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第43讲 数列的通项公式
知识梳理
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据
规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
若已知数列的前 项和 与a 的关系，求数列a
n n
的通项a 可用公式
n
S ,(n=1)
a n = S 1 -S ,(n≥2) 构造两式作差求解．
n n-1
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为
一”，即a 和a 合为一个表达，(要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否
1 n
统一)．
类型Ⅲ 累加法：
形如 a = a + f(n) 型的递推数列 (其中 f(n) 是关于 n 的函数) 可构造：
n+1 n
a n -a n-1 =f(n-1)
a -a =f(n-2)
n-1 n-2
...
a -a =f(1)
2 1
将上述m 个式子两边分别相加，可得：a =f(n-1)+f(n-2)+...f(2)+f(1)+a ,(n
2 n 1
≥2)
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
a
形如a =a ⋅f(n) n+1 =f(n)
n+1 n a
n
型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造：
a
n =f(n-1)
a
n-1
a
n-1 =f(n-2)
a
n-2
...
a
2 =f(1)
a
1
将上述m 个式子两边分别相乘，可得：a =f(n-1)⋅f(n-2)⋅...⋅f(2)f(1)a,(n≥2)
2 n 1
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
(一)形如a =pa +q(其中p,q均为常数且p≠0)型的递推式：
n+1 n
(1)若p=1时，数列{a }为等差数列；
n
(2)若q=0时，数列{a }为等比数列；
n
(3)若p≠1且q≠0时，数列{a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比
n
第 页 共 页
349 1043数列来求．方法有如下两种：
法一：设a +λ=p(a +λ)，展开移项整理得a =pa +(p-1)λ，与题设a =pa
n+1 n n+1 n n+1 n
q q q
+q比较系数(待定系数法)得λ= ,(p≠0)⇒a + =pa +
p-1 n+1 p-1 n p-1
q
⇒a +
n p-1
q
=pa +
n-1 p-1
q
，即a +
n p-1
q
构成以a + 为首项，以p为公比的等比数列．再利
1 p-1
q
用等比数列的通项公式求出a +
n p-1
的通项整理可得a .
n
a -a
法二：由a =pa +q得a =pa +q(n≥2)两式相减并整理得 n+1 n =p,即
n+1 n n n-1 a -a
n n-1
a -a
n+1 n
构成以a -a 为首项，以p为公比的等比数列．求出a -a
2 1 n+1 n
的通项再转化为
类型Ⅲ(累加法)便可求出a .
n
(二)形如a =pa +f(n)(p≠1)型的递推式：
n+1 n
(1)当f(n)为一次函数类型(即等差数列)时：
法一：设a n +An+B=pa n-1 +A(n-1)+B ，通过待定系数法确定A、 B的值，转化
n！
成以a +A+B为首项，以Am=
1 n n-m
为公比的等比数列a +An+B
! n
，再利用等比数
列的通项公式求出a +An+B
n
的通项整理可得a .
n
法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：a =pa +f(n)，a =pa +f(n-1)两式
n+1 n n n-1
相减得：a -a =p(a -a )+d，令b =a -a 得：b =pb +d转化为类型Ⅴ㈠求出
n+1 n n n-1 n n+1 n n n-1
b ，再用类型Ⅲ(累加法)便可求出a .
n n
(2)当f(n)为指数函数类型(即等比数列)时：
法一：设a n +λf(n)=pa n-1 +λf(n-1) ，通过待定系数法确定λ的值，转化成以a + 1
n！
λf(1)为首项，以Am=
n n-m
为公比的等比数列a +λf(n)
! n
，再利用等比数列的通项公式
求出a +λf(n)
n
的通项整理可得a .
n
法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：a =pa +f(n)--①，a =pa +f(n-
n+1 n n n-1
1)，两边同时乘以q得a q=pqa +qf(n-1)--②，由①②两式相减得a -a q=p(a -
n n-1 n+1 n n
a -qa
qa )，即 n+1 n =p，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a .
