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盘锦市
（参考答案见第20页）
（考试时间120分钟，满分150分）
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值和倒数的定义，可得答案．
【详解】 的倒数是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值和倒数．掌握绝对值和倒数的定义，明确分子分母交换位置是求一个数的倒数
的方法是解题的关键．
2. 下图中的几何体由五个完全相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图是从几何体的上面看到的图形解答即可.
【详解】解：几何体的俯视图是：
；
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟知俯视图是从几何体的上面看到的图形是解题的关键.
3. 2022年盘锦市被评为“中国河蟹第一市”，河蟹总产量约为79000t，数79000用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数，表示
时关键要正确确定a的值以及n的值，在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1，当该数大于或
等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时， 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的
1个0）．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟记概念是关键．
4. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 任意买一张电影票，座位号是单号
C. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 D. 射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件
下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在
一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是 ，是必然事件，故该选项正确；
B、任意买一张电影票，座位号可能是单号，是随机事件，故该选项错误；
C、掷一次骰子，向上一面的点数可能是3也可能是1、2、 中的任一个数，是随机事件，故该选项错
误；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项错误；
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟记概念是关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算，即可得出
答案．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，故该选项计算错误；
B、 ，故该选项计算错误；
C、 ，故该选项计算正确；
D、 ，故该选项计算错误；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等，熟练掌握运算法则是解题的关
键．
6. 为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据
如图，则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（ ）
A. 4.8，4.8 B. 13，13 C. 4.7，13 D. 13，4.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义求解．
【详解】解：由图可知，视力为4.8的学生人数最多，因此众数是4.8，
将50名学生视力情况按从小到大顺序排列，第25和26位都是4.8，因此中位数是4.8，
故选A．
【点睛】本题考查求一组数据的中位数和众数，正确从条形统计图中获取信息是解题的关键．
7. 下列命题正确的是（ ）
A. 方差越小则数据波动越大 B. 等边三角形是中心对称图形
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学科网（北京）股份有限公司C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 正多边形的外角和为
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义，中心对称图形的定义，矩形的性质，正多边形的外角和定理逐项判断即可．
【详解】解：方差越小则数据波动越小，故A选项错误；
等边三角形不是中心对称图形，故B选项错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误；
正多边形的外角和为 ，故D选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查方差，中心对称图形，矩形，正多边形的外角和等，熟练掌握相关定义或性质是解题的
关键．
8. 如图，直线 ，将一个含 角的直角三角尺 按图中方式放置，点E在 上，边 、
分别交 于点H、K，若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行的性质可得 ，再根据四边形内角和为 可得 ，
问题随之得解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行的性质以及四边形内角和为 ，掌握四边形内角和为 是解答本题的
关键．
9. 如图，四边形 是矩形， ， ，点P是边 上一点（不与点A，D重合），
连接 ．点M，N分别是 的中点，连接 ， ， ，点E在边 上，
，则 的最小值是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得 ， ，通过证明四边形 是平
行四边形，可得 ，则 ，作点C关于直线 的对称点
M，则 ，点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
点M，N分别是 的中点，
， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
如图，作点C关于直线 的对称点M，连接 ， ，
则 ，
当点B，P，M三点共线时， 的值最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
，
的最小值 ，
故选C．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，
轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思
想．
10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
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学科网（北京）股份有限公司， ．点M在菱形的边 和 上运动（不与点A，C重合），过点M作
轴，与菱形的另一边交于点N，连接 ， ，设点M的横坐标为x， 的面积为y，则下列图象
能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A B. C. D.
