文档内容
第 43 讲 数列的通项公式
知识梳理
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而
根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
n S
若已知数列的前 项和 n与 的关系，求数列 的通项 可用公式
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合
二为一”，即 和 合为一个表达，（要先分 和 两种情况分别进行运算，然后
验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将 上 述 个 式 子 两 边 分 别 相 加 ， 可 得 ：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式：
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等
比数列来求．方法有如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设
比较系数（待定系数法）得，即 构成以 为首项，以 为公比的等比
数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得
法二：由 得 两式相减并整理得 即
构成以 为首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化
为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如 型的递推式：
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成
以 为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的
通项公式求出 的通项整理可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式
相减得： ，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出
，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以为首项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通
项公式求出 的通项整理可得
法 二 ： 当 的 公 比 为 时 ， 由 递 推 式 得 ： — — ① ，
，两边同时乘以 得 ——②，由①②两式相减得
，即 ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，
q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入
辅助数列 （其中 ），得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则
，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 ．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如 型的递推式：
在 原 递 推 式 两 边 取 对 数 得 ， 令 得 ：
，化归为 型，求出 之后得 （注意：底数不一定要
取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为形式，化归为 型求出 的表达式，再求 ；
还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，
化归为 型求出 的表达式，再求 ．
类型Ⅷ 形如 型的递推式：
用 待 定 系 数 法 ， 化 为 特 殊 数 列 的 形 式 求 解 ． 方 法 为 ： 设
，比较系数得 ，可解得 ，于是 是
公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方
法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
必考题型全归纳
题型一：观察法
例1．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算
法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，
第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．
A．12 B．20 C．55 D．110
例2．（2024·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来
华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家
马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为
“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问
题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则 （ ）
A．17 B．37 C．107 D．128
例3．（2024·全国·高三专题练习）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换
下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，
若图1中正六边形的边长为1，图 中正六边形的个数记为 ，所有正六边形的周长之和､
面积之和分别记为 ，其中图 中每个正六边形的边长是图 中每个正六边形边长的
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．存在正数 ，使得 恒成立 D．
变式1．（2024·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》
中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列
中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，
其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为 ，则
（ ）
A．650 B．1050 C．2550 D．5050
变式2．（2024·吉林·统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”
的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍
生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与
第24项的差为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
变式3．（2024·全国·高三专题练习）若数列 的前4项分别是 ，则该数列
的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由
“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1， ， ， ，
构成数列 ，其前n项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·新疆喀什·高三统考期末）若数列 的前6项为 ，则
数列 的通项公式可以为 （ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有 或
者 部分．②考虑各项的变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、
正偶数列、自然数的平方 、 与 有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们
组成的数列．
题型二：叠加法
例4．（2024·全国·高三对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）若 ， 则 （ ）
A．55 B．56 C．45 D．46
例6．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在数列 中， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则
的通项为( )
A． B．
C． D．
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前n项和，且对任意的正整数
n，都满足： ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．变式8．（2024·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列 满足：
， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
数列有形如 的递推公式，且 的和可求，则变形为
，利用叠加法求和
题型三：叠乘法
例7．（2024·河南·模拟预测）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2024 B．2024 C．4045 D．4047
例8．（2024·全国·高三专题练习）数列 中， ， （ 为正整数），则
的值为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·天津滨海新·高三校考期中）已知 ， 则 （ ）
A．506 B．1011 C．2022 D．4044
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，则数列 的
通项公式是 （ ）
A． B． C． D．n变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，
，则数列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，
则 ( )
A． B． C． D．
变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ( ，
)，则数列 的通项 （ ）
A． B．
C． D．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）在数列 中， 且 ，则它的前
项和 （ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
数列有形如 的递推公式，且 的积可求，则将递推公式
变形为 ，利用叠乘法求出通项公式题型四：待定系数法
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知： ， 时， ，求 的
通项公式．
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 ， ，且对于 时恒有
，求数列 的通项公式．
例12．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足： 求
.
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 是首项为 .
(1)求 通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 中，a=2， ，求 的通
1
项．
变式16．（2024·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知数列 中，，满足 ，设 为数列 的前 项和．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若不等式 对任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
变式17．（2024·四川乐山·统考三模）已知数列 满足 ， ，则
．
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数列
的通项公式为 .
变式19．（2024·全国·高三对口高考）已知数列 中， ，且 （ ，
且 ），则数列 的通项公式为 ．
【解题方法总结】
形 如 （ 为 常 数 ， 且 ） 的 递 推 式 ， 可 构 造
，转化为等比数列求解．也可以与类比式 作差，由
，构造 为等比数列，然后利用叠加法求通项．
题型五：同除以指数
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列
的通项公式．例14．（2024·全国·高三专题练习）在数列{ }中， 求通项公式
．
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，求数列
的通项公式．
变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数
列 的通项公式．
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数
列 的通项公式为 .
变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，求数
列 的通项公式．
【解题方法总结】形如 ， ）的递推式，当 时，两边同除以
转化为关于 的等差数列；当 时，两边人可以同除以 得 ，转
化为 ．
题型六：取倒数法
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足： 求通项
.
