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重庆渝西中学 2025 年秋高一第一次月考
数学试题
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因 ，
所以 .
故选：B
2. 已知命题 ，则 是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题 为存在量词命题，
则 是： .
故选：C
（改编）
3. 已知 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
第 1页/共 14页【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式即可得到答案.
【详解】 ，当且仅当 时等号成立，
故选：C.
4. 已知 为给定的实数，那么，集合 的子集的个数为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 不确定
【答案】C
【解析】
【详解】由方程 的根的判别式 ，知方程有两个不相等的实数根，则 M
有 2 个元素，得集合 M 有 个子集.选 C.
5. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得 ，解得 或 ，
则其定义域为 或 .
故选：D.
（改编）
6. 下列命题是假命题的是（ ）
A. “ ”是“ ” 充要条件
B. “ ”是“ ”的必要不充分条件
第 2页/共 14页C. “ 或 ”是“ ”的必要不充分条件
D. “集合 ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件，必要条件的概念以及特值法依次分析即可得答案.
【详解】解：对于 A 选项，当 时， ，但反之，若 ，则 ，不能得到
，故错误；
对于 B 选项， 不能得到 ，反之 能够得到 ，故正确；
对于 C 选项，若“ ”成立，则需 且 ，此时，“ 或 ”显然成立，
因此，“ 或 ”是“ ”的必要条件；
设 ， ，此时“ 或 ”成立，但 ，即“ ”不成立；
因此，“ 或 ”不是“ ”的充分条件；
所以“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件，故正确；
对于 D 选项，由 得 ，所以 能够推出 ，
反之，若集合 ，可得 ，此时 ，
所以“集合 ”是“ ”的充分不必要条件，故正确.
故选：A
（改编）
7. 已知 为正数， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 8 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，
第 3页/共 14页当且仅当 ，即 ， 时取等号，
即 的最小值为 .
故选：B
（高仿）
8. 设 ，若 时，关于 的不等式 恒成立，则 的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先分析得到 ，令 ，求出 的值，即可得到 时 ，
从而求出 的值，再检验即可.
【详解】因为当 时 ，
要使 时，关于 的不等式 恒成立，
所以当 时 ，所以 ，则 ，
令 ，解得 ，
则当 时 ，当 时 ，
所以当 时 ，即 ，解得 或 （舍去）；
当 时，对于方程 ，解得 ， ，
所以当 时 ，
当 时 ，
第 4页/共 14页又当 时 ，当 时 ，符合题意.
所以 .
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. （多选题）已知集合 ，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先化简集合 ,再对每一个选项分析判断得解.
【详解】由题得集合 ，
由于空集是任何集合的子集，故 A 正确：
因为 ，所以 CD 正确，B 错误.
故选 ACD.
【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
分析】对 A 举反例即可，对 B，根据不等式性质即可判断；对 C，作差即可判断；对 D，根据不等式性质
即可判断.
【详解】A：当 时，则 ，故 A 错误；
B：当 时， ，故 B 正确；
第 5页/共 14页C：当 时， ，则 ，故 C 正确；
D：当 时， ，故 D 错误.
故选：BC
11. 已知关于 x 的不等式 的解集是 ，其中 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解集可得 判断 A、D，再将题设转化为
，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断 B、C.
【详解】由题设， 的解集为 ，
∴ ，则 ，
∴ ， ，则 A、D 正确；
原不等式可化为 的解集为 ，而 的零点分别为 且开口向下，又
，如下图示，
第 6页/共 14页∴由图知： ， ，故 B 错误，C 正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得 ，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选
项的正误.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
（改编）
12. 已知函数 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接代入计算即可.
【详解】 .
故答案为：
（原创）
13. 黔江中学高一（1）班有学生 55 人全部参加数学和物理奥赛，其中数学奥赛获奖 31 人，物理奥赛获奖
29 人，还有 3 人两项都没获奖，则两项奥赛都获奖的有____________人．
【答案】
【解析】
第 7页/共 14页【分析】利用韦恩图求解即可.
【详解】设两项奥赛都获奖的有 人，
作出韦恩图，如图所示：
则有 ，
解得 ，
所以两项奥赛都获奖的有 人.
