初中数学
2025年⼴东省⼴州市从化区中考⼀
模数学试卷
新东⽅教育科技集团2025年⼴东省⼴州市从化区中考⼀
模数学试卷
⼀、选择题
单选题
实数-3的相反数是（ ）
A. 3
B. -3
C. 1
−
3
D. 1
3
答案
A
解析
解：-3的相反数是3．
故选：A．
单选题
为了节能减排，国家积极倡导使⽤新能源汽⻋，新能源汽⻋发展也取得了巨⼤成就．下列新能源汽
⻋的⻋标既是中⼼对称图形⼜是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
/ 答案
B
解析
解：A．该图是轴对称图形，不是中⼼对称图形，不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形，符合题意；
C．该图是中⼼对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中⼼对称图形，不符合题意．
故选：B．
单选题
DeepSeek的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使⽤⾼性能的AI模型，推动了
AI技术的普惠化．2025年开年，DeepSeek仅⽤⼆⼗天就实现了21600000的⽇活跃⽤⼾（DAU），
超过了ChatGPT发布之初的数据表现，展现出巨⼤的市场潜⼒．其中⽤科学记数法表⽰21600000
为（ ）
A. 21.6×106
B. 2.16×106
C. 2.16×107
D. 0.216×108
答案
C
解析
本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n
为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同，当原数绝对值⼤于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进
⾏求解即可得到答案．
解：21600000=2.16×107，
故选C．
单选题
下列运算正确的是（ ）
A. 2a⋅3a=6a
B. a6÷a2=a3
C. (a2) 3 =a5
D. (−ab)2=a2b2
/ 答案
D
解析
本题考查了同底数幂除法，积的乘⽅，幂的乘⽅，单项式乘以单项式等内容，据此相关性质
进⾏逐项分析，即可作答．
解：A. 2a⋅3a=6a2，故该选项不正确，不符合题意；
B. a6÷a2=a4，故该选项不正确，不符合题意；
C. (a2) 3 =a6，故该选项不正确，不符合题意；
D. (−ab)2=a2b2，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
单选题
如图，在Rt△ABC中，∠C =90∘，BC =4，AC =3，则sinB=（ ）
A. 5
3
B. 4
5
C. 3
4
D. 3
5
答案
D
解析
本题考查的知识点是锐⻆三⻆函数的定义．先利⽤勾股定理求出斜边AB的⻓，再求出sinB的
值即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠C =90∘，BC =4，AC =3，
∴AB=√BC2+AC2=√42+32=5，
AC 3
∴sinB= = ．
AB 5
故选：D．
单选题
如图，点A、点B、点C在⊙O上，∠BAC =130∘，那么∠1的度数为（ ）
/ A. 130∘
B. 120∘
C. 100∘
D. 50∘
答案
C
解析
本题主要考查了圆周⻆定理，圆内接四边形的性质，在优弧BC上取⼀点D，连接BD，CD，
根据圆内接四边形对⻆互补可得∠BDC的度数，再由圆周⻆定理即可得到∠1的度数．
解：如图所⽰，在优弧BC上取⼀点D，连接BD，CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BDC =180∘−∠BAC =50∘，
∴∠1=∠BOC =2∠BDC =100∘，
故选：C．
单选题
正⽐例函数y=mx的图象过⼆、四象限，则关于x的⼀元⼆次⽅程x2−2x+m=0的根的情况描述
准确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根
答案
A
/ 解析
本题考查了正⽐例函数的性质，⼀元⼆次⽅程根的判别式的意义，根据题意得出m<0，进而
计算判别式，根据判别式的意义，即可求解．
解：∵正⽐例函数y=mx的图象过第⼆、四象限，
∴m<0，
