2026北京海淀高三一模数学（含答案）_副本_12.2026年4月全国各地高考模拟卷_2026年4月_2026年北京市海淀区高三一模_02数学_北京市海淀区高三一模

2026 北京海淀高三一模
数 学
2026.04
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集
第1页/共13页
U = { x | | x − 1 | 3 } ，A={x|x2 4}，则 ð
U
A =
（A） { x | − 2  x  2 } （B） { x | 2 ≤ x  4 }
（C）{x|−1x≤4} （D） { x | − 2  x  4 }
（2）已知等差数列{a }，a =−1，a +a =14，则a =
n 1 3 7 9
（A） 1 3 （B） 1 5
（C）17 （D） 1 8
（3）抛物线 W : y 2 = 8 x 的焦点为 F ，点 A 在W 上，且 | A F | = 6 ，则线段AF中点的横
坐标为
（A） 2 （B）
5
2
7
（C）3 （D）
2
（4）若函数 f ( x ) = ln
x
x
+
+
a
1
是奇函数，则 a =
（A）−1 （B） −
1
2
（C）0 （D）1
（5）在 △ A B C 中，  B =
π
4
3
，sinC = ，则
3
（A）cab （B）bac
（C）c2+b2 a2 （D）c2+a2 b2
（6）已知 ( 2 − 3 x ) 5 = a
0
+ 3 a
1
x + 3 2 a
2
x 2 + 3 3 a
3
x 3 + 3 4 a
4
x 4 + 3 5 a
5
x 5 ，则 a
2
=
公众号：高考试卷君
（A）−10 （B）10
（C）−80 （D）80
（7） 在某密码系统中，生成密码需要从含有94个符号的字符集中随机选择字符. 密码熵H （单位：比特）
的计算公式为H =log (94l), 其中l为密码长度. 根据密码熵估计表，当l=8时，H 52.4比特. 若某
2用户将密码长度从
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l = 6 增加到 l = 1 8 ，则密码熵的增加量约为
（A） 7 8 .6 比特 （B） 8 6 .4 比特
（C） 9 9 .0 比特 （D） 1 0 4 .8 比特
（8）已知函数 f ( x ) =
 a
b
x
x
2
2
+
−
b
a
x
x
,
,
x
x


0
0
,
,
则“ a b  0 ”是“ f(x)在R上为单调函数”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知平行四边形的两个顶点为 M ( − 1 ,1 ) ， P ( t , − t ) ，另两个顶点在圆x2 + y2 =8上. 若对于给定的t，这
样的平行四边形有且只有一个，则 t 的取值范围是
（A）[−3,−1) （B）[1,3]
（C）[2,4] （D） [ 3 , 5 )
2π
（10）已知平面上的点A,A ,A,A ,A 满足AA A =A AA =AA A = , 且
1 2 3 4 5 1 2 3 2 3 4 3 4 5 3
A 
1
A 
2
 A 
2
A 
3
=  A A
2

