数学答案_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年05月高三试卷_260525安徽省合肥市第一中学2026届高三最后一卷（全科）

一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 z = 2 + i （ i
z
为虚数单位），则 =（ ）
3+4i
5 1
A. B. C.
5 5
5 D. 5
【答案】A
z 2+i
(2+i)(3−4i)
2 1
【解析】由题意， = = = − i，
3+4i 3+4i (3+4i)(3−4i) 5 5
z 2 1 5
所以 = （ ）2 +（ ）2 = .故选：A.
3+4i 5 5 5
 
2．已知集合A= xZ x2 4 ， B =

x
1
x
 1

，则 A  B = （ ）
A． R B．  2 
C．−2,−1 D．−2,−1,2
【答案】D
【解析】因为集合A=  xZ x2 4  =xZ −2x2=−2,−1,0,1,2，
 1   1   x−1 
B=x 1=x −10=x 0={x|x1或
 x   x   x 
x  0 } ，
所以A B=−2,−1,2 .故选：D.
3. 已知等比数列 a ,a =2,a =8，则
n 2 6
a
4
= （ ）
A.5 B.4 C. − 4 D.  4
数学答案
【答案】B
【解析】由题意可知a a =a2 a =4.又a 与a 同号，所以a =4.故选：B
2 6 4 4 4 2 4
x2 y2
4. 双曲线 − =1(a0,b0)，若两条渐近线上存在点A和B，使得OAB为等边
a2 b2
三角形（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
2 3 2 3 2 3
A. 3 B. C. 3或 D. 2或
3 3 3【答案】D
【解析】由题意，
b
a
=
3
3
或者
b
a
= 3 ，又因为 a 2 + b 2 = c 2
c 2 3
所以e= = 或者
a 3
e =
c
a
= 2 .故选：D.
5.如图是个 “心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 x 轴上方部
分对应的函数解析式可能为（ ）
A．y= x 4−x2(y0) B．y=x 4−x2 (y0)
C．y= −x2+2 x (y0) D．y= −x2+2x(y0)
【答案】C
【解析】由图象可知函数是偶函数,且定义域为 ( − 2 , 0 )  ( 0 , 2 ) ，且值域为 ( 0 ,1  .
排除B、D；
2
对于A， x 4−x2 =
x2(
4−
x2)



x2+4− x2 
 ，即 x 4−x2 2，
 2 
 
当且仅当 x 2 = 4 − x 2 时取等号，即当 x =  2 时取等号，
所以该函数的值域不符合题意，因此本选项函数解析式不符合题意；
故选：C.
6． 4 c o s 8 0 0 + 3 t a n 1 0 0 = ( )
2 3−1 3+1
A.1 B. C. D.
3 2 2
【答案】A
3sin100
【解析】4cos800 + 3tan100 =4sin100 +
cos1004sin100cos100 + 3sin100 2sin200 + 3sin100
= =
cos100 cos100
2sin(300 −100)+ 3sin100 cos100 − 3sin100 + 3sin100
= = =1
cos100 cos100
故选：A.
7. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练 N个单位的数据量所需要的时间 T = k l o g
2
N
（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从 1 0 6 个单位增加到1.024109
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024109个单位增加到8.192109个单
位时，训练时间增加（ ）
A. 2h B. 4h C.6h D.8h
【答案】C
【解析】设当 N 取 1 0 6 个单位、 1 . 0 2 4  1 0 9 个单位、8.192109个单位时所需时间分别为
T,T ,T ,
1 2 3
由题意， T
1
= k l o g
2
1 0 6 = 6 k l o g
2
1 0 ，
T =klog ( 1.024109) =klog ( 210106) =k(10+6log 10) ，
2 2 2 2
T =klog ( 8.192109) =klog ( 213106) =k(13+6log 10) ，
3 2 2 2
因为T −T =k(10+6log 10)−6klog 10=10k =20，所以
2 1 2 2
k = 2 ，
所以T −T =k(13+6log 10)−k(10+6log 10)=3k =6，
3 2 2 2
当训练数据量N从 1 . 0 2 4  1 0 9 个单位增加到 8 . 1 9 2  1 0 9 个单位时，训练时间增加6小时.
8. 安徽某高中高一研学游有“皖东”、“皖南”、“皖西”、“皖北”、“皖中”5条线路，现高一年
级有1-10班共10个班级，每条线路有且仅有两个班级，已知“皖东”线路的两个班级班号
不相邻，“皖南”线路的两个班级班号也不相邻，则共有（ ）种不同的选择.
A.68040 B.72900 C.73080 D. 74340
【答案】C
【解析】1-10中选出2组不相邻的班级安排给“皖东”和“皖南”共有C1C1+C2C2 =812,
7 8 7 9（也可以从反面考虑 C 21
0
C 28 − C 12 C 19 C 28 + A 27 + C 17 A 22 = 8 1 2 ）
其余6个班级均匀分成三组选择另3条线路共有 C 26 C 24 = 9 0 ,
故共有 8 1 2  9 0 = 7 3 0 8 0 . 故选：C.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设随机变量  等可能取 − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ，则 P ( 0 )
1
2
  =
B. 已知随机变量 ~ B 2 ,
1
4

