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湖北三所名校2025-2026学年高二下学期4月练习
数学试卷
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．下列导数运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用数字2，3，5可以组成 无重复数字的偶数的个数为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．5
4．在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆 ，直线 ，则直线 被圆 截得的最短弦
长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则 的图象在 处的切线方程为
（ ）
A． B．C． D．
8．已知点 是双曲线 上第一象限内的一点，点 、 是其左、右顶点，且 ，过点
作与直线 倾斜角互补的直线与直线 交于点 ，若点 在椭圆 上，则该双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 且 ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，每件法宝只有一种使用方法，乾坤圈、
混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确
的是（ ）
A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵 次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 种；
B．若哪吒与敌人对阵 次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法
有 种；
C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵 次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，阴
阳剑和九龙神火罩必须相邻使用，则不同的使用法宝的方法有 种；
D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵 次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮
比火尖枪更早使用，火尖枪比阴阳剑更早使用，则不同的使用法宝的方法有 种．
11．已知函数 ，则（ ）
A． B． 是函数 的一个单调区间C． D．存在 ，满足
三、填空题
12．已知等比数列 为递减数列，其前 项和为 ， 且 ，则 ______．
13．已知函数 ，在区间 内任取两个实数 ，当 时，
不等式 恒成立，则实数 的最大值为______．
14．已知对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
______．
四、解答题
15．某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.
若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为 ；若当天选择围棋社，则后一天
选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为 ， ， ；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法
社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算：
(1)求小李第2天选择书法社的概率．
(2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率．
16．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面
底面ABCD，E是PD的中点．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)求直线AD与平面ACE所成角的正切值．17．已知数列 满足 ， ，其中
(1)求数列 的通项公式．
(2)记 ，求证： ．
(3)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．
18．已知函数 ，
(1)已知“函数 的图象关于点 对称”的充要条件是“ 对于定义域内任何
恒成立”，求函数 的对称中心．
(2)讨论方程 根的个数．
(3)当（2）中的方程有2个不同实根 时，求证 ．
19．已知椭圆 过点 ，原点为 ，过椭圆 的右焦点 的直线 与椭圆 交
于 两点，设线段 的中点为 ，且直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为 ．
(1)已知点 ， ，求椭圆 上的动点 到点 的最大距离．
(2)过右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点，以 为直径的圆恒过右焦点 ，且 的中点为 ．
证明：直线 过定点．
①
若椭圆 的左焦点为 ， 的延长线交椭圆 于点 ，若 ， ，求 的最大值．
②参考答案
1．D
【详解】设该直线的倾斜角为 ，则由题意 ，
又 ，所以 .
2．B
【详解】对于A，由 为常数，所以 ，所以A不正确；
对于B，由 ，所以B正确；
对于C，由复合函数的求导法则，可得 ，所以C错误；
对于D，由复合函数的求导法则，可得 ，所以D错误.
3．D
【详解】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个；
第二类组成两位整数，其中偶数有32和52，共2个；
第三类组成三位整数，其中偶数有352和532，共2个．
由分类加法计数原理知共有偶数5个．
4．B
【详解】以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体棱长为 ，则各点坐标为：
，
又因为 为 中点，所以 ，因为 为 中点，所以 ，
即 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，则
．5．B
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ．
将直线 的方程整理为关于 的式子： ．
令 ，解得 ，即直线 恒过定点 ．
由于 恒过定点 ，故当 时，直线 被圆 截得的弦最短．
计算 ．
最短弦长
6．A
【详解】因为 ， ，所以 ，即.
又 ①， 则 ②，
由②-①，得 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列， 是以 为首项， 为公差的等差数列
所以
7．B
【详解】因为 ，
则 ，
所以 ，又 ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 ．
8．B
【详解】由双曲线 ，左右顶点为 ，则 ，
因为 ，所以 ，得 ，即 .
设 ，满足 ，所以 ，
所以 ，
设 ，满足 ，所以 ，
所以 ，
因为直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 .
9．AC
【详解】对A：令 ，则 ，得 ，故A正确；
对B：由 ，则 ，
对 有 ， ，
对 有 ， ，
则 ，
故 ，故B错误；
对C：令 ，得 ，故C正确；
对D：令 ，得 ，
从而得 ，
又 ，从而 ，故D错误.
10．ABD
【详解】对于A，每次使用两种法宝有 种，
因可以重复使用，则对阵 次、不同的使用法宝的方法有 种，故A正确；
对于B，若恰好选用其中6件法宝，再将选出的6件法宝分成3组：2,2,2共有 种，则对阵3次，不同的使用法宝的方法有 种，
若7件法宝全部用完，则将7件法宝分成3组：2,2,3，共有 种，
则对阵3次、不同的使用法宝的方法有 种，
故不同的使用法宝的方法共有 种，B正确；
对于C，先将除乾坤圈、风火轮以外的5种法宝排列，
阴阳剑和九龙神火罩相邻共有 种，
这4个元素（捆绑后的阴阳剑和九龙神火罩，以及另外3件法宝）排列形成了5个空位
将乾坤圈、风火轮插入5个空位中有 种，则不同的使用法宝的方法有 种，
故C不正确；
对于D，先将7件法宝全排列共有 种，乾坤圈、风火轮、火尖枪、阴阳剑四种法宝全排列有 种,
所以不同的使用法宝的方法有 种，故D正确．
11．ABD
【详解】 ，则A正确；
，则 是单调
递增函数，因为 是函数 的一个单调递增区间，
由复合函数的单调性可知， 是函数 的一个单调递增区间，B正确；
，C错误；
因为 ，即只要判断 是否成立即可，令 ，
即 D正确．
12． /
【详解】设数列 公比为 ，依题意，得 ，
整理得 ，解得 或 ，
又等比数列 为递减数列，所以 ，
由 ，得到 .
