初中数学
2025年⼴东省⼴州市天河区中考⼀
模数学试卷
新东⽅教育科技集团2025年⼴东省⼴州市天河区中考⼀
模数学试卷
⼀、单选题
单选题
−2025的倒数是（ ）
A. 2025
B. −2025
C. 1
−
2025
D. 1
2025
答案
C
解析
本题考查了倒数的定义，解题关键是根据倒数的意义找出乘积互为1的两个数．
根据乘积互为1的两个数互为倒数．
1
解：∵−2025× − =1
( 2025)
1
∴−2025的倒数是− ，
2025
故选：C
单选题
以下⼏何体的左视图是三⻆形的是（ ）
A.
B.
C.
/ D.
答案
B
解析
本题考查了⼏何体的三种视图，解题的关键是掌握左视图的是从左边看到的图形，左视图是
从物体左⾯看到的图形，进而分析即可．
A．左视图为⻓⽅形，不符合题意；
B．左视图为三⻆形，符合题意；
C．左视图为⻓⽅形，不符合题；
D．左视图为正⽅形，不符合题．
故选：B．
单选题
某校团委举办合唱赛，其中5位评委价九年级1班的打分分别为9.5，9，9，9.2，9.3．对这组数据描
述正确的是（ ）
A. 众数为9.2
B. 平均数为9.2
C. 中位数为9
D. ⽅差为0.006
答案
B
解析
本题考查了中位数，众数，平均数和⽅差，熟练掌握这些定义及计算⽅法是解决此类问题的
关键．先把5个数据按从小到⼤的顺序排列，而后⽤中位数，众数，平均数和⽅差的定义及计
算⽅法逐⼀判断．
解：5个数按从小到⼤的顺序排列9，9，9.2，9.3，9.5，
A、9出现次数最多，众数是9，故错误，不符合题意；
1
B、平均数是 ×(9+9+9.2+9.3+9.5)=9.2，故正确，符合题意；
5
C、中位数是9.2，故错误，不符合题意；
1
D、⽅差是 × (9.5−9.2) 2 +2×(9−9.2) 2 +(9.2−9.2) 2 +(9.3−9.2) 2 =0.036，故错
5 [ ]
误，不符合题意．
/ 故选：B．
单选题
下列运算正确的是（ ）
A. (a+b) 2 =a2+b2
B. a⋅a3 =2a3
C. 2 1
÷ =2(a≠0)
a a
D. 2a+3a=6a
答案
C
解析
此题考查了完全平⽅公式、同底数幂的乘法、分式的除法、合并同类项，根据相关运算法则
计算即可．
解：A. (a+b) 2 =a2+2ab+b2，故选项错误，不符合题意；
B. a⋅a3 =a4，故选项错误，不符合题意；
2 1
C. ÷ =2(a≠0)，故选项正确，符合题意；
a a
D. 2a+3a=5a，故选项错误，不符合题意；
故选：C
单选题
x<2x−1
不等式组 的解集在数轴上表⽰正确的是 ( )
{3x≤6
A.
B.
C.
D.
答案
B
/ 解析
解：解不等式 x<2x−1 ，得 x>1 ，
解不等式 3x≤6 ，得 x≤2 ，
x<2x−1
则不等式组 的解集为 1<x≤2 ，
{3x≤6
在数轴上表⽰为：
故选：B．
单选题
若关于x的⽅程x2−2x+2k−1=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案
A
解析
本题考查⼀元⼆次⽅程的知识，解题的关键是掌握⼀元⼆次⽅程有两个不相等的实数根时，
Δ=b2−4ac>0．根据⼀元⼆次⽅程，有两个不相等的实数根，则Δ=b2−4ac>0，解出k
，即可判断．
解：∵x2−2x+2k−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴(−2) 2 −4×1×(2k−1)>0，
∴k<1．
∴k的取值范围为k<1，
则k的值可以是0．
故选：A．
单选题
如图，抛物线y 与直线y 相交于点A和点B，点A，B的横坐标分别为−2和4，则当y >y 时x的取
1 2 1 2
值范围为（ ）
/ A. x<−2
B. x>4
C. −2<x<4
D. x<−2或x>4
答案
C
解析
本题考查了⼆次函数与不等式，根据抛物线y 图象在直线y 图象上⽅部分对应x的范围即为