∵x2−2x+m=0，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4m=4−4m>0，
∴⽅程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
单选题
《九章算术》有⼀题：“今有⼾⾼多于⼴六尺，两隅相去适⼀丈，问⼾⾼、⼴各⼏何？”⼤意是说：
已知矩形⻔的⾼⽐宽多6尺，⻔的对⻆线⻓1丈（1丈=10尺），那么⻔的⾼和宽各是多少？如果设⻔
的宽为x尺，则下列⽅程中符合题意的是（ ）
A. x2+(x−6)2=102
B. (x−6) 2 +102=x2
C. x2+(x+6) 2 =102
D. x2+102=(x+6)2
答案
C
解析
本题考查了勾股定理的应⽤，直接利⽤勾股定理得出⽅程即可，正确应⽤勾股定理是解题的
关键．
解：设⻔的宽为x尺，那么这个⻔的⾼为(x+6)尺，
根据题意得：x2+(x+6) 2 =100，
故选：C．
单选题
2
如图，△AOB是直⻆三⻆形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反⽐例函数y＝ 的图象上．若点B
x
k
在反⽐例函数y＝ 的图象上，则k的值为（ ）
x
/ A. 4
B. ﹣4
C. 8
D. ﹣8
答案
D
解析
求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
BD OD OB
根据条件得到△ACO∽△ODB，得到 = = =2，然后⽤待定系数法即可．
OC AC OA
解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
BD OD OB
∴ = = ，
OC AC OA
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
2
因为点A在反⽐例函数y＝ 的图象上，则mn＝2，
x
k
∵点B在反⽐例函数y＝ 的图象上，
x
∴B点的坐标是（−2n，2m），
∴k＝−2n•2m＝−4mn＝−8．
故选：D．
本题考查了反⽐例函数图象上点的坐标特征，相似三⻆形的判定和性质，求函数的解析式的
问题，⼀般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反⽐例函
数的解析式．
/ 单选题
如图，在平⾯直⻆坐标系中，y=−x2+3x+4 与 x 轴交于 A,B 两点 (A 在 B 的左侧），与 y 轴交
于点 C ，点 P 是线段 BC 上⽅抛物线上⼀点，过点 P 作 PM//x 轴，且与 BC 延⻓线相交于点 M
MD
，连结 AP 交 BC 于点 D ，则 的最⼤值为（ ）
DB
A. 4
5
B. 3
4
C. 4
3
D. 1
答案
D
解析
解：当 y=0 时，−x2+3x+4=0 ，
解得 x =−1 ，x =4 ，
1 2
∴A(−1,0),B(4,0) ，
当 x=0 时，y=−x2+3x+4=4 ，
∴C(0,4) ，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b ，
4k+b=0
把 B(4,0), C(0,4) 分别代⼊得 ，
{b=4
k=−1
解得 ，
{b=4
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+4 ，
设 P(t,−t2+3t+4)(0<t<4) ，
∵PM//x 轴，
/ ∴M(t2−3t,−t2+3t+4),
∴PM =t−(t2−3t)=−t2+4t,
∵PM//AB,
∴△PDM ∼△ADB,
MD PM −t2+4t 1
∴ = = =− (t−2)2+1,
BD AB 4 4
MD
当 t=2 时， 有最⼤值 1 ．
DB
故选：D．
⼆、填空题
填空题
分解因式：x2+2x= ．
答案
x(x+2)
解析
直接提取公因式进⾏计算即可．
x2+2x
=x(x+2)．
故答案为：x(x+2)．
本题考查了因式分解，把⼀个多项式化成⼏个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解
常⽤的⽅法有：①提公因式法；②公式法；③⼗字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解
到每个因式都不能再分解为⽌．
填空题
如图，直线l ∥l ，线段BC分别与l ，l 交于点D，C，过点B作AB⊥BC，交直线l 于点A．若
