文档内容
2025 年中考押题预测卷（南京卷 02）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的）
1．下列各数中，负数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】正负数的定义、有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值
【分析】此题考查了有理数的分类，绝对值求值，相反数等知识点，解题的关键是掌握负数的概念．
先将各数化简，再由负数的定义，即可得出答案．
【详解】解：A. ，该选项结果为正数，不符合题意；
B. ，该选项结果为负数，符合题意；
C.0既不是正数，也不是负数，不符合题意；
D. ，该选项结果为正数，不符合题意．
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算
【分析】本题考查二次根式的减法，同底数幂乘法运算，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法
则是解题的关键．根据运算法则逐一计算进行判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、 ，正确，故此选项符合题意；
C、 ，原式错误，故此选项不符合题意；
D、 ，原式错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．估计 的运算结果应在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】D
【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算、不等式的性质
【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简求值，二次根式的混合运算，无理数的估算，不等式的性质．
解题的关键在于对知识的熟练掌握并明确 ．由题意知 ，
，然后根据不等式的性质进行求解判断即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的运算结果在7到8之间，
故选：D．
4．如图，四边形 ，已知 ，且点 在 外部，则 之间的距离可能
是（ ）
A．4 B． C．9 D．11
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判
定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键．
如图所示，连接 ，由三角形三边数量关系得到 ， ，证明 ，
， ， ， ，在 中，
，点 在 外部，即 ，结合图形即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，交于点O
在 中， ，
∴ ，即 ，
在 中， ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
在 中， ，
点 在 外部，即 ，
∴ ，
故选：C ．
5．如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为 ， ，
．给出以下结论：
①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形；②Ⅲ中最大的内角是 ；③ ．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、正多边形和
圆的综合
【分析】由六边形 是正六边形，得 ， ，
从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；由 ， ，故Ⅲ中最大的
内角是 ，故②说法错误；证明 ，得
，故③说法正确．
【详解】解：如图所示：
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ ，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；
∴ ， ，
∴Ⅲ中最大的内角是 ，故②说法错误；
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， 和 都是等边三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
同理可证， ，
∴ ，故③说法正确；
故选 ．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、
弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．
6．定义：在平面直角坐标系 中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于 ，到另一条坐标轴的距
离不大于 的点叫做该函数图象的“ 方内点”．
对于下列四个结论：
①点 是一次函数 图象的“2方内点”；
②函数 图象上不存在“2方内点”；
③若直线 的“ 方内点”有两个，则 ；
④当函数 的“ 方内点”恰有3个时，符合条件的 的值也有3个．其中正确的
序号为（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、求反比例函数
值
【分析】本题为新定义题型，考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐
标特征．根据“a方内点”的定义，逐一判断即可．
【详解】解：①点 到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2，
故 是一次函数 图像的“2方内点”；故①正确；
②当 时， ，则点 到y轴的距离为2，到x轴的距离为 ，不大于2，即点 是函数图像上的“2方内点”；故②错误；
③若直线 的“ 方内点”有两个，
由题意知，函数图象的“ 方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x
轴、y轴平行的正方形边上，
如图，当 时， ，即直线过定点 ，
当 时，直线 与 有无数个“ 方内点”，
对于直线 ，把点 代入 中， ，
解得： ，
当 时，直线 与正方形 的边有两个交点，表明有两个“ 方内点”，故③正确；
④抛物线 的“ 方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为 且相邻两
边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图；
当抛物线顶点在直线 上时，抛物线恰有三个“ 方内点”，
此时： ，解得： （舍去）；
当抛物线经过点 时，抛物线恰有三个“ 方内点”，此时 ，整理得： ，
解得： （舍去）；
当抛物线经过点 时，抛物线恰有三个“ 方内点”，
此时 ，整理得： ，
解得： （舍去）；
综上，a的值恰有三个，分别为 ，
故④正确；
故正确的有①③④，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】解： ．故答案为： ．