n-1 a -qa n
n n-1
法三：递推公式为a =pa +qn(其中p，q均为常数)或a =pa +rqn(其中p，q， r
n+1 n n+1 n
a p a 1
均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以qn+1，得： n+1 = ⋅ n + ，引入辅助数列
qn+1 q qn q
b
n
a p 1
(其中b = n)，得：b = b + 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
n qn n+1 q n q
(3)当f(n)为任意数列时，可用通法：
a a f(n) a
在a =pa +f(n)两边同时除以pn+1可得到 n+1 = n + ，令 n =b ，则b =
n+1 n pn+1 pn pn+1 pn n n+1
f(n)
b + ，在转化为类型Ⅲ(累加法)，求出b 之后得a =pnb ．
n pn+1 n n n
类型Ⅵ 对数变换法：
形如a =paq(p>0,a >0)型的递推式：
n+1 n
在原递推式a =paq两边取对数得lga =qlga +lgp，令b =lga 得：b =qb +
n+1 n+1 n n n n+1 n
lgp，化归为a =pa +q型，求出b 之后得a =10bn.(注意：底数不一定要取10，可根据题意
n+1 n n n
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350 1043选择)．
类型Ⅶ 倒数变换法：
1
形如a -a =pa a (p为常数且p≠0)的递推式：两边同除于a a ，转化为 =
n-1 n n-1 n n-1 n a
n
1 1
+p形式，化归为a =pa +q型求出 的表达式，再求a ；
a n+1 n a n
n-1 n
ma 1 m 1 m
还有形如a = n 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 = + 形
n+1 pa +q a q a p
n n+1 n
1
式，化归为a =pa +q型求出 的表达式，再求a ．
n+1 n a n
n
类型Ⅷ 形如a =pa +qa 型的递推式：
n+2 n+1 n
用待定系数法，化为特殊数列{a -a }的形式求解．方法为：设a -ka =h(a
n n-1 n+2 n+1 n+1
-ka )，比较系数得h+k=p,-hk=q，可解得h、 k，于是{a -ka }是公比为h的等比
n n+1 n
数列，这样就化归为a =pa +q型．
n+1 n
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法
求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式a .
n
必考题型全归纳
1 题型一：观察法
1977 (2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商
功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有
3个球，第三层有6个球，······，则第十层有( )个球．
A.12 B.20 C.55 D.110
1978 (2024·全国·高三专题练习)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈
亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此
法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余
定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数
中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列a
n
，则a =
6
( )
A.17 B.37 C.107 D.128
1979 (2024·全国·高三专题练习)线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具
有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，
若图1中正六边形的边长为1，图n中正六边形的个数记为a ，所有正六边形的周长之和、
n
面积之和分别记为C ,S ，其中图n中每个正六边形的边长是图n-1中每个正六边形边
n n
1
长的 ，则下列说法正确的是 ( )
3
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351 1043100
A.a =294 B.C =
4 3 3
3 3 7
C.存在正数m，使得C ≤m恒成立 D.S = ×
n n 2 9
n-1
1980 (2024·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传
“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项
都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规
律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为a n ，则a 2 -a 1 +a 4 -a 3
+⋯+a 50 -a 49 = ( )
A.650 B.1050 C.2550 D.5050
1981 (2024·吉林·统考三模)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主
要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，
曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．
其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为
( )
A.22 B.24 C.25 D.26
1982 (2024·全国·高三专题练习)若数列a
n
1 1 1 1
的前4项分别是 ，- ， ，- ，则该数列的
2 3 4 5
一个通项公式为 ( )
(-1)n-1 (-1)n (-1)n (-1)n+1
A.a = B.a = C.a = D.a =
n n n n+1 n n n n+1
1983 (2024·全国·高三专题练习)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三
1 1 1
角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1， ， ， ，⋯构成数列
3 6 10
a
n
，其前n项和为S ，则S = ( )
n 20
39 40 41 419
A. B. C. D.
20 21 21 210
1984 (2024·新疆喀什·高三统考期末)若数列a
n
2 3 4 5 6
的前6项为1,- , ,- , ,- ，则数
3 5 7 9 11
第 页 共 页
352 1043列a
n
的通项公式可以为a = ( )
n
n n n n
A. B. C.(-1)n⋅ D.(-1)n+1⋅
n+1 2n-1 2n-1 2n-1
2 题型二：叠加法
1985 (2024·全国·高三对口高考)数列1，3，7，15，⋯⋯的一个通项公式是 ( )
A.a =2n B.a =2n+1 C.a =2n-1 D.a =2n-1
n n n n
1986 (2024·新疆喀什·校考模拟预测)若a =a +n-1，a =1则a = ( )
n n-1 1 10
A.55 B.56 C.45 D.46
1987 (2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)在数列a
n
中，a =1，a =a +n+
1 n+1 n
1 1 1
1，则 + +⋯+ = ( )