1 2 1 2 1
∠BAD=20°，则∠BCE的度数是 ．
答案
70°
解析
解：∵AB⊥BC，且∠BAD=20°，
∴∠ADB=90°-20°=70°．
/ ∵l 1 ∥l 2，
∴∠BCE=∠ADB=70°．
故答案为：70°．
填空题
电学中，串联电路电压U（伏特）⼀定时，电流I（安培）和电阻R（欧姆）成反⽐例函数关系，当
I =3安培时，R=12欧姆，则电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数关系是 ．
答案
36
I =
R
解析
本题主要考查了求反⽐例函数解析式，灵活运⽤待定系数法成为解题的关键．
直接运⽤待定系数法求解即可．
k
解：设电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数关系是I = ，
R
k
则有：3= ，解得：k=36．
12
36
所以电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数关系是I = ．
R
36
故答案为：I = ．
R
填空题
⼀个⽴体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个⽴体图形可以是 ．
答案
球体或正⽅体
解析
本题主要考查由三视图确定⼏何体的形状，具有较强空间想象能⼒及对⽴体图形的认识成为
解题的关键．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正⾯、左⾯和上⾯看据此即可解答．
解：⼀个⽴体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个⽴体图形可以是球体（或正
⽅体）．
故答案为：球体或正⽅体．
填空题
⼀个扇形的半径为9，圆⼼⻆为120∘，⽤这个扇形围成圆锥的侧⾯（接缝处重叠部分忽略不计），则
圆锥底⾯圆的半径为 ．
/ 答案
3
解析
本题主要考查的是圆锥的性质，掌握圆锥底⾯周⻓等于侧⾯展开扇形的弧⻓是解题关键．
利⽤扇形求出对应弧⻓，即可求出所围成的圆锥的底⾯半径．
120∘
解：由题意可知，扇形的弧⻓为： ×2π×9=6π，
360∘
∴底⾯周⻓为：6π，
∴6π=2πR，
解得：R=3，
即：底⾯半径等于3，
故答案为：3．
填空题
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C =45∘，以AB为腰作等腰Rt △ABE，顶点E恰好落在
CD边上，若AD=√2，则CE的⻓是 ．
答案
2
解析
过点E作EF⊥CD，交BC于点F，证明△ADE ∽△EFB即可求解．
提⽰：如图，过点E作EF⊥CD，交BC于点F．
∵△ABE是等腰直⻆三⻆形，
∴∠AEB=45∘，
AE √2
∴ =cos∠AEB= ，
BE 2
/ ∵∠C =45∘，
∴△EFC是等腰直⻆三⻆形，
∴EF =CE，∠CFE =45∘，
∴∠BFE =180∘−∠CFE =180∘−45∘=135∘．
∵∠CFE =∠FBE+∠BEF =45∘，∠AED+∠BEF =90∘−45∘=45∘，
∴∠AED=∠FBE．
∵AD//BC，
∴∠C+∠D=180∘，
∴∠D=180∘−45∘=135∘，
∴∠D=∠BFE，
∴△ADE ∽△EFB，
AD AE √2
∴ = = ．
EF BE 2
∵AD=√2，
∴EF =2，
∴CE =2．
故答案为：2．
本题考查了解直⻆三⻆形，相似三⻆形的判定与性质，三⻆形的外⻆定理，平⾏线的性质
等，正确添加辅助线，构造相似三⻆形是解题的关键．
三、解答题
解答题
解不等式：2x−1>6．
答案
x>3.5
解析
本题考查了解⼀元⼀次不等式，求出不等式的解集是解题的关键．
根据解⼀元⼀次不等式的⽅法解答即可．
解：2x−1>6，
∴2x>7，
∴x>3.5．
解答题
如图，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：BC=BD．
/ 答案
证明⻅解答．
解析
证明：∵∠ABC+∠4=180°，∠ABD+∠3=180°，且∠3=∠4，
∴∠ABC=∠ABD，
在△ABC和△ABD中，
∠2=∠1
⎧AB=AB ，
⎨
∠ABC =∠ABD
⎩
∴△ABC≌△ABD（ASA），
∴BC=BD．
解答题
a a2−1
已知T = 1− ÷ ．
( a+1) a2+2a+1
(1) 化简T；
(2) 若a=tan60∘+1，求T的值．