8．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为零是解题的关键．
根据分式有意义，分母不为零得到 ，即可求解．
【详解】解：若 在实数范围内有意义，
则 ，
解得： ，
故答案为： ．
9．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值．根据一元二次方程
的根与系数的关系可得 ， ，再将 变形为 ，最后整体代入
计算即可求解．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∵
．
故答案为： ．10．定义：若点 把线段 分成两部分，且满足较长线段是较短线段的 倍，则称点 为线段 的青
铜分割点．已知点 是线段 的青铜分割点，且 ，则 ．
【答案】 或
【知识点】二次根式的混合运算、两点间的距离
【分析】本题考查了线段上两点间的距离，二次根式的计算，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．
由已知条件不能确定点 在线段 上的位置，故要分情况讨论：当 时，及当 时，然后进
行求解即可．
【详解】解：分两种情况考虑，
①当 时，
根据题意设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
即 ；
②当 时，
同理可得 ，
故答案为： 或 ．
11．代数式 和代数式 的值相等，则 ．
【答案】1
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，列出方程，解方程，分式方程检验，是
解决本题的关键．通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可．
【详解】解：由题可得： ，
去分母得， ，
解得， ，检验：当 时， ，
∴ 是所列方程的根，
故答案为：1．
12．某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度 （单位：勒克
斯）与房间面积 （单位：平方米）满足关系式 ．若要求房间的光照强度 不低于200勒克斯，则
房间的最大面积为 平方米．
【答案】20
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、实际问题与反比例函数
【分析】本题主要考查了求反比例函数值，解一元一次不等式，
将 代入得 ，求出解集可得答案.
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
解得 .
所以房间的最大面积是20平方米.
13．如图，四边形 是平行四边形， 为对角线， 于点 ， ， ，则
的值为 ．
【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性
质及 ，得出 ，再判定 ，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
14．如图，在 中， ， ， ．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为
半径画弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在
内交于点 ；③作射线 交 于点D；④以点A为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线于
点H，连接 ，则 的周长为 ．
【答案】12
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了尺规作图．熟练掌握勾股定理，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，三角形周
长，是解题的关键．
根据勾股定理得 ，根据角平分线定义得 ，可得 ，得，得 ， ，即得 的周长．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
由作图知， ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
故答案为：12．
15．如图是由全等的含 角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点
上，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求角度、求角的正切值
【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，连接 ，则 ，设小菱形的边长是a，由
是等边三角形，得到 ，由 ， ，得到 于是
．
【详解】解：连接 ，则 ，设小菱形的边长是a，
∵菱形的锐角是 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
过点D作
∵
∴
∴
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16．我们定义：在平面直角坐标系中，如果一点的横、纵坐标都为整数，则称这个点为“整点”． 在平
面直角坐标系中，点 ， ，点 在线段 上运动，过 点作与 轴平行的直线 ， 与抛物线
始终有交点． 设直线 与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为 ，
若 满足 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先由抛物线 得出抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
画出图形，然后根据 与抛物线 始终有交点，直线 与抛物线所围成的封闭图形（包括边
界）中的“整点”个数为 ，满足 ，可得不等式组 ，然后解不等式组即可得．
【详解】解：由抛物线 ，
抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
画出图形如下：
∵ 与抛物线 始终有交点，
∴ ，
∵如图，直线 与抛物线所围成的封闭图形（包括边界）中的“整点”个数为 ，满足 ，∴ ，
联立： ，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式组 ．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∴不等式组的解集是 ．
18．（7分）先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计
算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
19．（8分）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1
个单位得到．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)对于x的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值且小于 的值，直接