a a a
1 2 2022
2021 4044 2021 2022
A. B. C. D.
1011 2023 2022 2023
1 1
1988 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足a = ，a =a + ，则{a }的通
n 1 2 n+1 n n2+n n
项为 ( )
1 3 1
A.- ,n≥1,n∈N∗ B. + ,n≥1,n∈N∗
n 2 n
3 1 3 1
C.- - ,n≥1,n∈N∗ D. - ,n≥1,n∈N∗
2 n 2 n
1989 (2024·全国·高三专题练习)已知S 是数列a
n n
的前n项和，且对任意的正整数n，都满
1 1 1
足： - =2n+2，若a = ，则S = ( )
a a 1 2 2023
n+1 n
2023 2022 2021 1010
A. B. C. D.
2024 2023 2024 2023
1990 (2024·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知数列 a
n
3
满足：a = ，a
1 8 n+2
-a ≤3n，a -a ≥91⋅3n，则a = ( )
n n+6 n 2023
32023 3 32023 3 32023 32023
A. + B. + C. D.
2 2 8 2 8 2
3 题型三：叠乘法
1991 (2024·河南·模拟预测)已知数列a
n
a +a
满足 n+1 n =2n，a =1，则a = ( )
a -a 1 2023
n+1 n
A.2024 B.2024 C.4045 D.4047
1992 (2024·全国·高三专题练习)数列a
n
a n
中，a =1， n+1 = (n为正整数)，则a 的值
1 a n+1 2022
n
为 ( )
1 1 2021 2022
A. B. C. D.
2022 2021 2022 2021
n+1
1993 (2024·天津滨海新·高三校考期中)已知a =2,a = a ，则a = ( )
1 n+1 n n 2022
A.506 B.1011 C.2022 D.4044
第 页 共 页
353 10431994 (2024·全国·高三专题练习)已知a 1 =1，a n =na n+1 -a n n∈N + ，则数列a n 的通项公
式是a = ( )
n
n+1 A.2n-1 B.
n
n+1 C.n2 D.n
1995 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
中，a =1，na =
1 n+1
2a 1 +a 2 +⋯+a n n∈N* ，则数列a n 的通项公式为 ( )
A.a =n B.a =2n-1
n n
n+1 1, n=1
C.a = D.a = n 2n n
n+1, n≥2
1996 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
1
满足(n+2)a =(n+1)a ，且a = ，则a
n+1 n 2 3 n
= ( )
n-1 1 n-1 1
A. B. C. D.
n+1 2n-1 2n-1 n+1
1997 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
1 2n-3
满足a = ，a = a (n≥2，n∈N*)，
1 3 n 2n+1 n-1
则数列a
n
的通项a = ( )
n
1 1
A. B.
4n2-1 2n2+1
1
C.
2n-1 2n+3
1
D.
n+1 n+3
1998 (2024·全国·高三专题练习)在数列a n
1
中，a 1 = 2 且n+2 a =na ，则它的前30项 n+1 n
和S = ( )
30
30 29 28 19
A. B. C. D.
31 30 29 29
4 题型四：待定系数法
1
1999 (2024·全国·高三专题练习)已知：a =1，n≥2时，a = a +2n-1，求a
1 n 2 n-1 n
的通项
公式．
1
2000 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }，a =2，且对于n>1时恒有a = a +1，
n 1 n 2 n-1
求数列{a }的通项公式．
n
1
2001 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足：a =- a -2,n∈N*,a =4,求a .
n n+1 3 n 1 n
2002 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
1 5
是首项为a =2,a = a +2n+ .
1 n+1 3 n 3
(1)求a
n
通项公式；
(2)求数列a
n
的前n项和S .
n
2a +1
2003 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }中，a =2，a = n ，求{a }的通项．
n 1 n+1 3 n
2004 (2024·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习)已知数列a
n
中，a =1，满
1
足a =2a +2n-1n∈N*
n+1 n
，设S 为数列a
n n
的前n项和．
(1)证明：数列a +2n+1
n
是等比数列；
第 页 共 页
354 1043(2)若不等式λ⋅2n+S +4>0对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
n
2005 (2024·四川乐山·统考三模)已知数列a
n
满足a =2a +2，a =1，则a = ．
n+1 n 1 n
2006 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
中，a =1，a =3a +4，则数列a
1 n+1 n n
的通项
公式为 .