  1
，则 E(3−2)=−
2
C. 若随机变量  的概率分布为 P ( n )
n
a
1
( n 1 , 2 )  = =
+
= 且 a 是常数，则 a =
6
5
D. 设随机变量  服从两点分布，则 P ( 1 )
1
2
 = =
【答案】BC
【解析】对于A， P ( 0 )
2
5
  = ，故A错误；
对于B，因 E ( ) 2
1
4
1
2
 =  = ,故 E ( 3 2 ) 3 E ( ) 2
1
2
  − = − = − ，故B正确；
对于C，依题意， P ( 1 ) P ( 2 )
a
2
a
3
1   = + = = + = ，解得 a =
6
5
，故C正确；
对于D，两点分布成功的概率是未知的，由具体随机事件确定，故D错误.
故选：BC.
10. 已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r 和
1
r ，母线长为l，球的表面积与体积分别为S 和V ，圆台的表面积与体积分别为S 和V .则
2 1 1 2 2
下列说法正确的是（ ）
A. l =r +r B. R= rr
1 2 1 2
S 2 S V
C. 1 的最大值为 D. 1 = 1
S 3 S V
2 2 2
【答案】ABD
【解析】由切线长定理易得l =r +r ，A正确；
1 2
由勾股定理知(2R)2 =(r +r )2 −(r −r )2 =4rr ，解得R= rr ，B正确；
1 2 1 2 1 2 1 2S 2rr 2 2
1 = 1 2 = 
因为 S r2 +r2 +rr r r 3 ，当且仅当
2 1 2 1 2 1 + 2 +1
r r
2 1
r1 = r
2
时，等号成立，
这与圆台的定义矛盾，故C错误；
S 4πR2 4πR2 2R2
1 = = =
因为
S π ( r2 +r2 +(r +r )l ) 2π ( r2 +r2 +rr ) r2 +r2 +rr
，
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4
πR3 πR3
V 3 3 2R2
1 = = = ，
V 2 1 π ( r2 +r2 +rr ) h 2Rπ ( r2 +r2 +rr ) r 1 2 +r 2 2 +r 1 r 2
3 1 2 1 2 3 1 2 1 2
S V
所以 1 = 1 ,D正确. 故选：ABD.
S V
2 2
11. 已知函数 f ( x ) 的定义域为R ， y = f ( x ) − s i n 2 x 为偶函数， y = f ( x ) + 2 c o s x 为奇函
数，则( )
A. f ( x ) 的最小正周期为 2  B. x
6