.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在 ， ， 之间三个阶段，用含x
的代数式表示出 的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．
【详解】解： 菱形 的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
， ，
，
，
， ， ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，得：
，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
直线 的解析式为 ．
轴，
N的横坐标为x，
（1）当M的横坐标x在 之间时，点N在线段 上， 中 上的高为 ，
，
，
，
该段图象为开口向上的抛物线；
（2）当M的横坐标x在 之间时，点N在线段 上， 中 ， 上的高为 ，
，
该段图象为直线；
（3）当M的横坐标x在 之间时，点N在线段 上， 中 上的高为 ，
由 ， 可得直线 的解析式为 ，
， ，
，
，
该段图象为开口向下的抛物线；
观察四个选项可知，只有选项A满足条件，
故选A．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知
识点，解题的关键是分段求出函数解析式．
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 计算： _______．
【答案】1
【解析】
【分析】先化简二次根式，再计算减法．
【详解】解： ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
12. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 ，再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13. 不等式 的解集是_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】按解一元一次不等式的步骤解不等式即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键．
14. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十
四足．问鸡兔各几何．”设有 只鸡， 只兔，根据题意，可列方程组为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“鸡的数量 兔的数量 ，鸡的脚的数量 兔子的脚的数量 ”可列方程组．
【详解】解：根据题意可得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出
相应的方程组．
15. 如图， 的顶点坐标是 ， ， ，以点O为位似中心，将 缩小为原来
的 ，得到 ，则点 的坐标为_______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
【详解】解： 以点O为位似中心，将 缩小为原来的 ，得到 ， ，
当 在第一象限时，点 的坐标为 ，即 ；
当 在第三象限时，点 的坐标为 ，即 ；
综上可知，点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算．
16. 关于x的一次函数 ，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，
则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由一次函数性质得， ， ，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，
∴ ．
∴ ．
时，
∵图象与y轴的交点在原点下方，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键．
17. 如图，四边形 是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交 和 于点P，
Q，以点P，Q为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线 交边 于点E；分别以
点A，E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线 交边 于点F，连接
，交 于点G，连接 ．若 ， ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】由作图得 平分 ， 垂直平分 ，再根据三角形面积公式求出 和
的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：由作图得 平分 ， 垂直平分 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握三角形的面积公式和相似三角形的性质是关键．
18. 如图，四边形 是矩形， ， ．点E为边 的中点，点F为边 上一点，
将四边形 沿 折叠，点A的对应点为点 ，点B的对应点为点 ，过点 作 于点
H，若 ，则 的长是_______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【 分 析 】 设 交 与 点 G ， 过 点 E 作 ， 则 四 边 形 为 矩 形 ，
，由折叠可知， ， ，由平行线的性质可得
， ，利用勾股定理求得 ，即可证明 ，利用相似三角
形 的 性 质 求 得 ， 于 是 ，
，则 代入计算即可．
【详解】解：设 交 与点G，过点E作 ，如图，
则 ，
∵点E为边 的中点，
∴ ，
∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ，
第14页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
由折叠可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查矩形 的性质、折叠的性质、勾股定理、 等腰三角形的判定与性质、相似三角形的
判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共96分）
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】
【解析】
【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出 x的值后，将代入即可
求解．
【详解】解：原式 ，
，
，
，
当 时，
原式 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键．
20. 某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制
了以下不完整的统计图表（如下图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了______名学生，统计表中 ______．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“ ”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有 名学生，请估计平均每天阅读时长为“ ”的学生人数，
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本
书分别用相同的卡片 ， ， ， 标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列
表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】（1）100，30
（2）
（3） 名
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学科网（北京）股份有限公司（4）
【解析】
【分析】（1）将 组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以
组的百分比即可求出 的值；
（2）将 组的人数除以抽取的人数，再乘以 即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时
长为“ ”所对应的圆心角度数；
（3）将 组的人数除以抽取的人数，再乘以 即可估计平均每天阅读时长为“ ”的学生人
数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的
结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【小问1详解】
解：∵ 组的人数为 ，占比为 ，且 ，
∴本次调查共抽取了 名学生；
∵ 组占比 ， ，
∴ ，
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：∵样本中平均每天阅读时长为“ ”有 名，
且 ，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“ ”所对应的圆心角度数为 ．
【小问3详解】
的
解：∵样本中平均每天阅读时长为“ ” 学生人数为 人，
且 （名），
∴估计平均每天阅读时长为“ ”的学生人数为 名．
【小问4详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片 ， ， ， 标记，画
树状图如下：
一共有 种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即 和《西游记》即 有 种可能的情况，
∴ ．
【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计
图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
21. 如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的
C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°， ， ， ，点A，B，
C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：
， ， ， ）
【答案】 的长约为
【解析】
【分析】延长 交 于点 ，过点B作 ，垂足为G，可得 ， ，从而
， ，设 ，则 ，分别在直角