2007 (2024·全国·高三对口高考)已知数列a
n
中，a =1，且a =2a +3(n≥2，且n∈
1 n n-1
N∗)，则数列a
n
的通项公式为 ．
5 题型五：同除以指数
2008 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足a =2a +3⋅2n，a =2，求数列{a }的
n n+1 n 1 n
通项公式．
2009 (2024·全国·高三专题练习)在数列{a }中，a =-1,a =2a +4⋅3n-1,求通项公式a ．
n 1 n+1 n n
2010 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足a =2a +3⋅5n,a =6，求数列{a }的
n n+1 n 1 n
通项公式．
2011 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足a =2a +4×3n-1，a =1，求数列a
n n+1 n 1 n
的通项公式．
2012 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
满足a =2a +4⋅3n-1,a =-1，则数列a
n+1 n 1 n
的通项公式为 .
2013 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足a =3a +2⋅3n+1,a =3，求数列
n n+1 n 1
{a }的通项公式．
n
6 题型六：取倒数法
2014 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n
a
满足：a 1 =2,a n = 2a n- + 1 1 n≥2
n-1
,求通项a . n
a
2015 (2024·全国·高三专题练习)在数列{a }中，a =1,a = n ,求a ．
n 1 n+1 a +3 n
n
2016 (2024·全国·高三专题练习)设b>0，数列a
n
nba
满足a =b，a = n-1 (n≥2)，求
1 n a +n-1
n-1
数列a
n
的通项公式．
a
2017 (2024·全国·高三专题练习)已知a = n ,a =1，求a
n+1 a +2 1 n
n
的通项公式．
2018 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
2a
满足a = n ,a =1，求数列a
n+1 a +2 1 n
n
的通项
公式．
2019 (2024·全国·高三对口高考)数列a
n
a
中，a = n ，a =2，则a = ．
n+1 1+3a 1 4
n
2020 (2024·江苏南通·统考模拟预测)已知数列a
n
1 a
中，a = ，a = n .
1 3 n+1 2-a
n
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)求证：数列a
n
的前n项和S <1.
n
第 页 共 页
355 10437 题型七：取对数法
2021 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
满足a =3，a =a2-2a +2.
1 n+1 n n
(1)证明数列 lna n -1 是等比数列，并求数列a n 的通项公式；
1 1
(2)若b = + ，数列b
n a a -2 n
n n
的前n项和S ，求证：S <2.
n n
2022 (2024·全国·高三专题练习)设正项数列a n 满足a 1 =1，a n =2a2 n-1n≥2 ，求数列a n
的通项公式．
2023 (2024·全国·高三专题练习)设数列a n 满足a 1 =aa>0 ，a =2 a ，证明：存在常 n+1 n
数M，使得对于任意的n∈N*，都有a ≤M．
n
8 题型八：已知通项公式a 与前n项的和S 关系求通项问题
n n
2024 (2024·全国·高三专题练习)数列a
n
的前n项和为S ，满足S -2S =1-n，且S =
n n+1 n 1
3，则a
n
的通项公式是 ．
2025 (2024·陕西渭南·统考二模)已知数列a
n
中，a =1,a >0，前n项和为S .若a = S
1 n n n n
+ S n∈N*,n≥2 n-1
1
，则数列 a a
n n+1
的前2024项和为 .
2026 (2024·河南南阳·高二统考期末)已知数列a
n
的前n项和为S ，且S =2a -1(n∈
n n n
N*)，
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)设b =a log a ，求数列b
n n 2 n n
的前n项和T.
n
2027 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
的前n项和S 满足S =2a +2n．
n n n
(1)写出数列的前3项a,a ,a ；
1 2 3
(2)求数列a
n
的通项公式．
2028 (2024·河北衡水·衡水市第二中学校考三模)已知数列a
n
1
的前n项和为S ， S =a
n 2 n n
-2n-1．
a
(1)证明： n
2n-1
是等差数列；
a
(2)求数列 n+1
a
n
的前n项积．
2029 (2024·海南海口·海南华侨中学校考一模)已知各项均为正数的数列a
n
满足2 S =
n
a +1，其中S 是数列a
n n n
的前n项和.
