文档内容
几何-曲线型几何-圆-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
圆 B 1.了解有关圆的概念和性质 少考
2.学习圆的周长和面积公式的推导
3.运用圆的性质以及周长和面积公
式进行计算
知识提要
圆
概念
圆是由一条曲线围成的平面图形．
圆中心的一点叫圆心，用 O 表示．
连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示．
通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母 d 来表示．
直径所在的直线是圆的对称轴．
性质
圆有无数条半径，无数条直径，并且所有半径都相等，所有直径都相等；
在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍．d=2r；圆有无数条对称轴；
圆绕着圆心任意旋转，所得到的图形与原来的圆重合；
所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．
公式
圆的周长公式：C=2πr
圆的面积公式：S=πr2
精选例题
圆
1. 填空．
（1）圆的半径是 2cm，面积是 cm2；
（2）圆的直径是 8cm，面积是 cm2
（3）圆的半径 50cm，面积是 m2
（4）圆的面积是 12.56，半径是 m
【答案】 （1）12.56；
（2）50.24；
（3）0.785；
（4）2
【分析】 利用圆的有关公式计算：S=πr2；d=2r．
2. 如图，大圆半径为小圆半径两倍，已知图中阴影部分面积为 S ，空白部分面积为 S ，那
1 2
么这两部分面积之比为 ．（π 取 3.14）57
【答案】
100
【分析】 设小圆半径为 R，S =(4R) 2÷2=8R2，S =π(2R) 2-8R2=4πR2-8R2，
2 1
S (π-2)4R2 57
所以 1= = ．
S 2×4R2 100
2
3. 如下图所示，已知圆心是 O，半径 r=9 厘米，∠1=∠2=15∘，那么阴影部分的面积是
平方厘米．（π=3.14）
【答案】 42.39
【分析】 因为圆的半径都相等，于是 OA=OB．在等腰三角形 AOB 中两个底角都
是 15∘．又知道三角形内角之和是 180∘，所以，三角形 AOB 的顶角
∠AOB=180∘-(15∘+15∘)=150∘．同理 ∠AOC=150∘，因此
1
∠BOC=360∘-(150∘+150∘)=60∘．这就是说，阴影部分扇形的面积是圆面积的 ，即
6
1 1
×π×r2= ×3.14×92=42.39(平方厘米)．
6 6
4. 下图中大圆的半径是 20 厘米，7 个小圆的半径都是 10 厘米．那么阴影图形的面积是
平方厘米．（π 取 3.14）【答案】 942
【分析】 用 7 个小圆的面积减去大圆的面积就是阴影图形的面积．
S =S ×7-S
阴 小圆 大圆
¿ =300π
¿ ¿
5. 有 7 根直径都是 5 分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆绑在一起，其切面
如下图所示，至少需要绳子 分米．（π 取 3.14）【答案】 91.4
【分析】 根据题意，图中的绳子共有 6 个直径以及 6 个弧，这 6 个扇形的弧长之
和为一个完整的圆的周长，所以共需要绳子：
6×5+π×5=30+5π=45.7(分米),
所以如图的切面，其至少需要绳子
45.7×2=91.4(分米).
6. 如下图所示，已知圆环的面积是 141.3 平方厘米，那么阴影部分的面积是
平方厘米．（π 取 3.14）【答案】 45
【分析】 设大圆半径为 R，小圆半径为 r，则圆环面积为
π(R2-r2 )=141.3(平方厘米),
所以阴影部分面积为
R2-r2=141.3÷3.14=45(平方厘米).
