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福建龙岩市高级中学等校2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学试卷
一、单选题
1．已知向量 与 共线，则实数 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知O是坐标原点，空间向量 ， ， ，若线段AB的中点为D，则
（ ）
A． B．3 C．8 D．9
4．若函数 ，则函数 从 到 的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
5．已知空间三点 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．函数 的大致图象为（ ）
A． B．C． D．
7．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
8．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，已知 ， ， ，则（ ）.
A．点 关于 平面对称的点是
B．点 关于 轴对称的点是
C．
D．
10．下列命题是真命题的有（ ）
A．平面 经过三点 ， ， ， 是平面 的法向量，则 ，
B．直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则 与 垂直
C．直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
D． ， ， ， 是空间四点，若 ， ， 不能构成空间的一个基底，那么 ， ， ，共面
11．已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 的单调递减区间为
B．存在 ，使得 有三个零点
C．当 时， 的极小值点为
D．当 时，曲线 的对称中心为
三、填空题
12．已知空间向量 ，则 __________．
13．已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是_________.
14．已知函数 在定义域内单调递增，则 的取值范围是_______.
四、解答题
15．在长方体 中， ， 为 与 的交点．
(1)用向量 表示 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．16．已知函数 在 处取得极值1.
(1)求 、b的值；
(2)求 在 上的最大值和最小值.
17．已知函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点，求实数 的取值范围；
18．如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ，
， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由.
19．已知函数 在点 处的切线 与直线 平行.
(1)求切线 的方程；
(2)判断 在 上零点的个数，并说明理由.参考答案
1．D
【详解】因为向量 与 共线，
所以 ，即 ，解得 或 ，
所以实数 的值为 或 .
故选：D.
2．D
【详解】因为 ，则 ，所以 ，
即曲线 在点 处的切线的斜率 ，设倾斜角为 ，
则 ，又 ，所以 .
故选：D
3．B
【详解】向量 ， ，线段AB的中点为D，则 ,
而 ，于是 ，
所以 .
故选：B
4．B
【详解】因为 ，所以 ， ，
故函数 从 到 的平均变化率为 .
故选：B.
5．C
【详解】∵ ，，
∴结合向量夹角范围易知： 与 的夹角为 ．
故选：C
6．B
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时，令 ，得 ，令 得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，当 时， 有最小值1，
只有选项B图象符合.
故选：B
7．D
【详解】依题意 ，令 得
所以 ，所以 ，故选D.
8．B
【详解】 有两个零点，即 有两个正实根，
即函数 与 的图象有2个交点．
直线 过定点 ，当该直线与曲线 相切时，设切点为 ，
又 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，故 有唯一零点 ，故 ，所以当直线 与曲线 相切时，切点为 ，则切线斜率为1．
要使函数 与 的图象有2个交点，则需满足 ，
所以 ．
故选：B．
9．ACD
【详解】点 关于 平面对称的点是 ，故A正确.
点 关于 轴对称的点是 ，故B不正确.
， ， ，
， ，故C、D均正确.
故选：ACD
10．BD
【详解】对于A， ，由题意知 ，
故 ，解得 ，A错误.
对于B， , 故
可得l与m垂直，B正确；
对于C， , 故
可得 在 内或 ，C错误；对于D, 是空间四点，若 ， ， 不能构成空间的一个基底，
则 ， ， 共面，可得 共面,D正确；
故选:
11．AD
【详解】由 ，得 ，
对于A，当 时， ，令 ，即 ，
解得 或 ，
当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递减，故A正确；
对于B，令 ，解得 或 ，
又 ，所以当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递增，
当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递减，
当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递增，
所以当 时，函数 取得极大值， ，
当 时，函数 取得极小值， ，
所以不存在 ，使得 有三个零点，故B错误；
对于C，令 ，解得 或 ，
又 ，所以当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递增，
当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递减，
当 时， 恒成立，所以 在区间 上单调递增，
所以， 是函数 的极小值点，故C错误；对于D，当 时，函数 ，曲线 ，
因为 的对称中心为 ，曲线 的图像可由 的图像向右平移1个单位，
再向下平移2个单位得到，
根据函数图像的平移性质，曲线 的对称中心为 ，故D正确.
故选：AD.
12．
【详解】已知空间向量 ，
则 ，
则 ．
故答案为： ．
13．
【详解】 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故答案为：
14．
【详解】 的定义域为 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，因为函数 ，
所以当 时 取得最大值9，
所以 ，即 的取值范围是 .
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为 为 与 的交点，且 为 的中点，
所以 ，又因为 ，
所以
（2）因为在长方体中，故以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图：
根据题意可得 ．
， ．
可得 ．
， ，
所以 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
16．(1) ，
(2)最大值为1，最小值为
【详解】（1）因为 ，该函数的定义域为 ，
则 ，
因为函数 在 处取得极值1，
则 ，解得 ， ，则 ，
所以， ，令 ，可得 ，列表如下：
1
+ 0
极大
增 减
值
所以，函数 在 取得极大值，合乎题意，故 ， .
（2）由（1）可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以， ，
又因为 ， ，
因为 ，
所以 ，故 .17．(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)
【详解】（1）若 ， ，
则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）由 ，可得 ，
由 有两个极值点，则 有两个变号零点，即 有两个正根，
所以 ，
解得 ，所以实数 的取值范围为 .
18．(1)证明见详解；
(2) ；
(3)存在， .
【详解】（1）取 中点 ，连接 、 ，又 是 的中点，所以 ，且 ，
又 ， ， ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
又 ，所以以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
令平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以平面 的法向量为 ，
令平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ， ，所以平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ；
（3）设 且 ，则 ，由（2）可得， ， ，
，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以平面 的法向量为 ，
又 ，点 到平面 的距离为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以在线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，且 .
19．(1)
(2)有且只有1个零点，理由见解析.【详解】（1） ，
所以切线的斜率 ，由题意得 .
所以 ，所以 ，
所以切线 的方程为 ，即 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
由 ，可得 ，
令 ，则 .
①当 时， ，
因为 ， ，则 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以 在 上无零点.
②当 时，令 ，
则 ，即 在 上单调递减，
又因为 ，
所以存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递娍，因为 ，
所以 在 上有且只有一个零点.