(1)求数列a
n
的通项公式；
1 1 1 1
(2)若对任意n∈N ，且当n≥2时，总有 + + +⋅⋅⋅+ <λ恒成立，
+ 4S S -1 S -1 S -1
1 2 3 n
求实数λ的取值范围.
2030 (2024·河北保定·高三校联考阶段练习)已知数列a n 满足a 1 +3a 2 +⋅⋅⋅+2n-1 a =n. n
(1)求a
n
的通项公式；
1
, n=2k-1
(2)已知c = 19a n ，k∈N∗，求数列c
n n
a ⋅a , n=2k
n n+2
的前20项和.
2031 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
的前n项和为S ，且S =n-5a -85，n∈
n n n
第 页 共 页
356 1043N*.证明：a -1
n
是等比数列.
2032 (2024·全国·高三专题练习)已知a
n
是各项都为正数的数列，S 为其前n项和，且a =
n 1
1 1
1，S = a +
n 2 n a
n
，
(1)求数列a
n
的通项a ；
n
1 1 1 1
(2)证明： + +⋯+ <21-
2S 3S (n+1)S S
1 2 n n+1
.
2033 (2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习)数列a
n
的前n项和为S ,a =2,a
n 1 2
=4且当n≥2时，3S ,2S ,S +2n成等差数列.
n-1 n n+1
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)在a 和a 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d 的等差数列，在数列
n n+1 n
d
n
中是否存在3项d ,d ,d (其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样
m k p
的3项；若不存在，请说明理由.
2034 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知S 是数列a
n n
的前n项和，
a =2，S =a +1.
1 n n+1
(1)求数列a
n
的通项公式；
n+3
(2)已知b = ，求数列b
n a n
n
的前n项和T.
n
2035 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
，S 为数列a
n n
的前n项和，且满足a =1，
1
3S n =n+2 a ． n
(1)求a
n
的通项公式；
1 1 1 1 1
(2)证明： + + +⋯+ < ．
a a a a 2
2 4 8 2n
2036 (2024·河北沧州·校考模拟预测)已知正项数列a
n
的前n项和为S ，满足a =2 S -
n n n
1.
(1)求数列a
n
的通项公式；
2nπ
(2)若b =a cos ，求数列b
n n 3 n
的前3n+1项和T .
3n+1
2037 (2024·全国·高三专题练习)已知各项为正数的数列a
n
的前n项和为S ，满足S +
n n+1
1
S = a2 ,a =2．
n 2 n+1 1
(1)求数列a
n
的通项公式；
a
(2)设b = n，求数列b
n 3n n
的前n项的和T．
n
2038 (2024·全国·高三专题练习)记S 为数列a
n n
2S
的前n项和．已知 n +n=2a +1．证
n n
明：a
n
是等差数列；
9 题型九：周期数列
2039 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知数列a
n
满足a =3，a =
1 n+1
1
1- ，记数列a
a n
n
的前n项和为S ，则 ( )
n
3 1
A.a = B.S -S =-
2 2 3n+1 3n 2
C.a a a =-1 D.S =20
n n+1 n+2 19
第 页 共 页
357 10431 1
2040 (2024·广西防城港·高三统考阶段练习)已知数列{a }满足a = ，若a = ，则
n n+1 1-a 1 2
n
a = ( )
2021
1
A.-2 B.-1 C. D.2
2
2041 (2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)已知数列a
n
满足：a =1，a
1 2
=2，a =a -a ，n∈N∗，则a =( ).
n+2 n+1 n 2023
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2042 (2024·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)已知数列a
n
满足a =-3，a =
1 n+1
a -1
n ，则a = ( )
a +1 2022
n
1 1
A. B.2 C.- D.-3
3 2
2043 (2024·江苏淮安·高三校考阶段练习)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与
十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、
巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起
来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为
“乙丑”，第三年为“丙寅”，⋯，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲
戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，⋯，以此类推，2022年是壬寅年，请
问：在100年后的2122年为 ( )
A.壬午年 B.辛丑年 C.己亥年 D.戊戌年
2044 (2024·云南昆明·昆明一中模拟预测)已知数列a
n
满足a =1,a =3,a =a +
1 2 n n-1
a n+1n∈N∗,n≥2 ，则a = ( ) 2022
A.-2 B.1 C.4043 D.4044
2045 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
1
满足a + =1，若a =2，则a = ( )
n a 50 1
n+1
1 3
A.-1 B. C. D.2
2 2
10 题型十：前n项积型
2046 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
的前n项和为S ,且满足a >0,S =
n n n
a n +2 a n,数列b
4 n
的前n项积T =2n2.