写出m和n的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，
【知识点】一次函数图象平移问题、比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析
函数值大小是解题的关键．
（1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可；
（2）从函数位置关系入手，根据 的图象和 的图象平行即可确定m的值，再结合与y轴交点即可确定n的范围．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位得到，
∴ ．
（2）解：∵对于x的每一个值，函数 的值都大于一次函数 的值且小于 的
值，
∴函数 的图象在 的图象和 的图象之间，
∵ 的图象和 的图象平行，且与y轴交点分别为 和0，
∴ ， ．
20．（8分）如图， 内接于 ， 是 的直径，D是劣弧 的中点，连接 ，过点A
作 的切线交 的延长线于点P．
(1)求证： ；
(2)连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】（1）连接 ，则 ，得到 ，然后根据圆周角定理 ，
而 ，即可证明；
（2）先证明 ，证明 是等边三角形， 则 ，再证明 是等边三角形即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，则 ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 是劣弧 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，
∴四边形 是菱形．
21．（8分）七巧板、九连环、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环和1个鲁
班锁分别装在4个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．
(1)从这4个盒子中随机选取1个盒子，选中鲁班锁的概率是_______；
(2)从这4个盒子中随机选取2个盒子，请用画树状图或列表的方法求选中的2个盒子里都是九连环的概率、
【答案】(1) ； (2) ．
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用简单的概率公式求解即可；
（2）画出表格，得出共有 种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为 ，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，选中鲁班锁的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：1个七巧板和1个鲁班锁分别用 、 表示，2个九连环分别用 ， 表示，列表如下：
共有 种等可能情况，其中选中的2个盒子里都是九连环的结果数为 ，
∴选中的2个盒子里都是九连环的概率为： ．
22．（8分）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富
多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校
2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机调查的学生有______人，图①中 的值是______；
(2)本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元；
(3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
【答案】(1)50，32
(2)10，15
(3)864人
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数
【分析】本题主要考查了抽样调查．熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，中位数，众数，样本容
量的定义和确定，用样本估计总体，是解题的关键．
（1）以5元组的4人占8%求出调查的总人数；（2）根据从小到大排列，第25个，第26个数落在15元
组，得中位数为15元，10元组16人，人数最多，得众数为10元；（3）2400乘20元和30元总人数占比，
即得．
【详解】（1）解：∵ （人）， ，
∴本次接受随机调查的学生有50人，图①中 的值是32．
故答案为：50，32．
（2）∵10元组16人，人数最多，
∴众数为10元，
∵4元的4人，10元的16人，15元的12人，且 ， ，
∴从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，
∴中位数为15元．
故答案为：10，15．（3） （人），
故该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人．
23．（8分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到
一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 ，仰角为 ；淇淇向前走了 后到达点D，透过点P恰
好看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离 ，点P
到 的距离 ， 的延长线交 于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求 的大小及 的值；
(2)求 的长及 的值．
【答案】(1) ，
(2) ，
【知识点】用勾股定理解三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解 ，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解 ，如图，过 作 于 ，结合 ，
设 ，则 ，再建立方程求解 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ， ，， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
如图，过 作 于 ，
∵ ，设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
24．（8分）如图1，矩形 中， ， ，动点E，F分别从点B，D同时出发，以每秒1
个单位长度的速度沿 向终点A，C运动，过点A作直线 的垂线，垂足为G．(1)当 时， 与 的数量关系为_______；
(2)如图2，若 平分 ，运动时间为t秒，求 的长及t的值；
(3)当运动时间 时，直接写出 的长．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】（1）连接 ，证明 可得结论；
（2）过E作 于P，则四边形 为矩形，可得 ， ，证明 为等腰
直角三角形．则 ， ；由 求解即可；
（3）如图2，先根据勾股定理求得 ， ，再证明 ，利用相似三角形的性质
求解即可．
【详解】（1）解： ．
