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专题 12 几何初步与平行线
（时间：60分钟，满分120分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【答案】D
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
40 11
【解析】解：11点40分时针与分针相距3+ = （份），
60 3
11
30°× =110°，
3
故选：D．
2．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则 的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【分析】利用对顶角相等求解．
【详解】解：量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得， ．故选A．
3．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3=∠A B．∠1=∠2
C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°
【答案】B【详解】解：A、∠3=∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项错误；
B、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确；
C、∠D=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
D、∠D+∠ACD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
故选：B．
4．下列生活现象：
用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
①从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
④其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】直接利用直线的性质和线段的性质分别判断得出答案．
【解析】解： 用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；
从A地到B①地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选
②项符合题意；
植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选
③项不合题意；
把弯曲的公路改直，就能缩短路程，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意．
④故选：B．
5．（2022·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（
）
A．26° B．36° C．44° D．54°【答案】B
【分析】根据垂直的定义可得 ，根据平角的定义即可求解．
【详解】解： EO⊥CD， ，
， ．故选：B ．
6．下列说法正确的个数为（ ）
① 过两点有且只有一条直线； ② 连接两点的线段叫做两点间的距离；
③ 两点之间的所有连线中，线段最短； ④ 直线AB和直线BA表示同一条直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质以及直线的表示对各小题分析判断即可得解．
解：① 过两点有且只有一条直线，正确；② 连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；
③ 两点之间的所有连线中，线段最短，正确；④ 直线AB和直线BA表示同一条直线，正确．
综上所述，正确的有①③④共3个．
故选：C．
7．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O， ， ，则 的度数
是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【分析】根据对顶角相等可得 ，之后根据 ，即可求出 ．
【详解】解：由题可知 ，
，
．
故选：D．
8．已知∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则有下列式子：
①90°﹣∠β； ∠α﹣90°； （∠α+∠β） （∠α﹣∠β）； （∠α﹣90°），其中，表示∠β的余
② ③ ④ ⑤角的式子有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，求出∠β的余角是90°﹣∠β，90°﹣
∠β表示∠β的余角；∠α﹣90°＝90°﹣∠β，即可判断 ；180°﹣∠α＝∠β，根据余角的定义即可判断 ；
② ③
1
求出 （∠α﹣∠β）＝90°﹣∠β，即可判断 ．
2
④⑤
【解析】解：∵∠α与∠β互补，
∴∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，
∴90°﹣∠β表示∠β的余角，∴ 正确；
∠α﹣90°＝180°﹣∠β﹣90°＝90°①﹣∠β，∴ 正确；
180°﹣∠α＝∠β，∴ 错误； ②
1 1 ③
（∠α﹣∠β）= （180°﹣∠β﹣∠β）＝90°﹣∠β，∴ 正确， 错误．
2 2
④ ⑤
故表示∠β的余角的式子有3个．
故选：B．
9．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段
AD的长是（ ）
A．2（a﹣b） B．2a﹣b C．a+b D．a﹣b
【答案】B
【解析】由已知条件可知，MN=MB+CN+BC，又因为 M是AB的中点，N是CD中点，则 AB+CD=2
（MB+CN），故AD=AB+CD+BC可求．
解：∵MN=MB+CN+BC=a，BC=b，
∴MB+CN=a﹣b，
∵M是AB的中点，N是CD中点
∴AB+CD=2（MB+CN）=2（a﹣b），
∴AD=2（a﹣b）+b=2a﹣b．
故选：B．
10．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠1
＝115°，则图中∠2的度数为（ ）A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】由邻补角概念和翻折变换性质得出∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，据此知∠CFB′＝50°，结合
∠B＝∠B′＝90°知∠2＝90°﹣∠CFB′，从而得出答案．
【详解】解：∵∠1＝115°，
∴∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，
∴∠CFB′＝50°，
又∵∠B＝∠B′＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠CFB′＝40°，
故选：A．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．35.15°＝ ° ′ ″；12°15′36″＝ °．
【分析】1°＝60′，1′＝60″，根据度分秒的换算即可得出结果．
【解析】解：∵0.15°＝9′，
∴35.15°＝35°9′；
∵36″＝0.6′，15.6′＝0.26°，
∴12°15′36″＝12.26°，
故答案为：35，9，0；12.26．
12．（2022·广西桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝_____cm．
【答案】4
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
13. 如图，a∥b，∠1＝80°，∠2＝40°，∠3＝____.【答案】
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠2的同位角，再根据平角等于180°列式进行计算即可得解．
【详解】
∵a∥b,∠2=
∴∠4=∠3=
∵∠1=80∘，
∴∠3= −∠1−∠4= − − =
故答案为 .