n
(1)求数列a
n
和b
n
的通项公式;
(2)求数列a b
n n
的前n项和.
2047 (2024·全国·高三专题练习)设T 为数列a
n n
a a
的前n项积．已知 n+1 - n =2．
T T
n+1 n
(1)求a
n
的通项公式；
T
(2)求数列 n
2n+3
的前n项和．
2048 (2024·全国·高三专题练习)设S 为数列a
n n
的前n项和，T 为数列S
n n
的前n项积，
1 S -1
已知 = n ．
T S
n n
第 页 共 页
358 1043(1)求S ，S ；
1 2
1
(2)求证：数列
S -1
n
为等差数列；
(3)求数列a
n
的通项公式．
2049 (2024·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末)T 为数列a
n n
2
的前n项积，且 +
a
n
1
=1．
T
n
(1)证明：数列T +1
n
是等比数列；
(2)求a
n
的通项公式．
2050 (2024·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考阶段练习)已知数列a
n
的前n项之积为b ，
n
a a a n2+n
且 1 + 2 +⋅⋅⋅+ n = n∈N*
b b b 2
1 2 n
．
a
(1)求数列 n b
n
和a n 的通项公式；
(2)求fn =b +b +b +⋅⋅⋅+b +b 的最大值． n n+1 n+2 2n-1 2n
2051 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
的前n项积T =2n2-12n.
n
(1)求数列a
n
的通项公式；
(2)记b =log a ，数列b
n 2 n n
的前n项为S ，求S 的最小值.
n n
2052 (2024·全国·高三专题练习)已知T 为数列a
n n
1
的前n项的积，且a = ，S 为数列
1 2 n
T
n
的前n项的和，若T +2S S =0(n∈N*，n≥2).
n n n-1
1
(1)求证：数列
S
n
是等差数列；
(2)求a
n
的通项公式.
2053 (2024·全国·高三专题练习)记S 为数列a
n n
的前n项和，b 为数列S
n n
的前n项积，
2 1
已知 + =2．
S b
n n
(1)求数列b
n
的通项公式；
(2)求a
n
的通项公式．
11 题型十一：“和”型求通项
a a
2054 (2024•河南月考)若数列{a }满足 n+2 + n+1 =k(k为常数)，则称数列{a }为等比和
n a a n
n+1 n
数列，k称为公比和，已知数列{a }是以3为公比和的等比和数列，其中a =1，a =2，则
n 1 2
a = ．
2108
2
2055 (2024•南明区校级月考)若数列{a }满足a +a = ，则S = ．
n n n+1 n+2+ n 2n
2056 (2024·青海西宁·二模(理))已知S 为数列a
n n
的前n项和，a =1，a +2S =2n+1，
1 n+1 n
则S = ( )
2022
A.2020 B.2021 C.2022 D.2024
2057 (2024·全国·高三专题练习)数列a
n
满足a ∈Z，a +a =2n+3，且其前n项和为
1 n+1 n
S .若S =a ，则正整数m= ( )
n 13 m
A.99 B.103 C.107 D.198
第 页 共 页
359 10432058 (2024·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习(理))已知数列a
n
的前n项和为S ，若S +
n n+1
S =2n2 n∈N*
n
，且a ≠0，a =28，则a 的值为
1 10 1
A.-8 B.6 C.-5 D.4
2059 (2024·全国·高三专题练习)数列a
n
满足：a =0,a +a =2n，求通项a .
1 n+1 n n
2060 (2024·全国·高三专题练习)数列a
n
满足：a =0,a +a =2，求通项a .