7. 如下图所示，两个半径为 2 的等圆，阴影部分 ①（有两个部分）与阴影部分 ② 的面积
相等．AB 的长度是 ．（π 取 3.14）
【答案】 3.14【分析】 两阴影部分面积相等，说明长方形面积等于两半圆面积之和，所以
AB=π×22÷4=3.14．①
8. 如图所示的图形由 1 个大的半圆弧和 6 个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为
20，则这个图形的周长为 （圆周率用 π 表示）．
【答案】 20π
【分析】 周长等于一个大圆的周长，πd=20π．
9. 如下图所示，三角形 ABC 是一个等腰直角三角形，直角边 AC 的长度是 1 米．现在以
点 C 为圆心，把三角形顺时针旋转 90 度，那么 AB 边在旋转时所扫过的面积是
平方米．（π 取 3.14）
【答案】 0.6775【分析】 如下图所示，顺时针旋转后，A 点沿弧 AAʹ 到 Aʹ 点，B 点沿弧 BBʹ
转到 Bʹ 点，D 点沿弧 DDʹ 转到 Dʹ 点．因为 CD 是 C 点到 AB 的最短线段，所以
AB 扫过的面积就是图中阴影部分．
1 1
S =S =S +S = ×1×1= (平方米),
△ABC △ACAʹ △BCD △ACD 2 2
1
S =S =CD2= (平方米),
△ABC 正方形ADCDʹ 2
π π 1 π
S = CD2= × = (平方米),
扇形DCDʹ 4 4 2 8
因此，
π
S = ×AC2-S -(S +S )
阴影 2 扇形DCDʹ △BCD △AʹCDʹ
3 1
¿ = π-
8 2
¿ ¿
10. 在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的 %．
（π 取 3.14）【答案】 78.5
【分析】 设圆的半径为 r，则正方形的边长为 2r，圆的面积为 3.14r2，正方形面
积为 4r2，这个圆的面积是正方形面积的 3.14÷4=0.785=78.5%．
11. 如图所示，四个全等的圆每个半径均为 2m，阴影部分的面积是 ．
【答案】 16m2．
【分析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我
们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如下图，割补后阴影部分的面积与正方形
的面积相等，等于 (2×2) 2=16(m2 )．12. 下图所示中的长方形的长与宽的比为 8:3，半圆的半径是 20，那么阴影部分的面积是
．（取 π=3.14）
【答案】 244
【分析】 详解：如图所示，直角三角形 OAB 的三边长之比为 3:4:5，且斜边
AO=20，所以两直角边分别长 12 和 16，长方形的长和宽分别为 32 和 12，所以阴影部
1
分面积为 ×20×20×3.14-32×12=244．
2
13. 如下图所示，有 10 个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径．
如果射击时命中最里面的小圆得 10 环，命中最外面的圆环得 1 环．得 1 环圆环的面积是
10 环圆面积的 倍．【答案】 19
【分析】 1 环、2 环、10 环的外圈的圆的半径值比为 10:9:1，面积比为
100:81:1，1 环面积是 10 面积的 (100-81)÷1=19 倍．
14. 如下图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于 1680 平方厘米．阴
影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个
圆的面积等于 平方厘米．
【答案】 105
【分析】 如下图所示，设小圆半径为 r，大圆半径为 R，则 (R-r) 2+R2=(R+r) 2，
R=4r，所以大圆面积是小圆的 16 倍，所以小圆面积为 1680÷16=105(平方厘米)．15. 如下图所示，大正方形的面积是 400 平方厘米，则圆环的面积是 平方
厘米．（π 取 3.14）
【答案】 157 平方厘米
【分析】 将小正方形转 45∘，如下图所示，可以看出大正方形的面积是小正方形面积
的两倍，所以大圆面积是小圆面积的两倍．因为大正方形面积是 400 平方厘米，所以大圆面
积为 314 平方厘米，小圆面积为 157 平方厘米，圆环面积为 314-157=157(平方厘米)．16. 大圆中套着一个小圆，大圆的半径恰好是小圆的直径。大圆的面积是小圆面积的多少倍？
【答案】 4
【分析】 大圆半径是小圆的直径，也就是说大圆的半径是小圆半径的两倍，直径也是
两倍关系。那么由计算公式可知，面积是四倍．
17. 圆形花坛的直径是 6 米，它的周长是多少？将圆环扩建后，直径变为 8 米，周长增加了
多少？
【答案】 原周长：18.84 米；扩建后增加：6.28 米．
【分析】 直径 6 米，周长是
π×d=3.14×6=18.84(米);
圆环扩建后，直径 8 米，周长是
3.14×8=25.12(米),
增加了
25.12-18.84=6.28(米).
18. 一个圆形水池，围绕它走一圈有 12.56 米，这个水池的直径是多少？
【答案】 4 米．
【分析】 可知圆的周长是 12.56 米，可以求得直径
12.56÷3.14=4(米).
