2021年高考数学试卷（文）（全国乙卷）（新课标Ⅰ）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_57

年普通高等学校招生全国统一 2021 考试（全国乙卷） 数学（文） 一､选择题 1.已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则C (M N)=（ ) U U A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4} 答案A 2.设iz =4+3i，则z =（ ） A.-3-4i B.–3+4i C.3-4i D.3+4i 答案C 第1页 | 共15页3.已知命题 p:$xÎR,sinx<1；命题q:"xÎR,e|x| ³1，则下列命题中为真命题的是（ ） A. pÙq B.ØpÙq C. pÙØq D.Ø(pÚq) 答案： A 解析： 根据正弦函数的值域sinxÎ[-1,1]，sinx<1，故$xÎR， p为真命题，而函数y =e|x| 为偶函数，且x³0时，y =ex ³1，故"xÎR， y =e|x| ³1恒成立.则q也为真命题，所 以 pÙq为真，选A. x x 4.函数 f(x)=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是（ ） 3 3 A.3p和 2 B.3p和2 C.6p和 2 D.6p和2 答案： C 解析： x p f(x)= 2sin( + ) 3 4 2p f(x) = 2 ，T = =6p. max 1 3 故选C. 第2页 | 共15页x+ y³4,  5.若x,y满足约束条件x- y2,则z =3x+ y的最小值为（ ）  y3, A.18 B.10 C.6 D.4 答案： C 解析： 根据约束条件可得图像如下，z =3x+ y的最小值，即 y =-3x+z， y轴截距最小值.根 据图像可知 y =-3x+z过点B(1,3)时满足题意，即z =3+3=6. min p 5p 6.cos2 -cos2 =（ ） 12 12 1 A. 2 3 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 答案： D 第3页 | 共15页解析： p 5p p p p p p p 3 cos2 -cos2 =cos2 -cos2( - )=cos2 -sin2 =cos = ∴选D. 12 12 12 2 12 12 12 6 2 1 1 7.在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ） 2 3 3 A. 4 2 B. 3 1 C. 3 1 D. 6 答案： B 解析： 1 1 1 在区间(0, )随机取1个数，可知总长度d = ，取到的数小于 ，可知取到的长度范围 2 2 3 1 1 d¢ 3 2 d¢= ，根据几何概型公式 p= = = ，∴选B. 3 d 1 3 2 8.下列函数中最小值为4的是（ ） A. y = x2 +2x+4 4 B. y =|sinx|+ |sinx| C. y =2x +22-x 4 D. y =lnx+ lnx 答案： C 解析： 对于A， y = x2 +2x+4= x2 +2x+1+3=(x+1)2 +3³3.不符合， 4 4 对于B， y =|sinx|+ ，令t =|sinx|Î[0,1]，∴ y =t+ ， |sinx| t 第4页 | 共15页根据对勾函数 y =1+4=5不符合， min 4 对于C，y =2x +22-x =2x + ，令t =2x >0， 2x 4 4 ∴ y =t+ ³2 t× =2´2=4， t t 当且仅当t =2时取等，符合， 4 4 对于D， y =lnx+ ，令t =lnxÎR， y =t+ . lnx t 根据对勾函数yÎ(-,-4] [4,+)，不符合. U 1-x 9.设函数 f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ） 1+x A. f(x-1)-1 B. f(x-1)+1 C. f(x+1)-1 D. f(x+1)+1 答案： B 解析： 1-x 2 f(x)= =-1+ ， 1+x 1+x 2 f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x)= 为奇函数. x 所以选B. 10.在正方体ABCD-ABC D 中，P为BD 的中点，则直线PB与AD 所成的角为 1 1 1 1 1 1 1 p A. 2 p B. 3 p C. 4 p D. 6 答案： 第5页 | 共15页D 解析： 做出图形，AD //BC ，所以PBC 为异面直线所成角，设棱长为1. 1 1 1 2 2 6 BC = 2，BP = ，PC = ，BP = . 1 1 2 1 2 2 3 1 2+ - BC2 +BP2 -C P2 3 p 2 2 cosPBC = 1 1 = = ，即PBC = ，故选D. 1 2BP×BC 6 2 1 6 1 2´ ´ 2 2 x2 11.设B是椭圆C: + y2 =1的上顶点，点P在C上，则 PB 的最大值为 5 5 A. 2 B. 6 C. 5 D.2 答案： A 解析： x2 方法一：由C: + y2 =1，B(0,1) 5 x= 5cosq 则C的参数方程： . y =sinq |PB|= (sinq-1)2 +( 5cosq)2 = -4sin2q-2sinq+6 第6页 | 共15页1 25 5 = -4(sinq+ )2 + ³ . 