14．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为
______
【答案】135°##135度
【分析】根据三角板及其摆放位置可得 ，求解即可．【详解】 ，
，
故答案为：135°．
12. 如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于___________．
【答案】30°
【详解】
，
，
故答案为： ．
16．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中 ， ， ，
AB与DF交于点M．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，可得 再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】由图可得
∵ ，
∴∴
故选：C．
三、简答题（共46分）
17．（7分）如图，OC平分∠AOB，∠AOD：∠BOD＝3：5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数．
【分析】根据角平分线的意义和∠AOD：∠BOD＝3：5，设未知数表示∠COD进而求出答案．
【解答】解：设∠AOD＝3x，则∠BOD＝5x．
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x+5x＝8x．
∵OC平分∠AOB，
1 1
∴∠AOC= ∠AOB= ×8x=4x．
2 2
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝4x﹣3x＝x．
∵∠COD＝15°，
∴x＝15°．
∴∠AOB＝8x＝8×15°＝120°．
18．（7分）如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作图法作∠EBC，使∠EBC＝∠A，BE与
AD
平行吗？请说明理由．
【解答】解：BE与AD不一定平行．理由如下：
如图，可以作出两个符合要求的角．
故BE与AD不一定平行．19．（8分）（2022·湖北武汉）如图，在四边形 中， ， ．
（1）求 的度数；
（2） 平分 交 于点 ， ．求证： ．
【答案】(1) (2)详见解析
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；
（2）根据 平分 ，可得 ．再由 ，可得 ．即可求证．
【详解】(1)解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(2)证明：∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
20．（12分）在直线l上有A、B、C三个点，已知BC＝3AB，点D是AC中点，且BD＝6cm，求线段BC
的长．
【分析】分为两种情况，画出图形，求出线段AB的长，即可得出答案．
【详解】解：（1）当C在AB的延长线上时，
∵BC＝3AB，
∵AC＝4AB，
∵点D是AC中点，
∴AD＝CD＝2AB，∵BD＝6cm，
∴2AB﹣AB＝6cm，
∴AB＝6cm，
∴AC＝4AB＝24cm，
∴BC＝AC﹣AB＝24cm﹣6cm＝18cm；
（2）当C在BA的延长线上时，
∵BC＝3AB，
∵AC＝2AB，
∵点D是AC中点，
∴AD＝CD＝AB，
∵BD＝6cm，
∴AB＝3cm，
∴BC＝3AB＝9cm．
21．（12分）如图，∠B，∠D的两边分别平行．
（1）在图①中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？
（2）在图②中，∠B与∠D的数量关系是什么？为什么？
（3）由(1)(2)可得结论：_________________________________________．
（4）应用：若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数．
【解答】解：(1)∠B＝∠D.理由如下：
如图①，因为AB∥CD，
所以∠B＝∠1.
因为BE∥DF，所以∠1＝∠D.
所以∠B＝∠D.
(2)∠B＋∠D＝180°.理由如下：
如图②，因为AB∥CD，所以∠B＝∠2.因为BE∥DF，所以∠2＋∠D＝180°.
所以∠B＋∠D＝180°.
(3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
(4)情况①：设一个角是x°，则另一个角也是x°.
所以x＝2x－30，解得x＝30.
情况②：设一个角是x°，则另一个角是(180－x)°.
所以x＝2(180－x)－30，解得x＝110.
180－x＝70.
所以这两个角的度数是30°，30°或70°，110°.
