度为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h
和水平宽度l的比是解题的关键．
17.以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重
心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”.如果一个等腰直角三角形的腰长为
2，那么它的“肩心距” ．【答案】
【解析】
【分析】
延长DF交边BC于点F，根据等腰直角三角形的腰长为2， 和 是等边三角形，
可以求得 ，并且可证MN∥ ，利用平行线之间的线段对应成比例即
可求解.
【详解】解：如图示：
等腰直角三角形的腰长为2，
即： ，
∵ 和 是等边三角形， 等腰直角三角形
∴BC=2 ，DM=EN=
延长DF交边BC于点F
∵ 分别是等边△ABD和等边△ACE的重心
∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC，
又∵∠BAC=90°
∴AC∥DF
∴点F是BC的中点
同理可得EN的延长线也交BC于点F∴
∵ ，
∴
∴MN∥
∴ ，即 ，解得 .
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，重心的性质和平行线的性质，
熟悉相关性质定理，灵活运用是解题的关键.
18.如图，矩形ABCD中，AD＝1，AB＝ .将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90°得到矩形
．联结 ，分别交边CD， 于E、F．如果AE＝ ，那么 ＝
．
【答案】
【解析】
【分析】
由 矩 形 的 性 质 和 旋 转 的 性 质 可 求 AD=A'D'=1 ， AB=A'B=k ，
∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC，通过证明△ADE∽△FA'D'，可得 ，
可求DE，A'F的长，通过证明△A'D'F∽△CEF，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90°得到矩形A′BC′D′，∴AD=A'D'=1，AB=A'B=k，∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC，
∴A'D'∥BA∥CD
∴∠A'D'F=∠FEC=∠DEA，且∠D=∠A'=90°，
∴△ADE∽△FA'D'，
∴ ，且AE＝ ，
∴ ， ，
∵∠A'=∠DCF=90°，∠A'FD'=∠EFC，
∴△A'D'F∽△CEF，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角
形的性质求DE，A'F的长是本题的关键．三、解答题
19.计算：
【答案】
【解析】
【分析】
利用特殊锐角三角函数值计算求解即可.
【详解】解：原式= .
【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的计算，熟知特殊锐角三角函数值是解题的关键.
20.已知二次函数 .
（1）将函数 的解析式化为 的形式，并指出该函数图像顶
点B坐标；
（2）在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线 与y轴交点为C，抛物线的对
称轴与x轴交点为A.求四边形OABC的面积.
【答案】（1） ，B（2，－5）；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）利用配方法把将二次函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式，利用二次
函数的性质即可得出答案；
（2）求出C点，A点坐标，则四边形OABC的面积可求出．
【详解】解：（1） ，
该函数图象顶点B坐标为（2，-5）；
（2）如图，令y=0，x=-1，
∴C（0，-1），
∵B（2，-5），
∴A（2，0），
∴四边形OABC的面积 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握配方法和
二次函数的性质是解题的关键．
21.如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝AB＝13，BD＝24.求边DC的长.
【答案】
【解析】
【分析】
由 AD∥ BC 得 出 ∠ ADB=∠ DBC ， 再 由 AB=AD 得 出 ∠ ADB=∠ ABD ， 从 而
∠ABD=∠DBC，另外 AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，可证△ABE∽△DCB，可得
，即可求DC的长．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，AB=AD，
∴∠AEB=∠C=90°，BE=DE=12，
∴ ，
∵∠ABD=∠DBC，∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DCB，
∴
即：
∴ .
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找相似三
角形解决问题，属于中考常考题型．
22.如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小
时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的
方向上.小岛A离港口P有多少海里？【答案】
【解析】
【分析】
作AD⊥PB于D，设BD=x海里，，则 ，根据 可得AD=PD，列出
方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：过点A作AD⊥PB于点D，
根据题意得： （海里）
设BD=x，则 ，
∴ ,
解得：∴
∵ ，
∴
解得， .
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角
函数的定义是解题的关键．
23.已知：如图，点D、F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，
.
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果 ，求证： .