= − 是 f ( x ) 的一条对称轴
C. f ( x )
3 3 3 3
的值域为[− , ] D.
2 2
f ( x )
 7
在区间(− , )上单调递增
6 6
【答案】ACD
【解析】因 y = f ( x ) − s i n 2 x 为偶函数，则 f ( − x ) + s i n 2 x = f ( x ) − s i n 2 x ①，
又y = f (x)+2cosx为奇函数，则 f ( − x ) + 2 c o s x = − f ( x ) − 2 c o s x ②，
由①−②，整理得 f ( x ) = s i n 2 x − 2 c o s x ，
 3
f(− )=− −1, f(0)=−2故B错误；
3 2
易知 f(x+2)= f(x)，所以 2 是函数 f(x)的周期，
f(x)=2cos2x+2sinx=2−4sin2x+2sinx=−2(sinx−1)(2sinx+1)
 7 7 11
在区间(− , )上， f(x)0,在区间( , )上， f(x)0,
6 6 6 6
故A、D正确；
 3 3 7 3 3
f(− )=− , f( )= ，故C正确. 故选：ACD.
6 2 6 2三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.等边  A B C 面积为 3 ，则
A B   A C  =
.
【答案】2.
【解析】  A B C 面积为 3 可得边长为2，
A B    
与AC夹角为
3

所以ABAC =2.
13.已知 a
n
= 9 n − 8 ，b =3n +1，由数列
n
 a
n
 和  b
n
 的公共项构成数列  c
n
 ，则数列
c 的第5项是数列
n
 a
n
 的第 项．
【答案】82.
【解析】设 a
k
= b
m
，得 9 k − 8 = 3 m + 1 ， k = 3 m − 2 + 1 ， m  2 ， m  N *， k  N * ，
当m=6时，  c
n
 取第5项得 k = 8 2 ，
14. 已知抛物线 E : x 2 = 8 y ， A , B , C , D 是抛物线 E 上异于点 P ( 2 2 ,1 ) 的四个动点，直线
PA,PB,PC,PD的斜率分别为 k
1
, k
2
, k
3
, k
4
，且
1
k
1
+
1
k
2
=
1
k
3
+
1
k
4
= 2 2 ，过点 Q (1 ,1 ) 分别作
AB,CD的垂线，垂足分别为 M , N ，则线段 M N 长度的最大值为 ．
【答案】 5 .
【解析】设 A ( m ,
m
8
2
) ， B ( n ,
n
8
2
) ，
1 1 m−2 2 n−2 2 8 8
则 + = + = + =2 2，
k k m2 n2 m+2 2 n+2 2
1 2 −1 −1
8 8
化为mn=8，即 n =
8
m
；
则直线AB的方程为 y −
m
8
2
=
m 2
8m
−
−
n
8n
2
( x − m ) ，
m2 +8
化为y= x−1，则直线AB恒过定点
8m
H ( 0 , − 1 ) ；
同理可得直线CD也恒过定点H(0,−1)，
又QM ⊥ AB，QN ⊥CD，可得M ，N在以QH 为直径的圆上，
所以MN 的最大值为直径|QH|= 5．（当AB,CD垂直时取等号）四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15.（13分）在ABC中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，且 B =
π
3
，若点 M 是 B C 的中
1
点，AM = AC.
2
（1）求
a
c
的值；
（2）若ABC的外接圆面积为
4 π
3
, 求ABC的面积 S .
【解析】（1）在  A B M 中，因 B M =
1
2
a
π
，B= ，由余弦定理可得：
3
1 1
AM2 = AB2+BM2−2ABBMcosB=c2+ a2− ac，
4 2
在ABC中，由余弦定理可得：
AC2 = AB2+BC2−2ABBCcosB=c2+a2−ac，
1
因为AM = AC，即
2
A C 2 = 4 A M 2 ，
 1 1 
可得c2+a2−ac=4c2+ a2− ac=4c2+a2−2ac，解得
 4 2 
a
c
= 3 . （6分）
（2）若  A B C 的外接圆面积为
4 π
3
, 可得外接圆半径为 R =
2
3
3
,
b
由 =2R可得
sinB
b = 2 ,
b2 =a2 +c2 −2accosB=7c2 =4可得 c 2 =
4
7
.
1 3 3 3 3
S = acsinB= c2 = . （13分）
2 4 7
16．(15分) 在五面体 A B C D E F 中， C D ⊥ 平面 A D E ，EF ⊥平面ADE．
(1)求证： A B / / C D ；
(2)若AB=2AD=2EF =2，  A D E =  C B F = 9 0  ， FC = 5，求二面角A−BF−C．
【解析】（1）证明：因为CD⊥平面ADE，EF ⊥平面ADE，
所以CD//EF，因为CD 平面 A B E F ， E F  平面 A B E F ，
所以CD//平面 A B E F ，
因为平面 A B E F  平面 A B C D = A B ， A B  平面ABCD，
所以AB//CD． （6分）
（2）易知DA,DC,DE两两垂直
如图以D为坐标原点， D A , D C , D E 所在的直线分别为 x ， y ，z轴建系，
设DC =a,DE =b，
则A(1,0,0),B(1,2,0),D(0,0,0),C(0,a,0),E(0,0,b),F(0,1,b)
，