19. （1）已知圆的半径是 20 厘米，求这个圆的周长和面积；（2）已知圆的周长是 25.12 厘米，求这个圆的面积；
（3）已知圆的面积是 28.26 平方厘米，求这个圆的周长．（π 取 3.14）
【答案】 （1）125.6 厘米，1256 平方厘米；
（2）50.24 平方厘米；
（3）18.84 厘米．
【分析】 圆的 周长=2πr，面积=πr2，所以
（1）已知 r=20，所以 周长=2×3.14×20=125.6 厘米，面积=3.14×202=1256 平方
厘米；
（2）r=25.12÷2÷3.14=4 厘米，所以 面积=3.14×42=50.24 平方厘米；
（3）3.14×r2=28.26，r=3，所以 周长=2×3.14×3=18.84 厘米．
20. 一个圆形蓄水池的周长是 25.12 米，这个蓄水池的占地面积是多少？
【答案】 50.24 平方米．
【分析】 周长 25.12 米，直径是 8 米，半径 4 米．面积是 16π，也就是 50.24
平方米．
21. 计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小．（π 取 3.14）
【答案】 面积都是 12.56．
【分析】 左图中阴影部分的面积为 4×π×12=12.56，右图中阴影部分的面积为
π×22=12.56．
22. 一个半圆形区域的周长等于它的面积，这个半圆的半径是 ．（精确到
0.01，π=3.14）【答案】 3.27
1 π
【分析】 设半圆的半径为 r，则 r2π=2r+rπ，即 r=2+π，所以半圆的半径：
2 2
4
r= +2≈3.27．
π
23. 大圆中套着一个小圆，大圆的半径恰好是小圆的直径。大圆的周长是小圆的多少倍？
【答案】 2
【分析】 大圆半径是小圆的直径，也就是说大圆的半径是小圆半径的两倍，直径也是
两倍关系。．那么由计算公式可知，周长是两倍的关系．
24. 如图，正方形边长为 2cm，圆与正方形是相切的关系，求阴影部分面积．
【答案】 4–π
【分析】 阴影面积 S 等于正方形的面积减去圆的面积
S=2×2–π=4–π
25. 一个圆形水池，围绕它走一圈有 12.56 米，这个面积多大？
【答案】 12.56 平方米．
【分析】 可知圆的周长是 12.56 米，可以求得直径
12.56÷3.14=4(米),
半径 2 米，那么面积是
3.14×22=12.56(平方米).
26. 已知一个半圆的面积是 56.52，求这个半圆的周长．（π 取 3.14）【答案】 30.84 厘米
【分析】 圆的 面积=πr2，已知面积是 56.52×2=113.04(平方厘米)，可以求出
r=6 厘米，半圆形的 周长=πr+2r=3.14×6+2×6=30.84(厘米)．
27. 面积为 78.5 平方厘米的圆，周长是多少厘米？（π 取 3.14）
【答案】 3.14 厘米
【分析】 r2=78.5÷3.14=25,r=5.C=2×3.14×5=3.14 厘米．
28. 在下图中大圆的面积为 30，三个小圆完全相同，那么图中阴影部分的面积为多少？
【答案】 20
【分析】 大圆的半径是小圆的三倍，所以，大圆的面积是小圆面积的 9 倍．那么，
阴影面积是整个面积的三分之二，即阴影面积为 20．
29. 一个大圆内有 2 个相同的小圆，其直径的和等于大圆的直径．问：大圆周长与两个小圆周
长之和哪个长？为什么？
【答案】 周长相等．【分析】 设大圆的直径为 D，小圆的直径分别为 d ，d ，有 D=d +d ，小圆的周
1 2 1 2
长之和为：πd +πd =π(d +d )=πD，所以大圆周长和所有小圆周长之和相等．
1 2 1 2
30. 把一张长 12cm，宽 8cm 的红纸剪出一个最大的圆，这个圆周长是多少？
【答案】 25.12cm
【分析】 所能裁出的圆，最大直径为 8cm，圆的周长是
π×8=25.12(厘米).