1 2
y >y 时x的取值范围，利⽤交点坐标即可解答．
1 2
解：根据图象：当y >y 时x的取值范围为−2<x<4，
1 2
故选：C．
单选题
记载于《孙⼦算经》的牧童分⽺问题：“甲得⼄⼀⽺则甲为⼄两倍，⼄得甲⼀⽺则两⼈相等．”意思
是：若⼄给甲⼀只⽺，则甲的⽺的数量是⼄的2倍；若甲给⼄⼀只⽺，则两⼈的⽺的数量相等．设
甲有x只⽺，⼄有y只⽺，可列出⽅程组是（ ）
A. x+1=2(y−1)
{x−1=y+1
B. x−1=2(y+1)
{x+1=y−1
C. 2(x−1)=y+1
{x+1=y−1
D. 2(x+1)=y−1
{x−1=y+1
答案
A
解析
本题主要考查了由实际问题抽象出⼆元⼀次⽅程组，关键是正确理解题意，找出题⽬中的等
/ 量关系．
设甲有x只⽺，⼄有y只⽺，根据⼄给甲⼀只⽺，则甲的⽺数为⼄的两倍可得：甲的⽺数
+1=2×(⼄的⽺数−1)；如果甲给⼄⼀只⽺，则两⼈的⽺数相同可得等量关系：甲的⽺数
−1=⼄的⽺数+1，进而可得⽅程组．
解：设甲有x只⽺，⼄有y只⽺，根据题意得，
x+1=2(y−1)
{x−1=y+1
故选：A．
单选题
k
函数y=kx−k与函数y= (k≠0)在同⼀平⾯直⻆坐标系下的图象可能是（ ）
x
A.
B.
C.
D.
答案
B
/ 解析
此题考查的是反⽐例函数和⼀次函数的综合题型，掌握反⽐例函数和⼀次函数的图象所经过
的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．
分k>0和k<0两种情况讨论，然后根据⼀次函数和反⽐例函数所经过的象限逐⼀判断即可．
解：当k>0时，⼀次函数y=kx−k经过第⼀、三、四象限，反⽐例函数经过第⼀、三象
限，⽆符合的图象；
当k<0时，⼀次函数经过第⼀、⼆、四象限，反⽐例函数经过第⼆、四象限，符合此种条件
的图象只有B选项，
故选：B．
单选题
如图，AB和AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．已知⊙O的半径为3，∠BOC =120∘，以A为圆⼼，
AB为半径作弧BC．若把扇形ABC围成⼀个圆锥，则该圆锥的底⾯圆半径为（ ）
A. √3
B. √3
2
C. 1
2
D. 3
2
答案
B
解析
连接BC，作OD⊥BC于点D，证明△ABC是等边三⻆形，求出BC，设圆锥的底⾯圆半径为r
，根据扇形的弧⻓等于圆锥的底⾯圆周⻓列⽅程即可求出答案．
解：连接BC，作OD⊥BC于点D，
1
∴BD=CD= BC
2
∵∠BOC =120∘，
/ 1
∴∠A= ∠BOC =60∘，
2
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三⻆形，
∵OB=OC，
1
∴∠OBD=∠OCD= (180∘−∠BOC)=30∘，
2
3√3
∴BD=OB⋅cos∠OBD=
2
∴BC =2BD=3√3=AB，
设圆锥的底⾯圆半径为r，
60π×3√3
则2πr= ，
180
√3
解得r=
2
故选：B
此题考查了弧⻓公式、垂径定理、等边三⻆形的判定和性质、解直⻆三⻆形等知识，熟练掌
握弧⻓公式、垂径定理是解题的关键．
⼆、填空题
填空题
⼴州⾸条地铁环线⼗⼀号线于2024年12⽉开通，⾸⽇客流量达456000⼈次，将数据456000⽤科学记
数法表⽰为 ．
答案
4.56×105
解析
⽤移动小数点的⽅法确定a值，根据整数位数减⼀原则确定n值，最后写成a×10n的形式即
可．本题考查了科学记数法表⽰绝对值⼤于1的数，熟练掌握把小数点点在左边第⼀个⾮零数
字的后⾯确定a，运⽤整数位数减去1确定n值是解题的关键．
解：∵456000=4.56×105，
故答案为：4.56×105．
填空题
已知点A(x ,y ),B(x ,y )在抛物线y=(x−1) 2 +5上，且x <x <1，则y y ．（填“<
1 1 2 2 1 2 1 2
”或“>”或“=”）
答案
>
/ 解析