3
 
A

3
A 
4
 = A 
3
A 
4
 A 
4
A 
5
    
, 则下列等式中一定不成立的是
．．．．．
（A）
A 
1
A 
5
=  A  A
2

4

（B）
A 
1
A 
5
=  3
2
A 
4
A 
5
 5
（C）AA =2A A （D）AA = A A
1 5 2 4 1 5 2 4 5
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数 z 满足
z
i
+ i = 2 ，则 z = _______， | z | = _______．
x2 y2
（12）已知双曲线C: − =1的左、右焦点分别为
4 5
F
1
, F
2
，若 C 上一点 P 满足 | P F
1
|= 3 ，则 | P F
2
|=
_______.
（13）设等比数列{a }的前
n
n 项和为S . 若S −S =4(a −a )，则公比
n n+2 n+1 n+1 n
q = _______．
（14）将函数 f ( x ) = 2 x + a | x | ( a  0 ) 的图象向左平移 1 个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象
位于 f(x)图象的上方，则a的一个取值为_______,a的最大值为_______．
（15）如图，正方体ABCD−A'B'C'D'的棱长为 2 ，以底面 A B C D 的中心 O 为原
点建立空间直角坐标系O−xyz，其中坐标轴Ox,Oy,Oz分别与正方体的三
条棱平行. 设正方体 A B C D − A ' B 'C ' D ' 表面及其内部所有点构成的集合为
，集合T ={(x,y,z)|x2+y2 z}，记W 为 T
公众号：高考试卷君
z
D' C'
A' B'
中所有点构成的几何体. D C
O y
给出下列四个结论： A B
x
① (1,1,1)T ；②
第3页/共13页
W 被平面 A 'B 'C 'D ' 所截的截面面积为 4 ；
③ W 的体积大于
4 π
3
；
④ W 表面上的点到点 ( 0 , 0 ,1 ) 的距离的最小值为 1 .
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数 f ( x ) A s in ( x
π
3
)  = + ( 0 )   两个相邻零点的距离为
π
2
，且 f ( 0 ) =
2
3
.
（Ⅰ）求A,的值；
（Ⅱ）设 g ( x ) = f ( x ) − 2 3 c o s 2 x ，求g(x)的单调递增区间.
（17）（本小题14分）
如图，在直四棱柱ABCD−ABCD 中，AB//
1 1 1 1
C D , A B = 2 , A D = C D = 1 ,
 D A B = 6 0  ， E , F 分别为 A B , C C
1
的中点.
（Ⅰ）求证： E F // 平面 A D D
1
A
1
；
（Ⅱ）从下列条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知条件，使得
直四棱柱 A B C D − A
1
B C1
1
D
1
存在且唯一，求平面DEF 与平面ADDA 夹角
1 1 1
的余弦值.
条件①： A
1
D
1
⊥ B D ；
条件②： E F = 2 ；
条件③： E F 与平面ABCD所成角为45.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按
第一个解答计分．
A 1
A
D 1
D
E
C
F
C
1
B
B
1
公众号：高考试卷君（18）（本小题13分）
为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽
样，获得评价数据如下表：
学 区 甲 乙
性 别 男 女 男 女
达到预期 260人 200人 240人 190人
未达到预期 190人 150人 60人 110人
假设所有教师的评价相互独立. 用频率估计概率.
（I） 估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率；
（Ⅱ）若教师的评价为“达到预期”，则赋分为
第4页/共13页
5 ；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为 0 .
（ⅰ）从这两个学区的所有男教师中随机抽取 2 人，所有女教师中随机抽取 1 人，记随
机变量 X 为这 3 人的赋分之和，估计X 的数学期望；
（ⅱ）记甲学区样本赋分的方差为 s 21 ，乙学区样本赋分的方差为 s 22 ，两学区所有样本赋分的方差为 s 23 .
比较s2，s2，s2的大小.（结论不要求证明）
1 2 3
（19）（本小题15分）
已知椭圆 E :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a  b  0 )
3
的离心率为 , 其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为3 3.
2
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，M(x ,y )为第一象限内E上的动点，点N 在直线 y=−2上，且OM ⊥ON . 过
0 0
A ( 0 , 3 ) 作 M N 的垂线交直线 O M 于 B ，求 | A B |
公众号：高考试卷君
的值.
（20）（本小题15分）
设函数 f(x)=x2−ln(ax+1)+ax (a0).
（Ⅰ）当a=1时，求证：直线y=0是曲线y= f(x)的切线；
（Ⅱ）求 f(x)的单调区间；
（Ⅲ）判断函数g(x)=x f(x)是否存在极值. 如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由.（21）（本小题15分）
对于正整数
第5页/共13页
m , n ( m ≥ 3 ， n ≥ 3 ) ，集合 M = { ( x , y ) |1 ≤ x ≤ m ,1 ≤ y ≤ n , x  N , y  N } . 给定集合 M 的一
个子集 A ，对于 M 中的元素 ( a , b ) ，若存在 ( x , y )  M 且xa,yb，使得集合  ( a , b ) , ( a , y ) , ( x , b ) , ( x , y )  与
A 的交集所含元素个数为 0 或 4 ，则称 ( a , b ) 为 A 的一个“同形点”.
（Ⅰ）当 m = n = 3 时，写出集合 A = { (1 ,1 ) , ( 2 , 2 ) } 的所有“同形点”；
（Ⅱ）当 A 只有一个元素时，求其“同形点”的个数；
（Ⅲ）若 M 的任意子集都有“同形点”，求 m n 的最小值.
（考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效）
公众号：高考试卷君参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）B （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）A （8）A （9）D （10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）
第6页/共13页
1 + 2 i 5 （12） 7
（13） 2 （14） 1 （答案不唯一） 2
（15）② ③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 f ( 0 ) =
2
3
，
π 3 3
所以 Asin = A= ．
3 2 2
所以 A = 1 .
因为 f ( x ) 的两个相邻零点的距离为
π
2
，
所以 f ( x ) 的最小正周期 T =
π
2
 2 = π .
所以
2 π
π