答案
1
(1)
a−1
(2) √3
3
解析
(1) a a2−1
解：T = 1− ÷
( a+1) a2+2a+1
a+1−a (a+1)(a−1)
= ÷
a+1 (a+1) 2
1 (a+1) 2
= ⋅
a+1 (a+1)(a−1)
1
= ；
a−1
(2) 解：∵a=tan60∘+1=√3+1，
/ 1 1 √3
∴T = = = ．
a−1 √3+1−1 3
解答题
为抓住⽂化产业赋能乡村振兴契机，争创国家全⺠健⾝⽰范区，打造环“两⼭”体育品牌赛事，助
⼒“百千万⼯程”⾼质量发展，2024年6⽉29⽇，⼴州市从化区成功举办⾸届⻰⾈邀请赛．为了给组
织单位献计献策，某校初三学⽣随机对部分市⺠进⾏了问卷调查，调查市⺠对于2025年⻰⾈赛增设
⽐赛项⽬的关注程度（参与问卷调查的每位市⺠只能选择其中⼀个项⽬），将调查得到的数据绘制
成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）．请你根据统计图、表解答下列问题：
⽐赛项⽬ 频数（⼈）频率
300⽶直道竞速赛（A） 30 0.1
彩⻰竞艳赛（B） 90 0.3
10公⾥⻰⾈⻢拉松（C） a 0.35
200⽶环绕赛（D） 75 0.25
(1) a的值为______；扇形统计图中D部分圆⼼⻆的度数为______；
(2) 为了缓解⽐赛当天城市交通压⼒，维护交通秩序，现安排4名志愿者（2男2⼥）对河滨北路段
进⾏值守，若在4名志愿者中任意抽取2名志愿者安排在街口⼤桥驶⼊河滨北路路口执勤，请求出
恰好抽到的两名志愿者性别相同的概率．
答案
(1) 105，90∘
1
(2)
3
解析
(1) 90∘解：本次调查学⽣数为：30÷0.1=300⼈，
所以10公⾥⻰⾈⻢拉松的⼈数为：300×0.35=105，即a=105．
扇形统计图中D部分圆⼼⻆的度数为360∘×0.25=90∘．
故答案为：105，90∘．
(2) 解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的情况有4
/ 种，分别是（男1，男2），（男2，男1），（⼥1，⼥2），（⼥2，⼥1），
4 1
所以P（抽到两名交警性别相同）= = ．
12 3
解答题
如图是两张不同类型⽕⻋的⻋票（“D×××次”表⽰动⻋，“G×××次”表⽰⾼铁）：
(1) 已知A、B两地之间的距离为600km，⾼铁的平均速度是动⻋平均速度的1.5倍，如果两⻋均按
⻋票信息准时出发，且同时到达终点，那么动⻋和⾼铁的平均速度分别是多少km/时？
(2) ⾼铁出发前，两⻋在什么时刻相距100km？
答案
(1) 动⻋的平均速度为 200km/时，⾼铁的平均速度为 300km/时
(2) ⾼铁出发 1 小时后，两⻋相距 100 km
解析
(1) 解：设动⻋的平均速度为xkm/时，则设⾼铁的平均速度为1.5xkm/时．
600 600
由题意可得 − =1，
x 1.5x
解得x=200，
经检验，x=200为⽅程的解，
∴1.5x=300，
答：动⻋的平均速度为200km/时，⾼铁的平均速度为300km/时；
(2) 设⾼铁出发 m 小时后，两⻋相距 100 km ，
由题意得： 200(m+1)−300m=100 ，
解得：m=1 ，
答：⾼铁出发 1 小时后，两⻋相距 100 km ．
解答题
如图，已知直线l:y =kx+b过点(5,2)，且与直线y =x+1相交于点A(3,m)．
1 2
(1) 求直线l的解析式；
/ (2) 当y ≥0且y ≥0时，⾃变量x的取值范围是______；
1 2
12
(3)
若双曲线y = 与直线y =kx+b相交于A、B两点，求△AOB的⾯积．
3 x 1
答案
(1) y =−x+7
1
(2) −1≤x≤7
(3) 7
2
解析
(1) 解：把A(3,m)代⼊y =x+1得，m=4，
2
∴A(3,4)，
把A(3,4)和点(5,2)代⼊y =kx+b，
1
5k+b=2
得 ，
{3k+b=4
k=−1
解得 ，
{b=7
∴直线l的解析式为y =−x+7；
1
(2) 解：∵y ≥0且y ≥0，
1 2
−x+7≥0
∴ ，
{x+1≥0
解得：−1≤x≤7，
故答案为：−1≤x≤7；
12
(3)
y=
解：联⽴⽅程组，得⎧ x ，
⎨y=−x+7
⎩
x=3 x=4
解得 （舍去）或 ，
{y=4 {y=3
∴另⼀个交点B的坐标为(4,3)，
如图，作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，