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）由平行线分线段成比例可得 ，由 ，可得 ，可证
EF∥BD；
（2）根据AC·CF=BC·CE可得△CEF∽△CAB，并可证得∠EDB＝∠DBA，则可证明
△BAD∽△DBE，可得 ，即可得结论．【
详解】证明（1）∵DE∥AB
∴
∵
∴
∴
∴EF∥BD
（2）∵AC·CF=BC·CE
∴ ，又∠C=∠C，
∴△CEF∽△CAB
∴∠CEF＝∠A
∵EF∥BD
∴∠CEF＝∠EBD
∴∠EBD＝∠A
∵ED∥AB
∴∠EDB＝∠DBA，且∠EBD＝∠A，
∴△ABD∽△BDE
∴
∴ .
【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
24.如图，已知抛物线y＝ x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与
点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结
BQ．
（1）求抛物线表达式；
（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；
（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．【答案】(1) y＝ x2＋2x＋3；(2) ；(3) m的值为2、 或1.
【解析】
【分析】
（1）将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝ x2＋bx＋c，化简求出b，c的值
即可；
（2）根据∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB，可证△OBP ∽△BPQ，可设Q（x， x2＋2x＋
3），求出直线AB的解析式，则可得P 的坐标为(x，3－x)，可得BP＝ x，OB＝3，
PQ＝ x2＋3x，利用相似三角形的对应边成立比例即可求解；
（3）分三种情况讨论：①当BQ＝PQ时，②当BP＝PQ时，③当BP＝BQ时，然后分别求
解即可.
【详解】（1）∵将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝ x2＋bx＋c得
，解之得：
∴抛物线的解析式为y＝ x2＋2x＋3
（2）∵∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB
∴∠OBP ＝∠BPQ
∴△OBP ∽△BPQ
设Q（x， x2＋2x＋3）
∵P点在直线AB上，并A (3, 0)、B (0, 3)，
则直线AB的解析式为：
∴ P (x，3－x)
∴BP＝ x，OB＝3，PQ＝ x2＋3x
∴ 即
∴ （0舍去）
∴
（3）∵M（m，0），P（m，3－m），Q（m， m2＋2m＋3）
∴BP＝ m，PQ＝ m2＋3m且∠BPQ＝45°
∴当△BPQ为等腰三角形时，存在如下情况：①如图1，当BQ＝PQ时，即∠PBQ＝∠BPQ＝45°
∴△BPQ为等腰直角三角形 ∴ m2＋2m＋3＝3
∴m＝2
②当BP＝PQ时,即 m＝ m2＋3m，即 （0舍去）
③如图2，当BP＝BQ时，∠BQP＝∠BPQ＝45°根据 ， ，可得
则有 ，
∴m＝1
综上所述，m的值为2、 或1.
【点睛】本题考查了二次函数与几何图形结合，三角形的相似，特殊角使用，以及等线段
的关系转化问题，懂得综合讨论是解题的关键．
25.已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足
为点F.
（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E. 当m=2时，求线段EF的长度；图（1）
（2）如图（2），联结OC，当m=2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；
图（2）
（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值.
图（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）1或2或 .
【解析】
【分析】
（1）如图1，延长FC交OM于点G，证∠BCG=∠MON，在Rt△AOE中，设OE=a，可
求得OA，OG，OF的长，则 ；
（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得 ，推出 ，在
Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的长，可求出cos∠COF的值，进一步推出
sin∠COF的值；
（3）需分情况讨论：当D在∠MON内部时，△FDA∽△FDC时，此时CD=AD=2，
m=2；当△FDA∽△CDF时，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，可利用三角函数求出m的值；当D在∠MON外部时，可利用相似的性质等求出m的值．
【详解】解：解：（1）如图1，
延长 交 于点 ，
， ，
，
则 ，
， ，
在 中，
设 ，由 ，
可得 ，则 ， ，
；
（2）如图2，延长 交 于点 ，由（1）得 ，
平分 ，
，
，
， ，
，
，
在 中，由 ，
得 ，
解得 （舍去）， ，
，
，
；（3）当 在 内部时，
①如图 ，
时，此时 ，
；
②当 时，
如图 ，
延长 交 于点 ，过 作 于 ，
则 ，
，，
，
，
，
，
，
，
；
当 在 外部时， ， ，
，
， ，
如图 ，时，此时 ，
，
，
、 重合，
延长 交 于 ，
， ， ，
；
如图 ，时，设 ，
延长 交 于 ，过 作 于 ，
，
，
，
， ， ， ， ，
，
，
，
，
，解得， ， （舍去），
，矛盾，
综上所述： 或 ，或 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解
题关键是注意分类讨论思想的运用．