= .
所以 2  = ， f ( x ) = s in ( 2 x +
π
3
) .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， f ( x ) = s in ( 2 x +
π
3
)
所以 g ( x ) = s in ( 2 x +
π
3
) − 2 3 c o s 2 x ．
= s in ( 2 x +
π
3
) − 3 ( c o s 2 x + 1 )
=
1
2
s in 2 x +
2
3
c o s 2 x − 3 ( c o s 2 x + 1 )
1 3
= sin2x− cos2x− 3
2 2
= s in ( 2 x −
π
3
) − 3
公众号：高考试卷君
π π π
令 2kπ− ≤2x− ≤2kπ+
2 3 2解得
第7页/共13页
k π −
1
π
2
≤ x ≤ k π +
5
1
π
2
f ( x ) 的单调递增区间为 [ k π −
1
π
2
, k π +
5
1
π
2
] , k  Z ．
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）法一：取DD 中点M，连接
1
M F , M A ，
因为直四棱柱 A B C D − A
1
B C1
1
D
1
，
所以四边形 DCCD 为平行四边形.
1 1
因为 M , F 分别是 D
1
D , C C1 的中点，
所以 M F // C D ， M F = C D ，
又 A B // C D ，点 E 是 A B 的中点，
所以 M F // A E , M F = A E .
所以 四边形 M A E F 为平行四边形.
所以 M A // E F .
因为 M A  平面ADDA，EF 平面
1 1
A D D
1
A
1
所以 E F // 平面 A D D
1
A
1
.
法二：
在直四棱柱 中，连接 C E ，
因为 C D = 1 ，AB=2， E 为AB中点，
所以 A E = D C ，
又因为 A B // D C ，即 A E // D C ，
所以四边形 A E C D 为平行四边形，
所以 AD//EC，
又因为 F C // D
1
D ， A D  D
1
D = D ， E C  F C = C ，
且 A D , D
1
D  平面 A D D
1
A
1
， E C , F C  平面 E F C ，
所以平面 ADDA //平面EFC，
1 1
又 EF平面 E F C ，
所以 EF//平面 A D D
1
A
1
.
（Ⅱ） 连接BD.
因为 AD=1,AB=2,DAB=60，
所以 B D = 3 ，由 A D 2 + B D 2 = A B 2 ，
所以 A D ⊥ B D ，
又因为 DD⊥平面ABCD，
1
A B C D − A
1
B C1
1
D
1
公众号：高考试卷君所以
z
D1 C1
A1 B1
F
C
D y
x A E B
第8页/共13页
D
1
D ⊥ A D , D
1
D ⊥ B D ,
所以 A D , B D , D
1
D 两两垂直，
如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D − x y z .
选②：
连接 C E ，在 R △t E C F 中，
因为 EF = 2，CE=AD=1，
所以 C F = 1 ，所以 C C
1
= 2 ，
所以 D
1
( 0 , 0 , 2 ) , E (
1
2
,
2
3
, 0 ) , F ( −
1
2
,
2
3
,1 ) ，
E F  =
( − 1 , 0 ,1 ) ,
E D 
1
 =
( −
1
2
, −
2
3
, 2 ) ，
设平面DEF的法向量为
1
n = ( x , y , z ) ，

 EFn=0，
则 ，
ED n=0，
1
−x+z=0，

即
x 3
− − y+2z=0.
 2 2
令 x = 1 ，则 y = 3 , z = 1 ，
所以 n = (1 , 3 ,1 ) ，
又平面 A D D
1
A
1
的法向量 m = ( 0 ,1 , 0 ) ，
设平面 D
1
E F 与平面 A D D
1
A
1
的夹角为，
所以 c o s | c o s , |
|
|
| |
|
|
3
5
1
5
5
 =  m n  =
m
m 