∴BE =3，AF =4，EF =1，OF =3，
7 7
∴S =S +S −S =6+ −6= ．
△AOB △AOF 梯形ABEF △BOE
2 2
解答题
某数学兴趣小组在探究矩形的折叠问题．如图9，他们把矩形ABCD的边AD折叠，折叠后点D与
BC边上的点E重合．
/ (1) 怎么找出这条直线折痕呢？兴趣小组发现可以通过尺规作图，准确地找到这条折痕．请你利
⽤尺规作图帮他们确定折痕所在的直线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 折痕与CD边的交点为F，连结EF，以AF为直径作⊙O，兴趣小组进⼀步探究点E与⊙O的位
置关系，请你与兴趣小组⼀起思考分析，确定点E与⊙O的位置关系并说明理由；
3
(3) 如果折痕AF =10√5，tan∠FEC = ，通过探究，兴趣小组发现可以求出矩形ABCD的周
4
⻓．请你帮助兴趣小组写出详细的求解过程．
答案
(1) 作图⻅解析
(2) 点 E在 ⊙O上，理由⻅解析
(3) 矩形 ABCD 的周⻓为 72 ．
解析
(1) 解：如图所⽰，射线AP为所求．
(2) 解：点E在⊙O上．
理由如下：
∵AD沿AP折叠得到AE，
∴∠DAF =∠EAF，AD=AE，
在△ADF和△AEF中
AD=AE
⎧∠DAF =∠EAF，
⎨
AF =AF
⎩
∴△ADF ≌△AEF(SAS)，
∴∠AEF =∠ADF =90∘，
连接OE，
1
则OE = AF，
2
∴点E在⊙O上．
/ (3) 解：由（2）知∠AEF =90∘，
∴∠1+∠2=90∘，
在矩形ABCD中，∠B=∠C =90∘，
∴∠3+∠2=90∘，
∴∠1=∠3，
∴△ABE ∽△ECF．
3 CF 3
∵tan∠FEC = ， = ，
4 CE 4
∴设CF =3x，则CE =4x，
由勾股定理得EF =5x．
∵△ADF ≌△AEF，
∴DF =EF =5x，
∴CD=8x=AB．
∵△ABE ∽△ECF，
AB 8x 2 AE
∴ = = = ，
CE 4x 1 EF
设EF =y，则AE =2y，
2
在Rt△AEF中，y2+(2y) 2 = 10√5 ，
( )
解得y=10，
∴DF =EF =y=5x=10，AE =AD=2y=20，
∴x=2，
∴AB=8x=16，
∴C =2(AB+AD)=72．
矩形ABCD
解答题
如图，已知△ABD和△AGE都是等腰三⻆形，AB=AD，AG=AE，∠BAD=∠GAE=α．
/ (1) 求证：GD=BE；
(2) 如图1，连接ED，若α=90°，以A、D、E、G为顶点的四边形是平⾏四边形，求AD与AG的数
量关系及∠GAD的度数；
(3) 如图2，若α=60°，AB=AG=6√3，DG与BE交于点P，△AGE绕点A顺时针旋转，从AG与
AB重合开始，到AE与AD第⼀次重合时停⽌，求此时点P所经过的路径的⻓．
答案
(1) 证明⻅解析
(2) 45°或135°
(3) 8π．
解析
(1) 证明：∵∠BAD=∠GAE=α，
∴∠BAD+∠DAE=∠DAE+∠GAE，
即∠BAE=∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
AG=AE
⎧∠BAE =∠DAG，
⎨
AB=AD
⎩
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE=GD．
(2) 解：如图（1），当四边形ADEG为平⾏四边形时，则有AG=DE，AG∥DE，
∵∠GAE=a=90°，AG=AE，
∴∠AED=∠GAE=90°，DE=AG=AE，
∴∠EAD=45°，
∴AD=√2AE =√2AG，∠GAD=∠GAE+∠EAD=135°．
/ 如图（2），当四边形ADGE为平⾏四边形时，则有AE=GD，AE∥GD，
∵∠GAE=a=90°，AG=AE，
∴∠AGD=∠GAE=90°，DG=AG=AE，
∴∠GAD=45°，AD=√2AG．
综上所述，当四边形ADEG为平⾏四边形时，AD=√2AG，
∴∠GAD=45°或135°
(3) 解：∵α=60°，AB=AD，AG=AE，
∴△ABD和△AGE都是等边三⻆形，
∴∠GAE=∠BAD=60°，由（1）同理可证△ABE≌△ADG，
∴∠1=∠2，
⼜∵∠3=∠4，
∴∠GAE=∠EPG，
∴∠EPG=60°=∠BAD=∠BPD，
∴A、B、D、P四点共圆，即点P在等边△ABD 的外接圆上，
设BD中点为M，圆⼼为O，连接OD、OM，则DM =3√3，∠MOD=60°，