证明：连接 ，
∵四边形 是矩形， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
过E作 于P，则 ．
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形．
∴ ．
∴ ；
由题意得： ．
∴ ，
即 ；
（3）解：如上图2，则 ， ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
25．（8分）如图抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ，其顶点为
D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点M，使得 的周长最小．若存在，求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)若点E在以点 为圆心，1为半径的 上，连接 ，以 为边在 的下
方作等边三角形 ，连接 ．求 的取值范围．
【答案】(1)抛物线的表达式为 ，顶点D的坐标为 ；
(2)点M的坐标为 ；
(3) 的取值范围为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作点B关于原点的对称点 ，连接 交 轴于点M，此时 的周长最小，利用待定系数法求
得直线 的解析式，据此求解即可；
（3）以 为边在 的下方作等边三角形 ，得到点 在以 为圆心，1为半径的 上，据此求解即可．
【详解】（1）解：由于抛物线 经过点 和点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ，
∴顶点D的坐标为 ；
（2）解：∵点 ，对称轴为直线 ，
∴点 ，
∵ ， ，
∴ 长为定值，
作点B关于原点的对称点 ，则 ，连接 交 轴于点M，
则 ，
∴ ，此时 的周长最小，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ， ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴点M的坐标为 ；
（3）解：以 为边在 的下方作等边三角形 ，作 轴于点 ，连接 ， ，
∵等边三角形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心，1为半径的 上，
，
当点 在线段 上时， 有最小值为 ；当点 在射线 上时， 有最大值为 ；
∴ 的取值范围为 ．
26．（8分）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 的三个顶点都是
格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图1中，先画将线段 绕点A逆时针旋转 后的线段 ，再在 上画点E，使 ；
(2)在图2中，先画将线段 绕点C顺时针旋转 后的线段 ，再画 交 于点H．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、画旋转图形、解直角三角形的相
关计算
【分析】（1）如图所示，取格点D，连接 ，取 与格线的交点P，连接 交 于E，则线段
和点E即为所求；
（2）如图所示，取格点T、L、S，连接 ，连接 并延长交 于F，连接 ，取格点M、N连接
交 于H，连接 ，则线段 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，取格点D，连接 ，取 与格线的交点P，连接 交 于E，则线段
和点E即为所求；
可证明 ，则线段 即为所求；
可证明 ，则 ，则点E即为所求；（2）解：如图所示，取格点T、L、S，连接 ，连接 并延长交 于F，连接 ，取格点M、N连接
交 于H，连接 ，则线段 即为所求；
可证明 ，则 ，
可证明 ，则 ，则线段 即为所求；
可证明 且直线 到直线 的距离等于直线 到直线 的矩形，
则 平分 ，又有 平分 ，则四边形 是平行四边形，则 ．
27．（10分）综合与实践
折叠在探究问题中，是极为重要的数学问题，在如下问题探究中，回答相关问题：
【问题情境】
如图1，将矩形纸片 先沿对角线 折叠，展开后再折叠，使点 落在射线 上，点 的对应点记
为 ，折痕与边 ， 分别交于点 ， ．
(1)【活动猜想】
如图2，当点 与点 重合时，那么四边形 是哪种特殊的四边形？请说明理由．
(2)【问题解决】在矩形纸片 中，若边 ， ．
①请判断 与对角线 的位置关系并仅就图3给出证明；
②当 时，请求出此时 的长度．
(3)【拓展提升】
如图4，在正方形 中， ，对角线 ， 相交于点 ．点 是对角线 上一点，连接
，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 交 于点 ，将 沿 翻折，
点 的对应点 恰好落在 上，得到 ．若点 为 的中点，则 的面积为________．
【答案】(1)菱形，理由见解析
(2)① ，证明见解析；② 或
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关
计算
【分析】（1）由折叠推出直线 垂直平分 ，得到 ， ，然后结合矩形的性质，证明
出 ，即可证明出四边形 是菱形；
（2）①勾股定理求出 ，证明出 是等边三角形，进而求解即可；
②如图3，点 在线段 上，设 交 于点 ，首先求出 ，然后解直角三
角形求解即可；如图4，点 在线段 的延长线上，延长 、 交于点 ，求出 ，勾股定理
求出 ，进而求解即可；
（3）过点 作 于 ，作 于 ，过点 作 于 ，如图所示，证明出
， 是等腰直角三角形，求出 ， ，然后证明出
，得到 ，然后利用勾股定理求出 ， ，然后证明出
， ，然后列比例式求解即可．
【详解】（1）如图2，由折叠得点 与点 关于直线 对称，
∴直线 垂直平分 ，
∵点 与点 重合，
∴直线 垂直平分 ，∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）① ，
证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
② 的长度为 或 ，
理由：如图3，点 在线段 上，设 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
如图4，点 在线段 的延长线上，延长 、 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长度为 或 ．
（3）解：过点 作 于 ，作 于 ，过点 作 于 ，如图所示：∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，即 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴在等腰 中， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，则 ，在等腰 中， ，
在 中， ，
∴ ，即 为 中点，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ； ，即 ；
∴ 为 中点，
∴ ．