n
n
= = .
选③：
因为 F C ⊥ 平面 A B C D ，
所以 E C 为EF在平面 A B C D 上的射影，
所以FEC为EF与平面ABCD所成的角.
因为 E F 与平面ABCD所成角为45，
所以FEC=45.
在Rt△FEC中，CF=CE=AD=1，
所以 C C
1
= 2
公众号：高考试卷君
，后续解法同②.（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，样本中甲学区教师的人数为
第9页/共13页
2 6 0 + 2 0 0 + 1 9 0 + 1 5 0 = 8 0 0 人，其中评价为“达
到预期”的人数为 2 6 0 + 2 0 0 = 4 6 0 人，
460 23
所以甲学区教师评价为“达到预期”的概率估计为 = .
800 40
（Ⅱ）(i) X 的取值范围为 { 0 , 5 ,1 0 ,1 5 } .
240+260 2
男教师的评价为“达到预期”的概率估计值为 =
240+260+190+60 3
女教师的评价为“达到预期”的概率估计值为
2 0 0 +
2
1
0
9
0
0
+
+
1
1
9
5
0
0 + 1 1 0
=
3
5
所以 P ( X = 0 ) = (
1
3
) 2 
2
5
=
2
4 5
，
P ( X = 5 ) = ( C 12
1
3