本题主要考查了⼆次函数图象的性质，依据题意，求出抛物线y=(x−1)2+5的对称轴x=1
，根据抛物线开口向上，故当x<1时，y随x的增⼤而减小，进而判断得解．
解：由题意得抛物线y=(x−1)2+5的对称轴x=1，
⼜∵a=1>0，
∴抛物线y=(x−1)2+5开口向上．
∴当x<1时y随x的增⼤而减小．
∴对于A、B当x <x <1时，y >y ．
1 2 1 2
故答案为：>．
填空题
某校开展学⽣课后服务满意度调查，绘制成扇形统计图，如图，已知“不满意”⼈数为15⼈，则参与
调查的总⼈数为 ．
答案
300
解析
本题主要考查了扇形统计图，⽤“不满意”⼈数除以其占总⼈数百分⽐，即可得到答案．
解：15÷(1−35%−40%−20%)=300（⼈），
∴参与调查的总⼈数为300⼈，
故答案为：300．
填空题
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，若BD是△ABC的⻆平分线，则∠BDC的度数为
．
/ 答案
72∘ |72度
解析
此题考查了等腰三⻆形的判定和性质、三⻆形内⻆和定理、⻆平分线的定义等知识，熟练掌
握等腰三⻆形的判定和性质是解题的关键．根据等边对等⻆和三⻆形内⻆和定理求出
∠ABC =∠C =72∘，由⻆平分线得到∠CBD=∠ABD=36∘，由三⻆形内⻆和定理即可求出
答案．
解：∵AB=AC，∠A=36∘，
1
∴∠ABC =∠C = (180∘−36∘)=72∘，
2
⼜∵BD是△ABC的⻆平分线，
1
∴∠CBD=∠ABD= ∠ABC =36∘，
2
∴∠BDC =180∘−∠CBD−∠C =72∘
故答案为：72∘．
填空题
已知菱形ABCD的边⻓为2，∠ADC =60∘，点M为AD的中点，点P为对⻆线BD上⼀个动点，连
接PA，PM，则PA+PM的最小值为 ．
答案
√3
解析
本题考查了菱形的性质，等边三⻆形的判定与性质，勾股定理，连接AC,CM,CP，由菱形的
性质可得AP =CP，当C,P,M三点共线时，则PA+PM有最小值，证明△ACD是等边三⻆
形，由点M为AD的中点，可得∠CMD=90∘,MD=1，利⽤勾股定理即可求解．
解：如图，连接AC,CM,CP，
/ ∵四边形ABCD是菱形，点P为对⻆线BD上⼀个动点，
∴BD垂直平分AC，
∴AP =CP，
∴AP +PM =CP +MP，
当C,P,M三点共线时，则PA+PM有最小值，
∵∠ADC =60∘，AD=CD，
∴△ADC是等边三⻆形，
⼜∵M是AD的中点，菱形ABCD的边⻓为2，
∴CM⊥AD，MD=1，CD=2，
∴∠CMD=90∘，
∴Rt△CDM中，CM =√CD2−DM2 =√3，
∴AP +PM的最小值为√3，
故答案为：√3．
填空题
如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E，F分别在AB，BC边上，且AE =2，BF =3，
DE与AF相交于点P，若PQ为△DPF的中线，则PQ的⻓为 ．
答案
√37 1
| √37
2 2
解析
本题考查矩形的性质，相似三⻆形的判定与性质，直⻆三⻆形的性质，解决的关键是证明
△ABF ∽△ADE．根据矩形的性质证明△ABF ∽△DAE，得∠BAF =∠ADE，证明
1
∠FPD=90∘，根据直⻆三⻆形斜边的中线等于斜边的⼀半得PQ= DF，利⽤勾股定理求
2
出DF，进而可以解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C =∠DAB=∠B=90∘,CD=AB=6,BC =AD=4，
/ ∵AE =2,BF =3，
BF 3 AB 6 3
∴ = , = = ，
AE 2 AD 4 2
BF AB
∴ = ，
AE AD
∵∠B=∠DAB=90∘，
∴△ABF ∽△DAE，
∴∠BAF =∠ADE，
∵∠BAF +∠DAP =90∘，
∴∠ADE+∠DAP =90∘，
∴∠APD=90∘，
∴∠FPD=90∘，
∵PQ为△DPF的中线，