例17．（2024·全国·高三专题练习）在数列 中， 求 ．
例18．（2024·全国·高三专题练习）设 ，数列 满足 ， ，
求数列 的通项公式．
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，求 的通项公式．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，求数列的通项公式．
变式25．（2024·全国·高三对口高考）数列 中， ， ，则
．
变式26．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 的前n项和 .
【解题方法总结】
对于 ，取倒数得 ．
当 时，数列 是等差数列；
当 时，令 ，则 ，可用待定系数法求解．
题型七：取对数法
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和 ，求证： .例20．（2024·全国·高三专题练习）设正项数列 满足 ， ，求数列
的通项公式．
例21．（2024·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， ，证明：存
在常数 ，使得对于任意的 ，都有 ．
【解题方法总结】
形如 的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型八：已知通项公式 与前 项的和 关系求通项问题
例22．（2024·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，满足 ，且
，则 的通项公式是 ．
例23．（2024·陕西渭南·统考二模）已知数列 中， ，前n项和为 .若
，则数列 的前2024项和为 .
例24．（2024·河南南阳·高二统考期末）已知数列 的前 项和为 ，且 （
），(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 满足 ．
(1)写出数列的前3项 ；
(2)求数列 的通项公式．
变式28．（2024·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，
．
(1)证明： 是等差数列；
(2)求数列 的前 项积．
变式29．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列 满足，其中 是数列 的前n项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意 ，且当 时，总有 恒成立，求实数
的取值范围.
变式30．（2024·河北保定·高三校联考阶段练习）已知数列 满足
.
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ， ，求数列 的前20项和.
变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
.证明： 是等比数列.
变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知 是各项都为正数的数列， 为其前n项和，且 ， ，
(1)求数列 的通项 ；
(2)证明： .
变式33．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列 的前 项和为
且当 时， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在3项 （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；
若不存在，请说明理由.
变式34．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是数列 的前
项和， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 .变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 ， 为数列 的前 项和，且满足
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
变式36．（2024·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项的和 ．变式38．（2024·全国·高三专题练习）记 为数列 的前 项和．已知 ．
证明： 是等差数列；
【解题方法总结】
对于给出关于 与 的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合
理选择．一个方向是转化 为 的形式，手段是使用类比作差法，使 = （ ，
），故得到数列 的相关结论，这种方法适用于数列的前 项的和的形式相对独立
的情形；另一个方向是将 转化为 （ ， ），先考虑 与 的关系式，
继而得到数列 的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解 的问题，这种情形
的解决方法称为转化法，适用于数列的前 项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解 与 的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化 的
形式为 的形式，适用于 的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化 的形式
为 的形式，适用于 的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过
程中对 的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注 的范围．
题型九：周期数列
例25．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列 满足 ，
，记数列 的前 项和为 ，则（ ）A． B．
C． D．
例26．（2024·广西防城港·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ，若 ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
例27．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知数列 满足：
， ， ， ，则 （ ）.
A． B． C．1 D．2
变式39．（2024·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
变式40．（2024·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有
十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干
和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，
比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到
“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重
新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（
）
A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年变式41．（2024·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知数列 满足
，则 （ ）
A． B．1 C．4043 D．4044
变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．2
【解题方法总结】
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型十：前n项积型
例28．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ,且满足
,数列 的前 项积 .
(1)求数列 和 的通项公式;
(2)求数列 的前n项和.
例29．（2024·全国·高三专题练习）设 为数列 的前n项积．已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和．例30．（2024·全国·高三专题练习）设 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项
积，已知 ．
(1)求 ， ；
(2)求证：数列 为等差数列；
(3)求数列 的通项公式．
变式43．（2024·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末） 为数列 的前n项积，且
．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求 的通项公式．
变式44．（2024·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考阶段练习）已知数列 的前n项之
积为 ，且 ．(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 的最大值．
变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项积 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项为 ，求 的最小值.
变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前n项的积，且 ， 为
数列 的前n项的和，若 （ ， ）.
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式.
变式47．（2024·全国·高三专题练习）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n
项积，已知 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）求 的通项公式．
【解题方法总结】
类比前 项和求通项过程：
（1） ，得
（2） 时，
题型十一：“和”型求通项
例31．（2024•河南月考）若数列 满足 为常数），则称数列 为等
比和数列， 称为公比和，已知数列 是以3为公比和的等比和数列，其中 ，
，则 ．
例32．（2024•南明区校级月考）若数列 满足 ，则 ．
例33．（2024·青海西宁·二模（理））已知 为数列 的前 项和， ，
，则 （ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
变式48．（2024·全国·高三专题练习）数列 满足 ， ，且其前 项
和为 .若 ，则正整数 （ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
变式49．（2024·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ，则 的值为
A．－8 B．6 C．－5 D．4
变式50．（2024·全国·高三专题练习）数列 满足： ，求通项 .
变式51．（2024·全国·高三专题练习）数列 满足： ，求通项 .