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学科网（北京）股份有限公司和直角 中求出 的长，最后利用平角定义可得 ，从而在 中，求
出 的长，再利用线段的和差关系计算即可解答 ．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，过点B作 ，垂足为G，
由题意得： ， ，
， ，
设 ，
，
则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得： ，
,
，
，
在 中， ，
第20页/共35页
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
的长约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加适当的辅助线是
解决问题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中， ， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点
C， ， ，过点C作直线 轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合）， 的平分线交直线 于点F，请直接写出点F的坐
标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作 轴于点G，如图，证明四边形 是矩形，得到 ， 推出
，证明 ，得到 ，得出矩形 是正方形，可
得 ，然后由A、B的坐标求出 ，进而得到点C的坐标为 ，再代入反比例函
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学科网（北京）股份有限公司数的解析式即可；
（2）根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出 ，根据平行线的性质、角平分线的定义得到
，进而得出 ，即得 ，即可求解．
【小问1详解】
作 轴于点G，如图，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ，
第22页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，解得： ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
代入 ，得 ；
∴反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第23页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴点F的坐标是 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、
全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握
上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
23. 如图， 内接于 ， 为 的直径，延长 到点G，使得 ，连接 ，过点
C作 ，交 于点F，交点 于点D，过点D作 ．交 的延长线于点E．
（1）求证： 与 相切．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，结合圆周角定理，根据 ，可得 ，再根据平行
的性质 ，即有 ，进而可得 ，问题随
之得证；
（2）过C点作 于点K，先证明四边形 是平行四边形，即有 ，求出
，即有 ，利用三角形函数有
第24页/共35页
学科网（北京）股份有限公司，同理 ，即可得 ，
，进而有 ，再证明 ，可得
，即可得 ，在 中，有
，问题随之得解．
【小问1详解】
连接 ，如图，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
第25页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴半径 ，
∴ 与 相切；
【小问2详解】
过C点作 于点K，如图，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 ， ，
同理 ，
∵在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
第26页/共35页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边
形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答
本题的关键．
24. 某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次
函数关系．部分数据如下表：
2
每件售价x/万元 … 24 28 30 32 …
6
4
月销售量y/件 … 52 44 40 36 …
8
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比
三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润
（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
【答案】（1）
第27页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（2）①20万元；② ，950万元
【解析】
【分析】（1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求解；
（2）利用（1）中结论求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程即可；②列 关
于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可．
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为 ，将 ， 代入，得：
，
解得 ，
y与x的函数关系式为 ；
【小问2详解】
解：①将 代入 ，得 （件），
设三月份每件产品的成本是a万元，
由题意得 ，
解得 ，
即三月份每件产品的成本是20万元；
② 四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，
四月份每件产品的成本为 万元，
由题意得： ，
，
抛物线的图象开口向下，
抛物线的对称轴为 ， ，
第28页/共35页
学科网（北京）股份有限公司时， 取最小值，此时 ，
综上可知， 关于售价x的函数关系式是 ，最少利润是950万元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关
系正确列出函数关系式．
25. 如图，四边形 是正方形，点M在 上，点N在 的延长线上， ，连接 ，
，点H在 的延长线上， ，点E在线段 上，且 ，将线段
绕点E逆时针旋转得到线段 ，使得 ， 交 于点F．
（1）线段 与线段 的关系是______．
（2）若 ， ，求 的长．
（3）求证： ．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求证 ，即可得证结论 ；
第29页/共35页
学科网（北京）股份有限公司（2）由题知， ，于是 ，可证 ，所以 ，于是
；
（3）连接 ，令 ，则 ， 中， ，
可求 ，所以 ，得证 ；延长线段 至点
I，使 ，可证 ，得 ，于是 ．
【小问1详解】
解：
∵四边形 是正方形，
∴ ， .
∴
又∵ ，
∴
∴ ．
【小问2详解】
解：由题知， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【
小问3详解】
解：连接 ，令 ，则 ，
中， ，
∴ ．
中， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
延长线段 至点I，使 ，连接 ，则 垂直平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
质等；添加辅助线，构造全等三角形，从而求证线段之间的相等关系是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司26. 如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点 是 轴上方抛物线上一点，射线 轴于点 ，若 ，且
，请直接写出点 的坐标．
（3）如图2，点 是第一象限内一点，连接 交 轴于点 ， 的延长线交抛物线于点 ，点 在
线段 上，且 ，连接 ，若 ，求 面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点 ， 代入抛物线 得到 ，解方程组即可
得到答案；
（2）设 ， ，则 ，则 ， ，从而表示出点 的
坐标为 ，代入抛物线解析式，求出 的值即可得到答案；
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学科网（北京）股份有限公司（3）求出直线 的表达式，利用 ，得到 ，求出点 的坐标，
再根据 进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解： 抛物线 与 轴交于点 ， ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
【小问2详解】
解： ，
设 ， ，
，
，
，
点 ，
，
，
点 的坐标为 ，
点 是 轴上方抛物线上一点，
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解得： （舍去）或 ，
；
【小问3详解】
解：设点 ，直线 的解析式为 ，
，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
，
，
在抛物线 中，当 时， ，
，
，
，
设点 的坐标为 ，
， ，
，
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，
，
解得： ，
点 的坐标为 ，
．
【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、
锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键．
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