31. 如图所示有一个大半圆，在其直径上又并排着四个小半圆，请问大半圆的周长和四个小半
圆的周长之和是什么关系？
【答案】 周长相等．
【分析】 设大圆的半径为 R，小圆的半径分别为 r ，r ，r ，r ，有
1 2 3 4
R=r +r +r +r ,
1 2 3 4
五个小半圆的周长之和为：
(π+2)r +(π+2)r +(π+2)r +(π+2)r
1 2 3 4(π+2)(r +r +r +r )¿=¿(π+2)R,¿
¿ 1 2 3 4
所以大圆周长和所有小圆周长之和相等．
32. 下图中大圆的半径为 12 厘米，六个大小相同的小圆都分别与其相邻的两个小圆及这个大
圆相切．请问小圆的半径是多少？【答案】 4 厘米．
【分析】 连线如下图所示，可以看出大圆半径是小圆半径的 3 倍，所以小圆半径为
4 厘米．
33. （1）在一个直径为 d 米的地球仪赤道上用铁丝打一个箍，需要多长的铁丝？
（2）如果要把这个铁丝箍向外扩张 1 米（直径增加 2 米），需要增加多长的铁丝？
（3）地球的赤道半径约是 6370 千米，如果我们也可以给地球的赤道上用铁丝打一个箍，再
把这个铁丝箍向外扩张 1 米，需要增加多长的铁丝？（π 可直接用 π 表示，不需要代入数
值）【答案】 见解析．
【分析】 （1）需要铁丝的长度为 πd 米．
（2）需要增加铁丝的长度为 π(d+2)-πd=2π 米．
（3）需要增加铁丝的长度为 π(d+2)-πd=2π 米．
34. 如下图所示，200 米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条
跑道宽 1.22 米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到 0.01 米）
【答案】 3.83 米．
【分析】 半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的
人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然
弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽．
设外弯道中心线的半径为 R，内弯道中心线的半径为 r，则两个弯道的长度之差为
πR-πr＝π(R-r)＝3.14×1.22≈3.83(米).
即外道的起点在内道起点前面 3.83 米．
35. 如下图所示，如果正方形的边长为 2，那么阴影部分的面积为多少？（π 取 3.14）【答案】 0.86
【分析】 正方形的面积是 4，圆的面积是 3.14，所以，阴影的面积是 0.86．
36. 如下图所示，圆 O 的直径 AB 与 CD 互相垂直，AB=10 厘米，以 C 为圆心，CA
为半径画弧．求月牙形 ADBEA（阴影部分）的面积．
【答案】 25 平方厘米
1
【分析】 因为 S = π AO2 ，
半圆ADB 2
1 1 1 1
S = π AC2= π(AO2+CO2 )= π AO2 ，以 AC 为半径的 圆和圆 O 的一半
扇形ACB 4 4 2 4
面积是相等的，所以 $\text{月牙形$ ADBEA $(阴影部分)的面积}=\triangle ABC\text{的面积}
=\dfrac 1 2\times 10\times 5=25\text{(平方厘米)}$．37. 下图是两个圆，它们的面积之和为 1991 平方厘米，小圆的周长是大圆周长的 90%．问：
大圆的面积是多少？
【答案】 1100 平方厘米
【分析】 小圆的周长是大圆周长的 90%，则两圆的半径比为 9:10，面积比为
81:100，大圆面积为 1991÷(81+100)×100=1100(平方厘米)．
38. 在一个边长是 20 厘米的正方形纸片上剪下四个大小一样圆，这四个圆的面积和最大是多
少？
【答案】 100π 平方厘米
【分析】 设正方形的边长为 a，要使这四个大小一样的圆面积和最大，那么圆的半径
a
为 ，所以四个圆的面积和为
4
4×π×
(a) 2
=4×π×52=100π(平方厘米).
439. 根据图中所给的数值，求这个图形的外周长和面积．（π 取 3.14）
【答案】 14.28；15.14．
1
【分析】 图形的周长是由 4 个 2 和 4 个 圆弧组成，所以周长
4
1
4×2+4× π×2=14.28,
4
图形的面积为：
πr2+4×2×1+22=3.14+12=15.14.