1
∴PQ= DF，
2
∵CD=6,CF =BC−BF =1，
∴DF =√CD2+CF2 =√37，
√37
∴PQ的⻓为 ，
2
√37
故答案为： ．
2
三、解答题
解答题
解⽅程：x2−2x=3．
答案
x =3,x =−1
1 2
解析
本题考查了因式分解法解⼀元⼆次⽅程，根据因式分解法解⼀元⼆次⽅程，即可求解．
解：x2−2x=3
∴x2−2x−3=0
∴(x−3)(x+1)=0
∴x−3=0或x+1=0
解得：x =3,x =−1
1 2
解答题
如图，点B，F ，C，E在⼀条直线上，且BF =EC，若AC//FD，AC =FD．求证：
△ABC ≌△DEF．
/ 答案
⻅解析
解析
本题主要考查了全等三⻆形的判定，解题的关键是根据题⽬所给条件，得出相应的边和⻆度
相等，熟练掌握三⻆形全等的判定定理是解题的关键．根据BF =CE可得BC =EF，根据
AC//DF可得∠ACB=∠DFE，即可根据SAS进⾏求证．
证明：∵BF =CE，
∴BF +CF =CE+CF，即BC =EF，
∵AC//DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
AC =DF
⎧∠ACB=∠DFE，
⎨
BC =EF
⎩
∴△ABC ≌△DEF(SAS)．
解答题
已知x≠y，x≠−y，有三个代数式：A=2x2−2y2，B=x2−xy，C =3x2−6xy+3y2．
(1) 因式分解A；
(2) 在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分⼦、分⺟，组成⼀个分式并化简．
答案
(1) 2(x+y)(x−y)
(2) ⻅解析
解析
(1) 解：A=2x2−2y2 =2(x2−y2)=2(x+y)(x−y)；
(2) 2x2−2y2 2(x+y)(x−y) 2(x+y) 2x+2y
解：选择A、B，则所得分式为 = = = 或
x2−xy x(x−y) x x
x2−xy x(x−y) x
= = ；
2x2−2y2 2(x+y)(x−y) 2x+2y
2x2−2y2 2(x+y)(x−y) 2(x+y) 2x+2y
选择A、C，则所得分式为 = = = 或
3x2−6xy+3y2 3(x−y)2 3(x−y) 3x−3y
2
/ 3x2−6xy+3y2 3(x−y)2 3(x−y) 3x−3y
= = = ；
2x2−2y2 2(x+y)(x−y) 2(x+y) 2x+2y
x2−xy x(x−y) x x
选择B、C，则所得分式为 = = = 或
3x2−6xy+3y2 3(x−y) 2 3(x−y) 3x−3y
3x2−6xy+3y2 3(x−y) 2 3(x−y) 3x−3y
= = = ．
x2−xy x(x−y) x x
解答题
某学校化学兴趣小组在实验室探究⾦属与稀盐酸的反应．已知实验室有四种⾦属，分别为铝（Al
）、锌（Zn）、铜（Cu）、银（Ag），铝和锌与稀盐酸均会发⽣反应并产⽣⽓体，其余两种⾦属均不
反应．
(1) 填空：若从中随机选取⼀种⾦属进⾏实验，恰好选到不反应的⾦属概率是_____；
(2) 若随机选取两种不同的⾦属同时进⾏实验，通过列表或画树状图求恰好都选到不反应的⾦属
概率．
答案
(1) 1
2
1
(2)
6
解析
(1) 解：共四种⾦属，铝和锌与稀盐酸均会发⽣反应并产⽣⽓体，其余两种⾦属均不反应，
1
∴从中随机选取⼀种⾦属进⾏实验，恰好选到不反应的⾦属概率是 ，
2
1
故答案为： ．
2
(2) 根据题意，列表如下，
Al Zn Cu Ag
Al Al、Zn Al、Cu Al、Ag
Zn Al、Zn Zn、Cu Zn、Ag
Cu Al、Cu Zn、Cu Cu、Ag
Ag Al、Ag Zn、Ag Cu、Ag
由表可知，共有12种等可能的结果，恰好都选到不反应的⾦属有2种，
2 1
∴求恰好都选到不反应的⾦属概率为 = ．
12 6
解答题