故BF =(−1,−1,b),BC =(−1,a−2,0),
由于CBF =90，所以
B F   B C  =
1 + 2 − a = 0 ，故 a = 3 ，
由FC = 5可得 ( a − 1 ) 2 + b 2 = 5 ，故 b = 1 . （9分）
设平面 B F A 的法向量为
m
= ( x
1
, y
1
, z
1
) ，平面 B F C

的法向量为n=(x ,
2
y
2
, z
2
) ，

因为AB=(0,2,0)，
B F  =
( − 1 , − 1 ,1 ) ，

 ABm=0
所以 ，即
BFm=0
 −
2
x
y
1
1
−
=
y
0
1
,
+ z
1
= 0 ,

令x =1，则m=(1,0,1)，
1

因为BC=(−1,1,0)，
B F  =
( − 1 , − 1 ,1 ) ，

 BCn=0
所以 ，即
BFn=0
 −
−
x
x
2
2
+
−
y
y
2
2
=
+
0
z
,
2
= 0 ,

令x =1，则n=(1,1,2)，
2
设二面角A−BF−C为，由图可知为钝角，
mn 3 3
所以cos=−  =− =− ，故
m n 2 6 2
5 π
6
 = . (15分)
17．(15分) 蛇年春晚上的机器人表演相当精彩，让人们深刻感受到科技的飞速发展，现有
某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合
能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次
学习S后，有
1
3
的概率继续学习Y，
2
3
的概率学习W；每次学习W后，有
1
3
的概率继续学
习Y，
2
3
的概率学习S.
（1）每次学习技能Y可得2点技能点，每次学习S或W可得1点技能点，若机器人仅进
行三次学习，求所得技能点数的分布列及其数学期望；
（2）设 p
n
为该机器人第n次学习后接着学习技能Y的概率，求 p
n
（用 n 表示）.
【解析】（1）设三次学习所得技能点数为 X ,则X 的取值可以为4，5，
第一次学 Y ，第二次学 S ,第三次学 W
1 2 1
，则P=1  = ,
2 3 3
第一次学 Y ，第二次学 W ,第三次学 S ，则 P = 1 
1
2

2
3
=
1
3
,
1 2
故P(X =4)=2 = ,
3 3
第一次学 Y ，第二次学 S ,第三次学 Y ，则 P = 1 
1
2

1
3
=
1
6
,
第一次学 Y ，第二次学 W ,第三次学 Y ，则 P = 1 
1
2

1
3
=
1
6
,
1 1
故P(X =5)=2 = ,
6 3
故X 的分布列为：
X 4 5
P
2 1
3 3
2 1 13
故E(X)=4 +5 = （7分）
3 3 3
1 1 1 1
（2）已知 p =0， 且 p = (1− p ),p − =−  p −  ,
1 n+1 3 n n+1 4 3 n 4
 1 1 1
因此p − 为等比数列，且公比为− ，首项为− ，
 n 4 3 4n−1
1 1 1
故 p − =− − ，故
 