4 3
40. 如图，大小两圆的相交部分（即阴影区域）的面积是大圆面积的 ，是小圆面积的 ．
15 5
如果量得小圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？
【答案】 7.5 厘米
3
【分析】 小圆的面积为 π×52=25π，则大小圆相交部分面积为 25π× =15π，
5
4 225 225 15 15
那么大圆的面积为 15π÷ = π，而 = × ，所以大圆半径为 7.5 厘米．
15 4 4 2 2
41. 如图，分别以三角形的三条边为直径作圆，求阴影部分的面积．（π 取 3）【答案】 6
【分析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前
我们还不能直接求出它们的面积，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，
两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分．
1 1 1
阴影部分面积= 小圆面积+ 中圆面积+三角形面积- 大圆面积
2 2 2
1 3 1 4 1 1 5
= ⋅π⋅( ) 2+ ⋅π⋅( ) 2+ ×3×4- ⋅π⋅( ) 2
2 2 2 2 2 2 2
= 6
42. 在一块圆形铁板上截下 7 个大小相等的小圆片，如图所示，已知大圆板的半径为 90 厘
米，那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π 取 3）
【答案】 5400
【分析】 阴影面积 = 总面积 - 空白的面积，小圆板的半径为 90÷3=30(厘米)，
阴影部分的面积为 π×902-7×π×302=1800π=5400(平方厘米)．
43. 一个大圆内有 4 个小圆，其直径的和等于大圆的直径．问：大圆周长与所有小圆周长之
和哪个长？为什么？【答案】 周长相等．
【分析】 设大圆的直径为 D，小圆的直径分别为 d ，d ，d ，d ，有
1 2 3 4
D=d +d +d +d ,
1 2 3 4
小圆的周长之和为：
πd +πd +πd +πd =π(d +d +d +d )=πD,
1 2 3 4 1 2 3 4
所以大圆周长和所有小圆周长之和相等．
44. 已知一个圆的面积是 113.04 平方厘米，求这个圆形的周长．（π 取 3.14）
【答案】 37.68 厘米
【分析】 圆的 面积=πr2，已知面积是 113.04 平方厘米，可以求出 r=6 厘米，
圆形的周长 2πr=3.14×6×2=37.68(厘米)．
45. 明明去必胜客吃披萨，定了个 10 寸的披萨，并付了钱。过了会儿，服务员来告知没有十
寸的了，给换成两个六寸的，理由是 6×2>10，问明明可以接受么？
【答案】 见解析．
【分析】 不合算的，披萨是以面积计的，不是以长度计量的。直径十寸，面积是
25π 。六寸的，面积是 9π，两个才 18π，不足 25π，不合算．
46. 如图，BD=DC=DA=1．求阴影部分面积．【答案】 0.6775
【分析】 方法一： 1 π×12- ( 12÷2+ 1 × 1 π ) =0.6775；
2 4 2
方法二： (1 π×12-1×1 ) + (12 - 1 × 1 π ) =0.6775．
2 2 4 2
47. 已知该图为半圆形，两个小圆也是半圆，并且小圆的直径分别是 6 和 8，求阴影部分的
周长是多少？
【答案】 14π
【分析】 阴影部分由三段弧形围成，围成阴影区域的周长为三个圆周长的一半．
三个圆的直径分别是 6，8，14．
阴影部分的周长也就是
6×π 8×π (6+8)×π
+ + =14π.
2 2 2
48. 有一个圆形花坛，直径为 20 米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？
如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞
了多少米？（π 取 3.14）【答案】 62.8 米．
【分析】 小圆半径是 5 米，飞行路线为两个小圆周长，所以是 2π×5×2=62.8 米．
无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和
也等于大圆．
49. （1）左图中正方形的面积是 8，那么圆的面积是多少？（π 取 3.14）
（2）右图中正方形的面积是 16，那么圆的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 （1）6.28；（2）25.12．
【分析】 （1）方中圆，方与圆的比为 4:π，可求出圆的面积是 6.28；
（2）圆中方，圆与方的面积之比为 π:2，可求出圆的面积是 25.12．50. 已知该图为半圆型，两个小圆也是半圆，并且小圆的直径分别是 3 和 5，求阴影部分的
周长是多少？
【答案】 8π
【分析】 阴影部分由三段弧形围成，围成阴影区域的周长为三个圆周长的
一半．也就是
3×π 5×π (3+5)×π
+ + =8π.