【解题方法总结】
满足 ，称为“和”数列，常见如下几种：
（1）“和”常数型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”换元型
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
例34．数列 满足 ，前16项和为540，则 ．
例35．（2024•夏津县校级开学）数列 满足 ，前16项和为508，
则 ．
例36．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，求此
数列的通项公式.
变式52．（2024·山东·校联考模拟预测）已知数列 满足 ．(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，求 的最小值．
变式53．（2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列 满足 ，且
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求使得不等式 成立的n的最小值．
变式54．（2024·全国·高三专题练习）在数列 中， ，且对任意的 ，
都有 .
(1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
(2)若 ，且数列 的前 项积为 ，求 和 .
【解题方法总结】（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列
题型十三：因式分解型求通项
例37．（2024•安徽月考）已知正项数列 满足： ， ，
．
（Ⅰ）判断数列 是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若 ，设 ． ，求数列 的前 项和 ．
例 38 ． （ 2024• 怀 化 模 拟 ） 已 知 正 项 数 列 满 足 ，
设 ．
（1）求 ， ；
（2）判断数列 是否为等差数列，并说明理由；
（3） 的通项公式，并求其前 项和为 ．
例 39 ． （ 2024• 仓 山 区 校 级 月 考 ） 已 知 正 项 数 列 满 足 且
（Ⅰ）证明数列 为等差数列；（Ⅱ）若记 ，求数列 的前 项和 ．
变式55．已知正项数列 的前 项和 满足： ，
数列 满足 ，且 ．
（1）求 的值及数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
变 式 56 ． （ 2024• 四 川 模 拟 ） 已 知 数 列 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 满 足
．
（1）求 ， 及 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/10 10:14:40；用户：18316341968；邮箱：18316341968；学号：32362679
【解题方法总结】
利用十字相乘进行因式分解题型十四：其他几类特殊数列求通项
例40．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的通项公式为
．
例41．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则
．
例42．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则
．
变式57．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 中， 设
，求数列 的通项公式.
变式58．（2024·全国·高三专题练习）在数列 中， ，且 ，求其通项
公式 ．
变式59．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，
求数列 的通项公式．
变式60．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，
求 的通项公式．变式61．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足递推关系： ，
且 ， ，求数列 的通项公式.
变式62．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，
求
变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列 ， ，使得 成立．
变式64．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 的通项公式．
变式65．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
【解题方法总结】
（1）二次型：形如
（2）三阶递推：形如 型，多在大题中，有引导型证明要求
（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”
（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）
题型十五：双数列问题
例43．（2024·河北秦皇岛·三模）已知数列 和 满足
．
(1)证明： 是等比数列， 是等差数列；
(2)求 的通项公式以及 的前 项和 ．
例44．（2024·全国·高三专题练习）两个数列 ､ 满足 ， ，
， （其中 ），则 的通项公式为 ___________.
例45．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 和 满足 ， ， ，
.则 ＝_______.
变式66．（2024·全国·高三专题练习）数列 , 满足 ,且 , .
(1)证明: 为等比数列;(2)求 , 的通项.
变式67．（2024·吉林长春·模拟预测）已知数列 和 满足 ， ，
， ，则 ______， ______．
【解题方法总结】
消元法
题型十六：通过递推关系求通项
例46．（2024·全国·高三专题练习）某电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播
放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的 条的 ，第2次播放了2条以及余下的 ，
第3次播放了3条以及余下的 ，以后每次按此规律插播广告，在第 次播放了余下
的x条．
(1)设第 次播放后余下 条，这里 ， ，求 与 的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y．
例47．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种
溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这
称为一次调和．记 ， ，经 次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度
分别为 ， ．
(1)试用 ， 表示 ， ．(2)证明：数列 是等比数列，并求出 ， 的通项．
例48．（2024·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙
包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一
个，设第 （ ）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为 ，在丙手中的方法数为 .
(1)求证：数列 为等比数列，并求出 的通项；
(2)求证：当n为偶数时， .
变式68．（2024·全国·高三专题练习）如图， 的在个顶点坐标分别为 ， ，
，设 为线段BC的中点， 为线段 的中点， 为线段 的中点，对于每一个正
整数 ， 为线段 的中点，令 的坐标为 ， ．
(1)求 及 ；
(2)证明 ；(3)若记 ，证明 是等比数列．
变式69．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，已知曲线 及
曲线 ．从 上的点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 ，再
从点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 ，点 的横坐标构成数列 ．
(1)试求 与 之间的关系，并证明： ；
(2)若 ，求 的通项公式．
变式70．（2024·江西·校联考二模）小刚在闲暇之时设计了如下一个“数列” 满足：
，当 为偶数时， ，当 为奇数时， 有 的几率为 ，有 的几率为
.(1)求 的分布列和数学期望.
(2)求 的前n项和 的数学期望.
变式71．（2024·安徽黄山·统考二模）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、
群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智
能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区
域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比 及 ，假设两
家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公
司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司
技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比
分别为 及 ，不考虑其它因素的影响．
(1)用 表示 ，并求实数 ，使 是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%
以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：
）
【解题方法总结】
通过相邻两项的关系递推