n 4 4 3
p
n
= −
1
4

−
1
3

n − 1
+
1
4
. （15分）
18. （17分）已知曲线C上的点到点 F ( 1 , 0 ) 的距离和到直线 x = 2 的距离比值为
2
2
．
(1)求曲线C的标准方程；
(2) 点 P ( x
0
, y
0
) ( x
0
 0 ) 是曲线C上动点，直线 l ： x
0
x + 2 y
0
y − 2 = 0 ，过原点 O 作以点
P为圆心，半径为1的圆的两条切线，分别交直线 l 于点 A ( x
1
, y
1
) , B ( x
2
, y
2
) .
①求证：y + y =0；
1 2
②求  O A B 面积的取值范围．
【解析】：（1）设曲线C上点
(x,y)
2
则 (x−1)2 + y2 = |x−2|
2
化简可得：
x
2
2
+ y 2 = 1 . （4分）
（2）①设过原点 O 与圆相切的直线为x=ty（因为 x
0
 0 ，易知切线斜率不为0）
|x −ty |
0 0 =1
则
1+t2
化简得： ( 1 − y 20 ) t 2 + 2 x
0
y
0
t + 1 − x
0
2 = 0
x2 −2y  2
因为 0 + y2 =1，故解得t = 0
2 0 x
0
又因为 x = t y 且 x
0
x + 2 y
0
y − 2 = 0
则y = 2 ，所以y + y =0得证. （10分）
1,2 1 2
4y 2
②AB= 1+ 0 | y − y |
x 2 1 2
0
2
原点O到直线l的距离为 且0|x | 2
x 2 +4y 2 0
0 01 4y 2 2 2 2
所以S = 1+ 0 | y − y | = 2
OAB 2 x 2 1 2 x 2 +4y 2 |x |
0 0 0 0
所以OAB面积的取值范围为 [ 2 , +  ) . （17分）
19．（17分）已知函数 f ( x ) = e x .
（1）当 x  ( − 1 , 0 ) 时， f ( x )  m x + 1 恒成立，求 m 的取值范围；
 x 
（2）若 f   =exa的一个实根为x = x 且
lnx 0
x
0
 (
1
e
, 1 ) .
①求 a 的取值范围；
②证明：
1
a
 l n
1
x
0

1 + 1
4
+
a
1 6 a
.
【解析】(1)令 k ( x ) = e x − m x − 1 ,则 k  ( x ) = e x − m ，
易知k(x) 在 ( − 1 , 0 ) 上单调递增，
1
当m 时， k(x)0，则 k(x)k(0)=0,，
e
所以 f(x)mx+1恒成立,符合题意；
1
当 m1时，
e
k  ( x ) = 0 可得 x = l n m ，
k(x)在 ( − 1 , l n m ) 上单调递减，在 ( l n m , 0 ) 上单调递增，
因为k(0)=0，只需 k ( − 1 ) =
1
e
+ m − 1  0
1 1
，可得 m1− .
e e
当m1时，k(x)0，则 k(x)k(0)=0,不符合题意.
综上: m  1 −
1
e
. （5分）
(也可由y = f (x) 与y=mx+1在 ( − 1 , 0 ) 上的图像分析)
（2）①由 f

l n
x
x

= e x a
x
可得
elnx =exa
x x
所以 =1+alnx，即 −1−alnx=0，令t =lnx则t(−1,0).
lnx lnx
et et 1
可得 −1−at =0，即a= −
t t2 tet 1
设(t)= − ，
t2 t
t  ( − 1 , 0 ) .
(t-2)et +t
(t)= 0,所以
t3
( t )  在 ( − 1 , 0 ) 上单调递增，
1
(−1)= +1,
e
t 0 , ( t )  → → +  ，
所以a的取值范围是 (
1
e
+ 1 , +  ) . （10分）
x
（注： =1+alnx，令
lnx
t = l n x
et
可将等式右侧转化成一次式，则可通过 y = 和
t
y=at+1图像分析）
②欲证
1
a
 l n
1
x
0

1 + 1
4
+
a
1 6 a
等价于证明
1
a
 − t 
1 + 1
4
+
a
1 6 a
， t  ( − 1 , 0 ) ,
et
因为at = −1−1，
t
a  (
1
e
+ 1 , +  ) ,所以 − t 
1
a
. （12分）
因为et =at2 +t，由（1）可知 e t 
1
2
t + 1
（注：观察不等式右侧考虑二次方程的求根式， m 取
1
2
1+ 1+16a
可凑出 ）
4a
1
所以at2 +t  t+1，可得
2
− 1 −
4
1
a
+ 1 6 a
 t 
− 1 +
4
1
a
+ 1 6 a
，
综上：
1
a
 − t 
1 + 1
4
+
a
1 6 a
，所以
1
a
 l n
1
x
0

1 + 1
4
+
a
1 6 a
得证. （17分）