2 2 2
51. 如图，两个正方套着两个圆。两个同心圆的周长差是 18.84cm，两个正方形的周长差是多
少？
【答案】 24cm
【分析】 同心圆的周长之差是 18.84cm，那么直径的差就是 18.84÷3.14=6，观察
图形，直径差也就是大小正方形边长的差．周长差是其四倍，也就是 6×4=24(cm)．
52. 如图，ABCD 是边长为 4 厘米的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆，
求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．（π 取 3）【答案】 8 平方厘米．
1 1
【分析】 8×( ×π×22- ×22 )=8π-16≈24-16=8(平方厘米)．
4 2
53. 求如图中阴影部分的面积．（圆周率取 3.14 ]）
【答案】 4.56
【分析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针 90∘，则阴影部分转
化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为
1 1
×π×42- ×4×4=4.56.
4 2
54. 如图所示为一张直径为 30 厘米的圆形纸片，从中剪下 7 个同样大小的圆．问：剪下的
7 个圆的总面积是多少平方厘米？【答案】 549.5 平方厘米
【分析】 大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，所以小圆半径是
30÷2÷3=5(厘米),
一个小圆面积
52π=78.5(平方厘米),
7 个小圆 总面积=78.5×7=549.5(平方厘米)．
55. 有个运动场（如图），它的两头是半圆形，中间是长方形，已知长方形部分的长为 120
米，半圆部分的半径是 50 米．围绕这个运动场跑 2 圈是多少米？这个运动场的面积是多少
米？
【答案】 1108；19850
【分析】 分析图形的构成，可知长方形的宽就是圆的直径．
操场一周长为两个长方形的长，加上两端弧，也就是加上一个圆周的长度．
周长为：
120×2+2π×50=554m,
跑两圈为 1108 米．
面积是长方形面积加上一个整圆的面积：
120×100+π×502=19850m2.56. 半径分别为 1,2,3,4 厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（π 取 3.14）
【答案】 62.8 厘米
【分析】 (1+2+3+4)×3.14×2=62.8．
57. 下图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 10 厘米的正五边形．求五边形内阴影部
分的面积．（π=3.14）
【答案】 117.75 平方厘米
【分析】 我们用两条线将五边形分成了三个三角形，如下图所示，可以看出，这个五
边形的五个角的度数和是 180×3=540∘,540÷360=1.5 倍，即阴影部分面积相当于 1.5 个
半径为 5 的圆的面积，所以阴影部分的面积是 π×52×1.5=117.75(平方厘米)．58. 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，如下图所示，裁出七个同样大小的圆铝板．
所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【答案】 8 平方厘米
【分析】 可以看出大圆半径是小圆的 3 倍，
所以大圆面积是小圆的 9 倍，
所以余下面积为 36÷9×(9-7)=8(平方厘米)．
59. 如图，中三个圆的半径都是 5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．（圆
周率取3．14）
【答案】 39.25 平方厘米．
【分析】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为
5×5×3.14÷2=39.25(cm2
)
60. 下图中，一个小六边形内接于一圆，一个大六边形外切于同一圆．若大正六边形的面积为
10 平方单位，请问小正六边形的面积为多少平方单位？【答案】 7.5
【分析】 旋转，使得内部的六边形与外面的六边形相接，然后可以把内部的六边形分
割，如下图所示，所以内部六边形面积为 10÷24×18=7.5(平方单位)．
61. 如图，已知长方形的面积是 12，则图中阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）【答案】 2.58
【分析】 长方形可以分成两个面积相等的正方形，面积都是 6，方中圆，方和圆的面
积比是 4:π，可求出小圆的面积是 1.5π，那么阴影部分的面积是
12-1.5π×2=2.58.