故答案为：8
（改编）
14. 已知关于 x 的不等式 的解集为{ 为常数}，且 ，则 的最小值
为____________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由一元二次方程的判别式为零得到 关系，再利用换元法令 结合基本不等式可得.
【详解】因为关于 x 的不等式 的解集为{ 为常数}，
所以 为方程 的唯一实数根，即 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
第 8页/共 14页（改编）
15. 已知全集为 R，集合 ；求 ．
【 答 案 】 ， 或 ， 或
.
【解析】
【分析】根据集合的交并补即可得到答案.
【详解】 ， ，
或 .
或 ，则 或 .
（原创）
16. 求解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）因式分解，即可求出不等式的解集；
（2）将不等式等价地转化为一元二次不等式，再解一元二次不等式即可；
（3）移项、通分，再将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可.
【小问 1 详解】
不等式 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ；
第 9页/共 14页【小问 2 详解】
不等式 ，即 ，等价于 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ；
【小问 3 详解】
不等式 ，即 ，
即 ，即 ，即 ，
等价于 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
（原创）
17. 已知集合 ，且 ．
（1）若 ，求 a 的取值范围．
（2）若“命题 ”为假命题，求 a 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据集合的包含关系得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得 是真命题，即 ，再列出不等式组，解出即可.
【小问 1 详解】
由 ，即 ，解得 ，
所以 ，
又 ， ， ，
第 10页/共 14页所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
因为命题 是假命题，
所以命题 是真命题，即 ，
若 ，则 或 ，解得 ；
所以当 时实数 取值范围为 ，
综上可得实数 的取值范围 .
（改编）
18. 已知函数 ．
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若 ，对任意 恒成立，求 的范围；
（3）当 时，求解关于 的不等式 ．
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3）答案见详解.
【解析】
【分析】（1）由题意，一元二次不等式的解集即为一元二次方程的根，所以根据根与系数的关系即可求解；
（2）由 ，得 ，因为对任意 恒成立，
所以对 的取值情况进行分类讨论，结合一元二次函数的特征即可求解；
（3）当 时，可得 ；当 时， ，
结合根的情况，对 的取值情况进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可求解.
【小问 1 详解】
由题意，不等式 解集为 ，即方程 的两根为 和 ，
第 11页/共 14页则由一元二次方程根与系数的关系，得 ，解得 ， ；
【小问 2 详解】
当 时，函数 ，
因为对任意 恒成立，即对任意 恒成立，
当 时，则 ，解不等式得 ，不成立；
当 时，函数 ，为开口向上的二次函数，不成立；
当 时，函数 ，为开口向下的二次函数，
则 恒成立，即 ，解不等式得 ；
综上所述，若 ，对任意 恒成立，则 的范围为 .
【小问 3 详解】
当 时，则 ， ，则 ，即 ，解不等式得 ；
当 时， ，则 ，
令 ，解得 或 ，
当 时，则 ，解得 或 ；
当 时不等式化为 .
当 ，即 时，解得 ，
当 ，即 时，解得 ，
当 ，即 时，解得 ，
第 12页/共 14页综上所述，当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 .
（改编）
19. 已知
（1）比较 a，b 的大小，并证明你的结论；
（2）若 ，求 b 的取值范围；
（3）若对任意正数 x，y，以 a，b，c 为三边长，均可构成三角形，求 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用作差法比较；
（2）由基本不等式可得；
（ 3） 结 合 ， 由 a， b， c 为 三 边 可 构 成 三 角 形 ， 得 到 ， 且 成 立
， 即
，且 成立，运用参数分离和换元法，结合基
本不等式和函数的单调性求解.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
即 .
第 13页/共 14页【小问 2 详解】
若 ，即 ，所以
所以 ，
因为 ，
所以 b 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
若 a，b，c 为三边可构成三角形，
则 ，且 成立，
即 ，且 成立，
即 成立，
设 ，，
令 ，则 ，令 ，
则 ，易知在 上递减，
所以 ，所以 ，
又 成立，而 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ；
所以 .
第 14页/共 14页