13．
【详解】 ．
因为 ， ，亦即 ．
令 ，
则问题等价转化为 是增函数．
所以 在 恒成立，
即 在 恒成立，所以 在 恒成立，所以
在 恒成立．
令 ，则 ，
因为二次函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，
即 ，所以 是增函数，
所以 ，即 ，所以实数 的最大值为 ．
14． ．
【详解】由 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 恒成立，
即 恒成立，
整理得 恒成立，
即 恒成立，
构造函数 ，根据单调性的性质可知，函数 单调递增，
故原不等式等价于 ，即 ，
令 ，则 ，求导得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
因此 在 处取得最小值； ，即 ，从而可得 ，即 的取值范围是 ．
15．(1)
(2)
【详解】（1）设事件 分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件 表示第2天选择书法
社.
由题意， 两两互斥且构成完备事件组，且
由全概率公式：
∴小李第2天选择书法社的概率为 .
（2）
∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为 .
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为底面 是正方形，所以 ，
又因为平面 平面 ，且平面 底面 ，
底面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
又因为 是正三角形， 是 的中点，所以 ．
因为 ，且 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）解法1：作 ，垂足为 ，连接 ．
因为平面 平面 ， ，
且 ， ，则 ．
所以 为 在平面 上的射影， 为直线 与平面 所成的角．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ．
在 中， ．
所以 ．
所以直线 与平面 所成角的正切值为 ．
解法2：以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间
直角坐标系．
已知底面 边长为 ， 是正三角形，
所以 ，则 ，
因为 是 的中点，故 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ．
故 ．
所以 ．
所以直线 与平面 所成角的正切值为 ．
17．(1) ，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1） ，又 ，
则数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ，
则 ， ，
以上各式相加可得 ， ，当 时，
满足题意，
.（2）由（1）可得 ，
，
.
（3）由题意有： 对 恒成立，
可得：不等式 对 恒成立，又 ，
可得： 对 恒成立，
记 ，
则
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以，当 时， 取得最大值为 ， .
综上，实数 的取值范围是 .
18．(1)
(2)当 或 时，方程有1个根；当 或 时，方程有2个根；当 时，方程
有3个根；当 时，方程没有根.
(3)证明见解析
【详解】（1）根据题意，对称中心 满足 对任意 恒成立，
因为 ， ，故 ，对比充要条件，
取 ，则 ，故 .
所以函数 的对称中心为 .
（2）因为 ，因为 单调递增，所以 单调递减，所以 单调递增，
因为 ，由（1）知 ，所以 ，
即 ，所以问题转化为求方程 的根的个数.
令 ，则需研究 的图象与 的交点个数，
因为 ，令 ，得 或 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；当 时， ，
单调递减，
所以 在 取到极小值为 ，
在 取到极大值为 .
当 时， ，当 时， ，根据 的图象可得：
当 或 时，方程有1个根；当 或 时，方程有2个根；当 时，方程有3个根；当 时，方程没有根.
（3）当方程有两个根时，则 或 ，分情况：
当 时，根为 ，所以 ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时，此时 ，
要证 ，等价于证明 ，
因为 ，且 在 上单调递增，
所以只需证 ，
又因为 ，所以只需证 .
设 ，我们只需证明在 时， .
因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
当 时， ，故 ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，
即 对任意 成立.
因为 ，所以 ，因此原不等式 得证.
综上，三种情况均已证明，原命题成立.
19．(1)当 时，最大距离为 ；当 时，最大距离为
(2) 证明见解析；
① ②
【详解】（1）解：设点 ，且 在椭圆上，可得 且 ，
两式相减，得 ，即 ，
所以
因为 ，可得 ，所以 ，则 ，
又因为椭圆 过点 ，可得 ，
联立方程组，可得 ，所以椭圆 方程为：
设点 ，可得 ，
则 ，
其对称轴为 ，而 ，
当 ，即 时， 在 时取得最大值，且 ；当 ，即 时， 在 时取得最大值，且 ．
综上可得，当 时，最大距离为 ；
当 时，最大距离为 ．
（2）解： 当直线 的斜率存在且不等于零时，设斜率为 ，
①
因 ，所以直线 的斜率为 ，
由椭圆 的右焦点 ，直线 的方程为 ，设 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
且 ， ，
所以线段 的中点M的坐标 ， ，即 ．
将直线 的方程 ，代入椭圆方程 ，
同理可得：线段 的中点N的坐标 ， ，即 ．
所以 的斜率 ，其中 ，
直线 的方程为： ，
化简 ，即当直线 的斜率不存在时， 与 轴垂直且过焦点 ，
根据椭圆的对称性可知 ，此时 为椭圆的长轴，可得 ，
所以直线 为 轴，过定点 ；
当直线 的斜率为0时， 与 轴垂直且过焦点 ，
根据椭圆的对称性可知 ，此时 为椭圆的长轴，可得 ，
所以直线 为 轴，过定点 ；
综上可得，直线 恒过定点 ．
（2） 设 ， ， ，设直线 的方程为 ，
②
联立方程组 ，整理得 ，
即 ，所以 ，即 ，
同理可得： ，
若 ，则
可得
整理得 ，
当 时， 取得最大值 ．