62. 在下图中，线段 AB 是圆 C 的直径，在线段 AB 上作两个半圆 APC 及 CQB．圆
PQR 分别与这三个半圆都相切．若 AB=28 厘米，试求圆 PQR 的半径的长度．
14
【答案】
3
14
【分析】 如下图所示，设小圆半径为 x 厘米，则 (14-x) 2+72=(x+7) 2，x= ．
363. 如下图所示，弧 IFD 与 JED 是分别以 A、B 为圆心、以 AD、BD 为半径的圆弧，
已知 AD=DB=DC=4 厘米，且 AGDHB、AFC 与 BEC 分别是三条直线段．线段 IA、
22
FG、CD、EH、JB 都分别垂直于 AB．请问图中阴影部分的面积是多少？（取 π= ）
7
120
【答案】
7
【分析】 等腰直角三角形 AGF 中 AF=AD=4 厘米，
S =42÷4=4(平方厘米),
△AFG
那么，阴影部分面积为
2× (1 ×AD2×π-S ) (22 ) 120
4 △AGF 2× ×4-4 ¿=¿ (平方厘米).¿
7 7
¿64. 如图，已知正方形的边长是 2，求大圆及小圆的面积．（π 取 3.14）
【答案】 6.28；3.14
【分析】 方中圆，方和圆的面积比为 4:π，可求出小圆的面积是 3.14，大圆的面积
是小圆面积的 2 倍，是 6.28．
65. 一个大圆内有 3 个小圆，大圆直径等于内部小圆直径和，那么大圆的周长和小圆周长什么
关系？
【答案】 周长相等．
【分析】 设大圆的直径为 D，小圆的直径分别为 d ，d ，d ，有
1 2 3
D=d +d +d ,
1 2 3
小圆的周长之和为：
πd +πd +πd =π(d +d +d )=πD,
1 2 3 1 2 3
所以大圆周长和所有小圆周长之和相等．66. 如图，图中小圆的面积是 3.14，大圆的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 6.28
【分析】 大圆、正方形和小圆之间的比是 2π:4:π，即大圆的面积是小圆面积的 2
倍．
67. 图中的 4 个圆的圆心恰好是正方形的 4 个顶点，如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么
阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π 取 3.14）【答案】 10.28 平方厘米
【分析】 图中的阴影部分恰好可以拼成一个边长为 2 的正方形和两个半径为 1 的
圆，2×2+3.14×1×1×2=10.28．
68. 有一飞镖形建筑物 ABCD，其各边之长度如下图所示，AB=60 米、BC=70 米、
CD=40 米、AD=30 米，并且已知 ∠ADC=90∘．在其外围拟建一条步道，使得此步道的
外缘距离建筑物之最近距离都保持 5 米．请问沿着此步道之外缘绕一圈共需走多少米？（取
π=3.14）
【答案】 229.25
【分析】 可知步道可分为直线段与圆弧段，直线段之长度和为
60+70+(30-5)+(40-5)=190(米)．而三个圆弧的角度和为 360∘+90∘=450∘．
450∘
所以三个圆弧段的长度和为 2×5×3.14× =39.25(米)．故绕一圈需走
360∘
190+39.25=229.25(米)．
69. 请按照图中尺寸求出两图中阴影部分的面积分别为多少．（π 取 3.14）【答案】 4.56；28.5
【分析】 （1）4× (1 ×π×22- 1 ×2×2 ) =4π-8=4.56；
4 2
（2）
1
×π×
(10) 2
-
[1
×10×10-
45
×π×102
]
2 2 2 360
25π-50¿=¿28.5.¿
¿
70. 下图中，点 P、Q、R 是三个半径都为 7 厘米的圆之圆心．请问图中阴影部分的面积为
22
多少平方厘米？（取 π= ）
7
【答案】 77
1
【分析】 通过割补可将一块阴影变为 圆（见右图），题中阴影部分面积为半圆面
6
1 22
积即 × ×72=77(平方厘米)．
2 771. 图中有半径分别为 5 厘米、4 厘米、3 厘米的三个圆，A 部分（即两小圆重叠部分）的
面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？
【答案】 一样大．
【分析】 如图所示，半径为 5 厘米的圆与半径为 4 里面的圆面积之差为
π×52-π×42=9π,
它等于半径为 3 厘米的圆面积
π×32=9π,
同时等于图中阴影部分面积与 B 部分面积之和．
而小圆面积又等于 A 部分的面积与 B 部分面积之和，因此 A 部分的面积与阴影部分面积
相等．72. 在下图中，AC 为圆 O 的直径，三角形 ABC 为等腰直角三角形，其中 ∠C=90∘．以
B 为圆心，BC 为半径作弧 CD 交线段 AB 于 D 点．若 AC=10 厘米，试求下图中阴
影部分面积之和．（令 π=3）
【答案】 62.5 平方厘米
【分析】 阴影部分面积为圆加扇形减三角形，阴影面积为：
1 1
π×52+ ×π×102- ×102=62.5(平方厘米).