如图，在平⾯直⻆坐标系xOy中，以点A(0,2)为圆⼼，AO为半径画半圆，分别以点B(−2,0)、点
C(2,0)为圆⼼，BO，CO为半径画圆弧，两圆弧与半圆分别交于点D和点E．
/ (1) 填空：点D的坐标是_____，点E的坐标是_____；
(2) 在图中画出阴影部分图形关于原点的中⼼对称图形：
(3) 求图中阴影部分图形的周⻓．（结果保留π）
答案
(1) (−2,2)， (2,2)；
(2) ⻅解析
(3) 4π
解析
(1) 解：点D的坐标是(−2,2)，点E的坐标是(2,2)；
(2) 如图即为所求，
(3) 1
阴影部分的周⻓= ×2π×2×4=4π
4
解答题
2025年央视春晚的⼈形机器⼈凭借其出⾊的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器⼈上舞台前
需要进⾏测试，已知A,B两地相距s⽶，甲、⼄两机器⼈从A地同时出发，沿同⼀直线同向而⾏⾄B
地．甲机器⼈前4秒钟以a⽶/秒的速度⾏进，之后速度提升为2a⽶/秒；⼄机器⼈始终以2⽶/秒的速
/ 度⾏进．经过6秒，两机器⼈同时到达B点．
(1) 求A，B两地之间的距离s及a的值；
(2) 分别写出前4秒和后2秒甲机器⼈的⾏程y（⽶）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出
其图象；
(3) 求两机器⼈出发多⻓时间时相距1⽶？
答案
(1) s的值为12，a的值为1.5
(2)
1.5x(0≤x≤4)
y= ，图象⻅解析
{3x−6(4<x≤6)
(3) 两机器⼈出发2秒或5秒时相距1⽶
解析
(1) 解：A，B两地之间的距离s=2×6=12（⽶），
根据题意，得4a+2a×(6−4)=12，
解得a=1.5，
∴A，B两地之间的距离s的值为12，a的值为1.5．
(2) 解：前4秒时，y=1.5x，
当x=4时，y=1.5×4=6，
则后2秒时，y=6+2×1.5(x−4)=3x−6，
∴前4秒和后2秒甲机器⼈的⾏程y（⽶）与时间x（秒）的函数解析式为
1.5x(0≤x≤4)
y= ，
{3x−6(4<x≤6)
其图象如图所⽰：
/ (3) 解：⼄机器⼈的⾏程y（⽶）与时间x（秒）的函数解析式为y=2x(0≤x≤6)，
当0≤x≤4时，得2x−1.5x=1，
解得x=2，
当4<x≤6时，得2x−(3x−6)=1，
解得x=5，
∴两机器⼈出发2秒或5秒时相距1⽶．
解答题
数学活动课上，⽼师让同学们借助太阳光线，分组测量塔AB⾼度，并给出测量设计⽅案．测量⼯
具有：⼀根1⽶⻓的直木棍和20⽶⻓量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中⼀个小组⽅案，求
出塔⾼；若认为两个⽅案均不可⾏，则说明理由．
小天组：采⽤在同⼀时刻棍影和塔影⼀端在同⼀点重合的分次测量⽅式．如图1，第⼀次测量某⼀
时刻木棍CD与塔影⼀端重合在点M，测得棍影CM为1⽶；第⼆次测量另⼀时刻棍影EN与塔影
BN⼀端重合在点N，测得EN =1.5⽶，木棍移动距离CE =12⽶．
小河组：采⽤固定木棍分次测量⽅式．如图2所⽰，第⼀次测量在某⼀时刻，标记塔影BE的位置并
测量出棍影QG⻓为1.5⽶．第⼆次测量在某⼀时刻，标记塔影BF的位置并测量出棍影QH⻓为2
⽶，两次塔影顶端EF的距离为12.4⽶．
（注：图中箭头表⽰太阳光线，同⼀时刻太阳光可视为平⾏光）
/ 答案
两种⽅案都能得到合理结果，塔 AB⾼度约为25⽶
解析
本题考查利⽤相似三⻆形测⾼，小天组：证△MCD∽△MBA，可得AB=BM，再证
AB BN
△NEF ∽△NBA，可得 = ，根据BM +EM +NE即可求解；小河组：小河组：
EF NE
GQ HQ
由题意得HP//AF,PG//AE，证明△PGQ∽△AEB，△PHQ∽△AFB，推出 =
BE BF
，求出BE，即可解答．
解：小天组：由题意得∠ABM =∠DCM =∠FEN =90∘，
∴CD//AB//EF，
∴△MCD∽△MBA，△NEF ∽△NBA，