2
3
) 
2
5
+ (
1
3

1
3
) 
3
5
=
1
4
1
5
， P ( X = 1 0 ) = (
2
3
) 2 
2
5
+ ( C 12
1
3

2
3
) 
3
5
=
2
4
0
5
，
P ( X = 1 5 ) = (
2
3
) 2 
3
5
=
1
4
2
5
，
所以 E ( X ) = 0 
2
4 5
+ 5 
1
4
1
5
+ 1 0 
2
4
0
5
+ 1 5 
1
4
2
5
=
1 1 + 4 0
9
+ 3 6
=
2 9
3
.
(ii) s2 s2 s2
1 3 2
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意得
 c
a1
2
a
=
 2
2 =
3
2
c  b
2 b
,
+
=
c
3
2
3 ,
解得a=2 3， b = 3 ， c = 3 ．
所以椭圆 E
x2 y2
的方程为 + =1．
12 3
（Ⅱ）设 N ( t , − 2 )
公众号：高考试卷君
.
因为 OM ⊥ON，
所以tx −2y =0.
0 0
tx −2y =0,
当 t=x 时，  0 0
0 x 2 +4y 2 =12,
0 0解得
第10页/共13页
y
0
=
3
2
, x
0
= 3 .
直线 O M 为 y =
2
3
x ，
又直线 A B 为 y = 3 ，
所以 B ( 2 3 , 3 ) ，|AB|=2 3.
法一：
当 tx 时，
0
k
M N
=
y
x
0
0
+
−
2
t
=
x
y
0
0
−
+2 2y
x
0
0
= −
2 ( 2
x
y
0
0
− 3 )
所以 k
A B
=
2 ( 2 y
x
0
0
− 3 )
，
直线 A B
2(2y −3)
的方程为y= 0 x+3，
x
0
又 O M 为 y =
y
x
0
0
x ，
联立得 x
B
=
2
x
−
0
y
0
，所以 y
B
=
2
y
−
0y
0
所以 | A B |= (
2
x
−
0
y
0
) 2 + (
2
y
−
0y
0
− 3 ) 2 =
x
0
2 + 1
4
6
−
y
04
2
y
−
0
4
+
8
y
y
0
02
+ 3 6
= 2 3
法二：
当 t  x
0
时， k
M N
=
y
x
0
0
+
−
2
t
，
x −t
所以k =− 0 ，
AB y +2
0
A B 方程为 y = −
x
y
0
0
−
+
t
2
x + 3
又 O M 为 y =
y
x
0
0
x ，
y x −t y 2 +2y +x 2−tx
联立得 ( 0 + 0 )x=3， 0 0 0 0 x=3，
x y +2 x (y +2)
0 0 0 0
x
y
0
2
0(
y
+
0
x
+
2
02
)
x = 3 ，
1
x
2
(
0
−
y
3
0
y
+
2
02
)
x = 3
公众号：高考试卷君
，
x
x = 0 ，
B 2−y
0
y
所以 y = 0 .
B 2−y
0所以
第11页/共13页
| A B |= (
2
x
−
0
y
0
) 2 + (
2
y
−
0y
0
− 3 ) 2 =
x
0
2 + 1
4
6
−
y
04
2
y
−
0
4
+
8
y
y
0
02
+ 3 6
= 2 3
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当 a = 1 时， f ( x ) = x 2 − ln ( x + 1 ) + x ，定义域为 ( − 1 , +  ) .
1
所以 f '(x)=2x− +1．
x+1
因为 f ( 0 ) = 0 ， f '(0)=0，
所以曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线为 y=0.
问题得证.
a 2ax2 +(2+a2)x
（Ⅱ）因为 f(x)=2x− +a= ．
ax+1 ax+1
令 f '( x ) = 0 ，得x =0，
1
x
2
= −
1
a
−
a
2
．
当 a  0 时， f ( x ) 的定义域为 ( −
1
a
, +  ) .
x
2
= −
1
a
−
a
2
 −
1
a
，
f '( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表：
极
↘ 小 ↗
值
所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 , +  ) ，单调递减区间为 ( −
1
a
, 0 ) .
当 a  0 时， f ( x ) 的定义域为 ( −  ， −
1
a
) .
x
2
= −
1
a
−
a
2
 −
1
a
，
f '( x ) 与 f ( x )
公众号：高考试卷君
的变化情况如下表：
极
↘ 小 ↗
值所以
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f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0 , −
1
a
) ，单调递减区间为 ( −  , 0 ) .
（Ⅲ） g ( x ) 不存在极值.
因为 g ( x ) = x  f ( x ) ，
所以 g '( x ) = x f '( x ) + f ( x ) ，
由 （Ⅱ）知，
当 x  0 时， f '(x)0，所以 xf '(x)0，
当 x  0 时， f '( x )  0 ，所以 x f '( x )  0 ，
且 f(x)≥f(0)=0，
所以 g '( x )≥ 0 ， g ( x ) 不存在极值.
（21）（共15分）
解：（Ⅰ） (1 , 2 ) , ( 2 ,1 ) ；
（Ⅱ） A 的“同形点”的个数为 m n − m − n .
证明如下：
设 A = { ( i , j ) } ，由题：取集合 T = { ( x , y ) |1  x  m ,1  y  n , x  N , y  N } .
若 ( x , y ) 为 A 的“同形点”，应有 ( x , y )  T ，且 ( x , y )  A .
（1）当 i  m , j  n 时，若 ( x , y )  A 且 ( x , y )  T ，取(z,t)为 ( m , n ) ，
则(x,y),(x,t),(z,y),(z,t)与 A 的交集元素个数为0，
此时 ( x , y ) 为 A 的“同形点”，共有 ( m − 1 ) ( n − 1 ) − 1 = m n − m − n 个；
（2）当 i = m , j  n 时，同理可得 T 中除 ( m − 1 , j ) 外，
其余元素都是 A 的“同形点”， 共有mn−m−n个；
（3）当 i  m , j = n 时，同理可得 T 中除 ( i , n − 1 ) 外，
其余元素都是 A 的“同形点”，共有mn−m−n个；
（4）当 i = m , j = n 时，同理可得 T 中除 ( m − 1 , n − 1 ) 外，其余元素都是 A 的“同形
点”，共有mn−m−n个.
综上可得 A 的“同形点”的个数为mn−m−n.
（Ⅲ） mn的最小值为21.
证明如下：
首先当m=3, n=7时， m n = 2 1 ，由对称性不妨设A中元素个数不少于11，
对于 j=1,2, ,7，设{(i, j)|(i, j)M} A的元素个数为 x
j
，
（1）若存在 x
k
= 3
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，因为11−36，所以存在lk，有x 2，不妨设lk，
l
则(1,l),(2,l)中至少一个是A的“同形点”；
（2）若x 2恒成立，因为11−7=4，所以存在i i i i ，
i 1 2 3 4有
第13页/共13页
x
i1
= x
i2
= x
i3
= x
i4
= 2 ，因为 C 23 = 3  4 ，
所以存在 { k , l}  { i1 , i2 , i3 , i4 } ， 1  p  q  3 ，使得 { ( k , p ) , ( k , q ) , ( l , p ) , ( l , q ) }  A ，
不妨设 l  k ，则 ( l , p ) 为 A 的“同形点”.
其次当mn21时，不妨设 m  4 ；
（1）若 m = 3 ，则 n  6 ，
取A={(1,1),(2,1),(1,2),(3,2),(2,3),(3,3),(1,4),(2,5),(3,6)} M
可得其无“同形点”；
（2）若 m = 4 ，则 n  5 ，
取 A = { (1 ,1 ) , ( 2 ,1 ) , (1 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , (1 , 3 ) , ( 4 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 4 , 5 ) }  M ，
可得其无“同形点”；
综上mn的最小值为21.
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