8 2
73. 有一个直角三角形 PQR，直角在 Q 点，以其三边为直径作三个半圆．矩形 STUV 的
各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示．如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则
STUV 的面积是多少平方厘米？【答案】 144
【分析】 由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，
4 厘米，5 厘米．可知：SV =3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)．面积为
12×12=144(平方厘米)．
1
74. 古埃及人计算圆形面积的方法：将直径减去直径的 ，然后再平方．由此看来，古埃及人
9
认为圆周率 π 等于多少？（结果精确到小数点后两位数字）
【答案】 3.16．
1
【分析】 假设半径为 r，那么直径为 2r．直径减去直径的 ，然后再平方，得到的
9
是 (8 ×2r ) 2 = 256 r2 ，所以古埃及人认为圆周率 π 等于 256 ，约等于 3.16．
9 81 81
4 3
75. 大小两圆相交部分（如下图中阴影区域）面积是大圆面积的 ，是小圆面积的 ，量得
15 5
小圆的半径是 5 厘米．问：大圆的半径是多少厘米？【答案】 7.5 厘米
4 3
【分析】 小圆与大圆面积之比为 : =4:9，
15 5
小圆与大圆的半径之比为 2:3，
所以大圆半径是 5÷2×3=7.5(厘米)．
76. 如下图所示，AB 是一根长度为 1 的线段，要移到与它相距为 2 的 CD 处（CD=1）．
在移动过程中，AB 扫过的面积至少是多少？
【答案】 可以任意小，即可以无限接近 0，但不等于 0．【分析】 如下图所示，先将线段 AB 绕 B 点顺时针旋转 n∘ 至 EB，再将 EB 沿
直线 BE 平移到 FG，然后线段 FG 绕 G 点逆时针旋转 n∘ 至 GH，最后将 GH 沿直线
平移到 CD．由于平移时是沿着线段所在的直线移动，所以平行移动时扫过的面积为 0．在
nπ
整个移动的过程中，线段扫过的面积就只是两个扇形（阴影部分），面积和为 ．当 n 无
180
限接近 0 时，面积无限接近 0．
77. 把一张长 12cm，宽 8cm 的红纸剪出一个最大的圆，剪剩下的面积是多少？
【答案】 39.76 平方厘米．
【分析】 所能裁出的圆，最大直径为 8cm，半径为 4cm，圆的面积是
π×4×4=50.24(平方厘米),
红纸原来的面积是
12×8=96(平方厘米),
剩下的面积是
96-50.24=39.76(平方厘米).
78. 如图所示，扇形 AOB 的圆心角是 90 度，半径是 2，C 是弧 AB 的中点．求两个阴影
部分的面积差．（π 取 3.14）【答案】 0
【分析】 两个阴影分别加上下部的空白部分可得到扇形和半圆，而扇形和半圆面积相
等，所以，面积之差是 0．
79. 如图，求阴影部分的面积．
【答案】 24
【分析】 阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半
圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，
1 1 (6) 2 1 (8) 2 1 (10) 2
×6×8+ ×π× + ×π× - ×π× =24.
2 2 2 2 2 2 2
注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用．
80. 如下图所示，阴影正方形的顶点分别是大正方形 EFGH 各边的中点，分别以大正方形各
边的一半为直径向外作半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成 8 个“月
牙形”．这 8 个“月牙形”的总面积为 5 平方厘米，问大正方形 EFGH 的面积是多少平
方厘米？
【答案】 10【分析】 因为两个“月牙形”的面积等于一个空白三角形的面积，所以 8 个“月牙
形”的面积等于 4 个空白三角形的面积（大正方形的一半），所以大正方形的面积为
5×2=10(平方厘米)．
81. 下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是灰色部分面积大？
【答案】 一样大
【分析】 大圆半径是小圆半径的两倍，所以大圆面积是小圆面积的 4 倍，所以四个
小圆的面积等于大圆的面积，由容斥原理得两部分的面积一样大．
82. 一个半径为 3 分米的扇形，面积为 6.28 平方分米，那么它的圆心角是多少度？（π 取
3.14）
【答案】 80 度
6.28
【分析】 扇形所在大圆的面积是 3.14×32=28.26，圆心角是 ×360=80 度．
28.26