AB BM AB BN
∴ = ， = ，
CD CM EF NE
∵CD=CM =EF =1⽶，NE =1.5⽶，CE =12⽶，
∴EM =CE−CM =11⽶，
AB BM AB BM +EM +NE
∴ = ， = ，
1 1 1 NE
∴AB=BM，
AB AB+11+1.5
∴ = ，即1.5AB=AB+12.5，
1 1.5
∴AB=25⽶；
小河组：由题意得HP//AF,PG//AE，
∴∠PHQ=∠AFB,∠PGQ=∠AEB，
∵∠PQH =∠ABE =90∘，
∴△PGQ∽△AEB，△PHQ∽△AFB，
PQ GQ HQ PQ
∴ = , = ，
AB BE BF AB
GQ HQ
∴ = ，
BE BF
GQ HQ
∴ = ，
BE BE+EF
∵GQ=1.5⽶，HQ=2⽶，EF =12.4⽶，
1.5 2
∴ = ，
BE BE+12.4
∴BE =37.2⽶，
∵PQ=1⽶，
1 1.5
∴ = ，
AB 37.2
∴AB=24.8⽶，与25⽶⾮常接近，可视作测量或记录误差所致，
综上，两种⽅案都能得到合理结果，塔AB⾼度约为25⽶．
解答题
已知⼀条抛物线与x轴交于点A(3,0)，B(6,0)，与y轴交于点C(0,m)．
(1) 当m=9时，求这条抛物线的解析式：
/ (2) 当m=9时，在这条抛物线上取⼀点P（不与C点重合），当∠OPB=∠OCB时，求点P的横
坐标：
(3) 若过点A的直线l与△OBC的边BC交于点Q（不包括端点），设四边形COAQ的⾯积为S ，
1
S
△ABQ的⾯积为S ，若1< 1 ≤2，求点Q的横坐标的取值范围．
2
S
2
答案
(1) y= 1 x2− 9 x+9
2 2
(2) 6+√5
(3) 0<x ≤2
Q
解析
(1) 解：根据题意点C(0,9)，
∵A(3,0)，B(6,0)，
∴设这条抛物线的解析式为y=a(x−3)(x−6)(a≠0)，
将点C(0,9)代⼊抛物线得：9=a(0−3)(0−6)，
1
解得：a= ，
2
1 1 9
∴这条抛物线的解析式为y= (x−3)(x−6)= x2− x+9；
2 2 2
1 9
(2) 解：当m=9时，由（1）知这条抛物线的解析式为y= x2− x+9，
2 2
如图，作Rt△BOC的外接圆⊙O′，设⊙O′交抛物线x轴上⽅（除点C）于点P，连接
CP,OP,BP，过点P作x轴垂线，交x轴于点H，过点C作y轴垂线，交点过点P垂线x轴的垂
线于点G，
此时，点P，在⊙O′上，即∠OPB=∠OCB，
则∠PGC =∠PHB=90∘，
∵∠BOC =90∘，
∴BC是⊙O′的直径，
∴∠CPB=90∘，
/ ∴∠CPG+∠HPB=∠CPG+∠PCG=90∘，
∴∠HPB=∠PCG，
∴△PGC ∽△BHP，
CG PG
∴ = ，
PH BH
1 9
设P p, p2− p+9 (p>6)，
( 2 2 )
∵C(0,9),B(6,0)，
1 9 1 9 1 9
∴CG=p,PG=9− p2− p+9 =− p2+ p,PH = p2− p+9,BH =p−6，
(2 2 ) 2 2 2 2
1 9 1 9
− p2+ p p2− p+9
p 2 2 p 2 2
∴ = ，即 = ，
1 9 p−6 1 9 p−6
p2− p+9 − p2+ p
2 2 2 2
1
(p2−9p+18)
1 2
∴ = ，
1 9 p−6
− p+
2 2
1
(p−6)(p−3)
1 2
∴ = ，
1 9 p−6
− p+
2 2
1 1 1 1 9
∴ = (p−3)，即 (p−3) − p+ =1，
1 9 2 2 ( 2 2)
− p+
2 2
∴(p−3)(p−9)=−4，
整理得：p2−12p+31=0，
12±√122−4×1×31 12±2√5
解得：p= = =6±√5，
2 2
∵p>6，
∴p=6+√5；
(3) 解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B(6,0)代⼊得：6k+b=0，