DM
∴OD= =6．
sin60°
当△AGE的边AG绕点A从AB边所在直线开始逆时针旋转⾄AE与AD第⼀次重合时，旋转⻆
为240°，
∴点P此时运动的路径所在的弧所对的圆⼼⻆也为240°．
240∙π×6
∴点P此时运动的路径⻓为： =8π．
180
解答题
定义：在平⾯直⻆坐标系中，直线y=a(x−h)+k称为抛物线y=a(x−h)2+k的伴随直线，如直
线y=−(x+1)−2为抛物线y=−(x+1)2−2的伴随直线．
(1) 抛物线的对称轴为直线x=2且其伴随直线为y=x+1，求该抛物线的解析式；
/ (2) 若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的伴随直线是y=m(x+1)−3(m>0)．
①试⽤含a的代数式表⽰b和c；
②抛物线y=ax2+bx+c经过定点Q，且与x轴交于点D和点E，若△DEQ为直⻆三⻆形，求m的
值；
(3) 顶点在第⼀象限的抛物线y=−a(x−1)2+4a与它的伴随直线交于点A，B（点A在点B的左
侧），与x轴负半轴交于点C，当∠BAC =90∘时，y轴上存在点P，使得∠APB取得最⼤值，求此时
点P的坐标．
答案
(1) y=(x−2) 2 +3
4
(2)
① b=2a， c=a−3；② m=
13
(3) 5√2
P 0, −√3
( 2 )
解析
(1) 解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，且伴随直线y=x+1=(x−2)+3．
∴抛物线y=(x−2) 2 +3．
(2) 解：①依题意得原抛物线解析式为y=m(x+1) 2 −3=mx2+2mx+m−3，
∴a=m，b=2m，c=m−3，
∴b=2a，c=a−3．
②令 y=m(x+1)2−3=0 ，设点 D、E 的横坐标为 s,t ，
m−3
则 s+t=−1, st= ，
m
4m−12
则 DE2=(s−t)2=(s+t)2−4st=1=1− ，
m
由抛物线的表达式知，点 Q(−1,−3) ，
当 △DEQ 为直⻆三⻆形，
由函数的对称性知，△DEQ 为等腰直⻆三⻆形，
则 DE =2|y |=6 ，
Q
4m−12
即 36=1− ，
m
4
解得：m= ；
13
(3) ∵抛物线的解析式为：y=−a(x−1) 2 +4a，
∴其伴随直线为y=−a(x−1)+4a即y=−ax+5a，顶点坐标为(1,4a)，
∵抛物线顶点在第⼀象限，
∴a>0，
y=−a(x−1)2+4a
联⽴抛物线与伴随直线的解析式为： ，
{ y=−ax+5a
x =1 x =2
1 2
解得： ， ，
{y =4a {y =3a
1 2
∴A(1,4a)，B(2,3a)，
y=−a(x−1) 2 +4a，令y=0，
/ 即0=−a(x−1) 2 +4a，
解得：x=−1或x=3，
∴C(−1,0)，
∴AC2=4+16a2，AB2=1+a2，BC2=9+9a2，
∵∠CAB=90∘，
∴AC2+AB2=BC2
即4+16a2+1+a2=9+9a2，
√2 √2
解得：a= 或a=− （舍去），
2 2
√2
∴当∠CAB=90∘时，a= ．
2
设△APB的外接圆为⊙Q，当⊙Q与y轴相切时，
在y轴上任意取⼀点F，连接BF交⊙Q于⼀点G，则∠AGB=∠AFB+∠FAG>∠AFB，
∵∠APB=∠AGB，
∴当∠APB取得最⼤值，△ABP的外接圆与y轴相切，
√2 3√2
当a= 时，则A 1,2√2 ，B 2, ，如图所⽰，此时∠CAB=90∘，
2 ( ) ( 2 )
设过A，C(−1,0)，的直线解析式为y=kx+b，
2√2=k+b
∴ ，
{0=−k+b
k=√2
解得： ，
{b=√2
∴y=√2x+√2，
设经过△APB的外⼼Q的直线解析式为y=√2x+s，
3√2
∵A 1,2√2 ，B 2, ，
( ) 2
( )
/ 3 7√2
∴AB中点坐标E为 , ，
2 4
( )
7√2 3√2
∴ = +s，
4 2
√2
解得：s= ，
4
√2
∴直线EQ为：y=√2x+ ，
4
∵PQ⊥y轴，则QP =r=QA=QB，
√2
∴设Q t,√2t+ ，
( 4 )
2
√2
∴(t−1) 2 + √2t+ −2√2 =t2，
( 4 )
√6 9 √6 9
解得：t=− + 或t= + （舍去），
2 4 2 4
√2 √6 9 √2 5√2
∴√2t+ =√2 − + + = −√3，
4 2 4 4 2
( )
5√2
∴P 0, −√3 ．
2
( )
/ 