1 n+1 n n
12 题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
2061 数列{a }满足a +(-1)n+1a =3n-1，前16项和为540，则a = ．
n n+2 n 2
2062 (2024•夏津县校级开学)数列{a }满足a +(-1)na =3n-1，前16项和为508，则a
n n+2 n 1
= ．
1 2063 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足：a =3,a ⋅a =
n 1 n n+1 2
n n∈N* ，求此数
列的通项公式.
2064 (2024·山东·校联考模拟预测)已知数列a n 满足a 1 =-2,a n+1 = a 2a n + + 2, 2 n ,n 为 为 奇 偶 数 数 ．
n
(1)求a
2n
的通项公式；
(2)设数列a
n
的前n项和为S ，且S >250，求n的最小值．
n n
2065 (2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测)已知数列a
n
满足a =3，且a =
1 n+1
2a
n
,n是偶数,
a -1,n是奇数.
n
(1)设b =a +a ，求数列b
n 2n 2n-1 n
的通项公式；
(2)设数列a
n
的前n项和为S ，求使得不等式S >2023成立的n的最小值．
n n
2066 (2024·全国·高三专题练习)在数列a
n
中，a =2,a =8，且对任意的n∈N*，都有a
1 2 n+2
=4a -4a .
n+1 n
(1)证明：a -2a
n+1 n
是等比数列，并求出a
n
的通项公式；
a
n, n=2k-1
n
(2)若b n = ,k∈N∗
logn⋅
a
2
n
n+1, n=2k
2
，且数列b n 的前n项积为T，求T 和T . n 15 20
13 题型十三：因式分解型求通项
2067 (2024•安徽月考)已知正项数列{a }满足：a =a，a2 -4a2+a -2a =0，n∈N*．
n 1 n+1 n n+1 n
(Ⅰ)判断数列{a }是否是等比数列，并说明理由；
n
(Ⅱ)若a=2，设a =b -n．n∈N*，求数列{b }的前n项和S ．
n n n n
2068 (2024•怀化模拟)已知正项数列{a }满足a =1，2a2-a a -6a2 =0(n≥2,n∈N
n 1 n n-1 n n-1
*)设b =log a ．
n 2 n
(1)求b ，b b ；
1 2 3
(2)判断数列{b }是否为等差数列，并说明理由；
n
(3){b }的通项公式，并求其前n项和为S ．
n n
2069 (2024•仓山区校级月考)已知正项数列{a }满足a =2且(n+1)a2+a a -na2 =
n 1 n n n+1 n+1
0(n∈N*)
第 页 共 页
360 1043(Ⅰ)证明数列{a }为等差数列；
n
4
(Ⅱ)若记b = ，求数列{b }的前n项和S ．
n a a n n
n n+1
2070 已知正项数列{a }的前n项和S 满足：S2-(n2+n-1)S -n(n+1)=0(n∈N*)，数
n n n n
a
列{b }满足b = 1，且b +b =0(n∈N*)．
n 1 2 n+1 n
(1)求a 的值及数列{a }的通项公式；
1 n
(2n+1)b
(2)设c = n，数列{c }的前n项和为T，求T．
n S n n n
n
2071 (2024•四川模拟)已知数列{a }的各项均为正数，且满足a2-(n+1)a -2n2-n=0．
n n n
(1)求a ，a 及{a }的通项公式；
1 2 n
(2)求数列2an 的前n项和S ．
n
14 题型十四：其他几类特殊数列求通项
3a -4
2072 (2024·全国·高三专题练习)已知a =3，a = n ，则a
1 n+1 a -2 n
n
的通项公式为 ．
2073 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
2a -1
满足a =2，a = n ，则a = ．
1 n+1 a +4 n
n
2074 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
1
满足a =2，a =- ，则a = ．
1 n+1 a +2 n
n
2075 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
1 5
中，a =1,a =c- .设c= ,b =
1 n+1 a 2 n
n
1
，求数列b
a -2 n
n
的通项公式.
2076 (2024·全国·高三专题练习)在数列a
n
2a -4
中，a =2，且a = n ，求其通项公式a ．
1 n+1 a +6 n
n
3a -4
2077 (2024·全国·高三专题练习)已知数列的递推公式a = n ，且首项a =5，求数列
n+1 a -1 1
n
a
n
的通项公式．
2 1
2078 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }中，a =1,a =2,a = a + a ，求
n 1 2 n+2 3 n+1 3 n
{a }的通项公式．
n
2079 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
满足递推关系：a =5a -6a +2n，且a
n n-1 n-2 0
=1，a =-2，求数列a
1 n
的通项公式.