b
解得：k=− ，
6
b
∴直线BC的解析式为y=− x+b，
6
b
设Q q,− q+b (0<q <6)，
( 6 )
1 b bq 3
∴S = − ⋅q+b ×3=− + b，
2
2( 6 ) 4 2
1
∵S = ×b×6=3b=S +S ，
△OBC 1 2
2
S +S 3b 12 12 S
2 1 1
∴ = =− = = +1，
S bq 3 q−6 6−q S
2 − + b 2
4 2
S 6+q
∴ 1 = ，
S 6−q
2
∵0<q <6，
∴6−q >0，
S
∵1< 1 ≤2，
S
2
/ 6+q
∴1< ≤2，即6−q <6+q ≤2(6−q)，
6−q
6−q <6+q
∴ ，
{6+q ≤2(6−q)
解得：0<q ≤2，
∴点Q的横坐标的取值范围为0<x ≤2．
Q
解答题
Rt△ABC中，∠C =90∘．点D为线段BC上的⼀点，将线段DA绕点D顺时针旋转90∘得到DE，与
AB相交于点F，连接BE．
(1) 如图1，当AD为△ABC的⻆平分线时，若EF =DF．
①求tan∠DAC的值；
②连接AE，求证：AE⊥BE．
(2) 如图2，当AD为△ABC的中线时，设tan∠DAC =t，tan∠BED=y，求y与t的函数关系
式，并求y的最⼤值．
答案
1
(1) ① ；②⻅解析
2
(2) t2 4
y= ， y的最⼤值为
t2−t+1 3
解析
(1) 解：①由旋转的性质得∠ADE =90∘,AD=DE，
∵AD为△ABC的⻆平分线，
∴∠DAF =∠DAC，
∵∠C =90∘，
DF
∴tan∠DAC =tan∠DAF = ，
AD
1
∵EF =DF，即DF = DE，
2
1
∴DF = AD，
2
1
AD
DF 2 1
∴tan∠DAC = = = ；
AD AD 2
②延⻓AB，使得AF =FH，连接EH,DH，
/ ∵AF =FH，DF =EF，
∴四边形ADHE是平⾏四边形，
∴∠DEH =∠ADE =90∘,EH =AD，EH//AD，
∵AD=DE，
∴EH =DE，
∴△DEH是等腰直⻆三⻆形，
∵EH//AD，
∴∠EHB=∠BAD，
∵∠BAD=∠DAC,∠DAC+∠ADC =∠ADC+∠EDB=90∘，
∴∠EDB=∠DAC，
∴∠EDB=∠BAD，
∴∠EDB=∠EHB，
∴∠EDH−∠EDB=∠EHD−∠EHB，即∠BDH =∠BHD，
∴BD=BH，
∵EH =DE,BE =BE，
∴△EDB≌△EHB(SSS)，
1
∴∠HEB=∠DEB= ∠DEH =45∘，
2
∴∠AED+∠DEB=90∘，
∴AE⊥BE；
(2) 解：过点B作BM⊥DE于点M，则∠BMD=90∘，
∵tan∠DAC =t，
CD
∴ =t，
AC
设CD=at，则AC =a，
∴DE =AD=a√1+t2，
/ ∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD=at，
∵∠DAC+∠BDM =∠DAC+∠ADC =90∘，
∴∠BDM =∠DAC，
∵∠BMD=∠C =90∘，
∴△ADC ∽△DBM，
BD BM DM
∴ = = ，
AD CD AC
at BM DM
∴ = = ，
a√1+t2 at a
at2 at
∴BM = ,DM = ，
√1+t2 √1+t2
at t
∴EM =DE−DM =AD−DM =a√1+t2− =a √1+t2− ，
√1+t2 ( √1+t2)
∵tan∠BED=y，
at2
BM √1+t2 t2
∴ =y= = ，
EM t t2−t+1
a √1+t2−
( √1+t2)
t2 1 1
∵y= = = ，
t2−t+1 1 1
1 1
2
3
− +1 − +
t2 t ( t 2) 4
2
1 1 1 1 3 3
当 = 时，即t=2时， − + 有最小值 ，即y有最⼤值，
t 2 ( t 2) 4 4
1 4
∴y的最⼤值为 = ．
3 3
4
/ 