4 4 2 5 ∴|PB| = ，故选A. max 2 x2 方法二：设P(x ,y )，则 0 + y2 =1(y Î[-1,1])①，B(0,1). 0 0 5 0 0 因此|PB|2= x2 +(y -1)2② 0 0 将①式代入②式化简得： 1 25 25 1 5 |PB|2=-4(y + )2 + ³ ，当且仅当y =- 时|PB|的最大值为 ，故选A. 0 4 4 4 0 4 2 12.设a¹0，若x=a为函数 f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则 A.ab C.aba2 答案： D 解析： f¢(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2 =a(x-a)(3x-2b-a) 当a >0时，原函数先增再减后增. 原函数在 f¢(x)=0的较小零点时取得极大值. a+2b 即a< ，即a ，a >b，a2 0 解得b=2 2 . 16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的 三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）. 第8页 | 共15页答案： ②⑤或③④ 解析： 由高度可知，侧视图只能为②或③. 侧视图为②，如图（1），平面PAC^平面ABC，PA = PC = 2 ， BA=BC= 5 ， AC=2，俯视图为⑤. 俯视图为③，如图（2），PA^平面ABC，PA=1， AC=AB= 5 ，BC=2，俯视 图为④. 17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 第9页 | 共15页旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为 s2和s2. 1 2 （1）求x，y，s2，s2； 1 2 （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 s2 +s2 y-x³2 1 2 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则 10 不认为有显著提高）. 答案： 见解析 解析： 9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7 x= =10； 10 10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5 y = =10.3. 10 1 s2 = (0.04+0.09+0.04+0.01+0.04+0.01+0.04+0.09) 1 10 1 = ´0.36=0.036 10 1 s2 = (0.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0.09+0.04+0.01+0.04) 2 10 1 = ´0.4=0.04. 10 （2）y-x=10.3-10=0.3 s2 +s2 0.036+0.04 2 1 2 =2 =2 0.0076. 10 10 ∵则0.3= 0.09 >2 0.076 = 0.0304 ，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值 较旧设备有显著提高； 没有显著提高. 第10页 | 共15页18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD^底面ABCD，M 为BC的中点，且 PB^ AM . （1）证明：平面PAM ^平面PBD﹔ （2）若PD= DC =1，求四棱锥P-ABCD的体积. 答案： 见解析 解析： na 19.设{a }是首项为1的等比数列，数列{b }满足b = n .已知a ，3a ，9a ，成等差 n n n 3 1 2 3 数列. （1）求{a }和{b }的通项公式； n n S （2）记S ，和T 分别为{a }和{b }的前n项和.证明：T < n . n n n n n 2 答案： 见解析 解析： 设{a }的公比为q，则a =qn-1， n n 1 因为a ，3a ，9a 成等差数列，所以1+9q2 =2´3q，解得q = ， 1 2 3 3 1 1- 1 3n 3 1 故a =( )n-1，S = = (1- ). n 3 n 1 2 3n 1- 3 n 1 2 3 n-1 n 又b = ，则T = + + + + + ， n 3n n 31 32 33 L 3n-1 3n 1 1 1 2 3 n-1 n 两边同乘 ，则 T = + + + + + ， 3 3 n 32 33 34 L 3n 3n+1 第11页 | 共15页2 1 1 1 1 1 n 两式相减，得 T = + + + + + - ， 3 n 3 32 33 34 L 3n 3n+1 1 1 (1- ) 2 3 3n n 1 1 n 即 T = - = (1- )- ， 3 n 1 3n+1 2 3n 3n+1 1- 3 3 1 n 3 2n+3 整理得T = (1- )- = - ， n 4 3n 2´3n 4 2´3n 3 2n+3 3 1 4n+3 2T -S =2( - )- (1- )=- <0， n n 4 2´3n 2 3n 2´3n S 故T < n . n 2 20.