2080 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
满足a =3，a =6，a =2a +3a ，求a
1 2 n+2 n+1 n n
2081 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
满足a =1，a =5，a =5a -6a ．
1 2 n+2 n+1 n
(1)证明：a -2a
n+1 n
是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列b
n
，c
n
，使得a =b +c 成立．
n n n
a -8
2082 (2024·全国·高三专题练习)已知a = n ，a =1，求a 的通项公式．
n+1 a -5 1 n
n
a +2
2083 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足a =2，a = n-1 (n≥2)，求数列
n 1 n 2a +1
n-1
{a }的通项公式．
n
第 页 共 页
361 104315 题型十五：双数列问题
2084 (2024·河北秦皇岛·三模)已知数列a
n
和b
n
1 3
满足a =- ,b = ,4a =3a -b +
1 2 1 2 n+1 n n
4,4b =3b -a -4．
n+1 n n
(1)证明：a +b
n n
是等比数列，a -b
n n
是等差数列；
(2)求a
n
的通项公式以及a
n
的前n项和S ．
n
2085 (2024·全国·高三专题练习)两个数列a
n
、b
n
满足a =2，b =1，a =5a +3b +
1 1 n+1 n n
7，b =3a +5b (其中n∈N*)，则a
n+1 n n n
的通项公式为a = .
n
2086 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
和b
n
满足a =2，b =1，a +b =b ，a
1 1 n n n+1 n+1
b
+b =4a .则 2021 = .
n+1 n a
1008
2087 (2024·全国·高三专题练习)数列a n ,b n
a =-a -2b
满足 b n+1 =6a n +6b n,且a 1 =2,b 1 =4.
n+1 n n
(1)证明:a -2a
n+1 n
为等比数列;
(2)求a
n
,b
n
的通项.
2088 (2024·吉林长春·模拟预测)已知数列a
n
和b
n
满足a =2，b =0，2a +b =3n+
1 1 n n+1
1，a +2b =3n+1，则a -b = ，a +b = ．
n+1 n n n n n
16 题型十六：通过递推关系求通项
2089 (2024·全国·高三专题练习)某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y
1 1
条广告，第一次播放了1条以及余下的y-1条的 ，第2次播放了2条以及余下的 ，第
8 8
1
3次播放了3条以及余下的 ，以后每次按此规律插播广告，在第xx>1
8
次播放了余下
的x条．
(1)设第k次播放后余下a 条，这里a =y，a =0，求a 与a 的递推关系式．
k 0 x k k-1
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
2090 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液
500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一
次调和．记a 1 =10%，b 1 =20%，经n-1 次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为
a ，b ．
n n
(1)试用a ，b 表示a ，b ．
n-1 n-1 n n
(2)证明：数列a -b
n n
是等比数列，并求出a ，b 的通项．
n n
2091 (2024·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一
次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第
n(n∈N*)次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为a ，在丙手中的方法数为b .
n n
(1)求证：数列a +a
n+1 n
为等比数列，并求出a
n
的通项；
(2)求证：当n为偶数时，a >b .
n n
2092 (2024·全国·高三专题练习)如图，△OBC的在个顶点坐标分别为(0,0)，(1,0)，(0,2)，设
P 为线段BC的中点，P 为线段CO的中点，P 为线段OP 的中点，对于每一个正整数n，
1 2 3 1
P n+3 为线段P n P n+1 的中点，令P n 的坐标为x n ,y n
1
，a = y +y +y ． n 2 n n+1 n+2
第 页 共 页
362 1043(1)求a,a ,a 及a ；
1 2 3 n
y
(2)证明y =1- n,n∈N*；
n+4 4
(3)若记b =y -y ,n∈N*，证明b
n 4n+4 4n n
是等比数列．
2x
2093 (2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模)如图，已知曲线C:y= (x>0)及曲线
1 x+1
1
C :y= (x>0)．从C 上的点Pn∈N*
2 3x 1 n
作直线平行于x轴，交曲线C 于点Q ，再从
2 n
点Q 作直线平行于y轴，交曲线C 于点P ，点P 的横坐标构成数列a
n 1 n+1 n n
1
0