已知抛物线C：y2 =2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2. （1）求C的方程， r r （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF ，求直线OQ斜率的最大值 . 答案： 见解析 解析： （1）由焦点到准线的距离为 p，则 p =2. 抛物线c的方程：y2 =4x. y2 （2）设点P( 0 ,y )，Q(x ,y )，F(1,0). 4 0 Q Q r r ∵PQ =9QF.  y2 9+ 0  y2  4 y2 x - 0 =9-9x x = ∴(x - 0 ,y - y )=9(1-x ,-y ) Q 4 Q  Q 10 Q 4 Q 0 Q Q y - y =-9x  y  Q 0 Q y = 0  Q 10 y y 1 1 1 则k = Q = 0 =  = . OQ x y2 9 y 9 3 Q 9+ 0 + 0 2 4 y 4 4 0 第12页 | 共15页1 ∴直线OQ斜率的最大值为 . 3 21.已知函数 f(x)= x3-x2 +ax+1. （1）讨论 f(x)的单调性； （2）求曲线y = f(x)过坐标原点的切线与曲线y = f(x)的公共点的坐标. 答案： 见解析 解析： （1） f¢(x)=3x2 -2x+a 1 （i）当D=4-12a0，即a³ 时， f¢(x)³0恒成立，即 f(x)在 f(x)在xÎR上单 3 调递增. 1 1- 1-3a （ii）当D=4-12>0，即a< 时， f¢(x)=0解得，x = ， 3 1 3 1+ 1-3a x = . 2 3 1- 1-3a 1+ 1-3a 1- 1-3a 1+ 1+3a ∴ f(x)在(-, )，( ,+)单调递增，在( , )单 3 3 3 3 1 1 调递减，综上所述：当a³ 时， f(x)在R上单调递增；当a< 时， f(x)在 3 3 1- 1-3a 1+ 1+3a ( , )单调递减. 3 3 （2）设可原点切线的切点为(t,t3-t2 +at+1)，切线斜率k = f¢(t)=3t2 -2t+a.又 t3 -t2 +at+1 t3 -t2 +at+1 k = ，可得 =3t2 -2t+a.化简得(t-1)(2t2 +t+1)=0，即 t t t =1.∴切点为(1,a+1)，斜率k =a+1，切线方程为y =(a+1)x，将y =(a+1)x， 第13页 | 共15页y = x3-x2 +ax+1联立可得x3-x2 +ax+1=(a+1)x，化简得(x-1)2(x+1)=0，解得 x =1，x =-1.∴过原点的切线与y = f(x)公共点坐标为(1,a+1)，(-1,-a-1). 1 2 22.在直角坐标系xOy中， C 的圆心为C(2,1)，半径为1.  （1）写出 C 的一个参数方程;  （2）过点F(4,1)作 C 的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，  求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析： x=2+cosq （1）  C 的参数方程为 （q为参数） y =1+sinq （2） C 的方程为(x-2)2 +(y-1)2 =1  ①当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，此时圆心到直线距离为2>r，舍去； ②当直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x-4)，化简为kx- y-4k +1=0， |2k -1-4k +1| 此时圆心C(2,1)到直线的距离为d = =r =1， k2 +1 化简得2|k|= k2 +1， 3 两边平方有4k2 =k2 +1，所以k =± 3 代入直线方程并化简得x- 3y+ 3-4=0或x+ 3y- 3-4=0化为极坐标方程为 5p rcosq- 3rsinq=4- 3 Ûrsin(q+ )=4- 3 6 p 或rcosq+ 3rsinq=4+ 3 Ûrsin(q+ )=4+ 3. 6 23.已知函数 f(x)=|x-a|+|x+3|. （1）当a =1时，求不等式 f(x)³6的解集； 第14页 | 共15页（2）若 f(x)>-a，求a的取值范围. 答案： 见解析 解析： 当a =1时， f(x)³6Û|x-1|+|x+3|³6， 当x-3时，不等式Û1-x-x-3³6，解得x-4； 当-3< x<1时，不等式Û1-x+x+3³6，解得xÎÆ； 当x³1时，不等式Û x-1+x+3³6，解得x³2. 综上，原不等式的解集为(-,-4] [2,+). U （2）若 f(x)>-a，即 f(x) >-a， min 因为 f(x)=|x-a|+|x+3|³|(x-a)-(x+3)|=|a+3|（当且仅当(x-a)(x+3)0时， 等号成立），所以 f(x) =|a+3|，所以|a+3|>-a，即a+3-a，解得 min 3 aÎ(- ,+). 2 第15页 | 共15页