福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学Word版含解析_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年05月试卷_0530福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试

福建省龙岩市一级校 2024-2025 学年高二下学期 4 月期中联考
数学试题
一、单选题
f x +Dx- f x 
1．设函数 f(x)满足lim 0 0 =1，则 f'x =（ ）
0
Dx®0 3Dx
1
A．1 B．2 C． D．3
3
ur uur ur uuur ur uur ur uuur ur uur ur
2．已知e ，e ，e 不共面，若AB=e +2e -e ，BC =le +me +e ，且A,B,C三点共线，则l+m=（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．-3 B．1 C．2 D．3
3．下列导数运算正确的是（ ）
¢
æex-1ö -2ex
A． 2x2+3 ¢ =4x+3 B．ç ÷ =
èex+1ø  ex+1 2
¢
ælnxö 1+lnx
C． ç ÷ = D．(2sinx+3cosx)¢ =2cosx-3sinx
è x ø x2
4．若直线l的一个方向向量为ur =  1,0,- 3  ，平面a的一个法向量为nr=(0,0,1)，则l与a所成的角为
（ ）
π π π 2π π 5π
A． B． C． 或 D． 或
6 3 3 3 6 6
5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已
1
知甲每局获胜的概率为 ，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，
3
 
则P A B =（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 4 5 8
6．给出下列四个图象：
ax2+1
函数 f x= 大的大致图象的可以是（ ）
exA．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
7．给定事件A,B,C，且PC>0，则下列结论：①若PA>0，PB>0且A,B互斥，则A,B不可能相互
独立；②若PAC+PB C=1，则A,B互为对立事件；③若PABC=PAPBPC，则A,B,C两两
独立；④若PAB =PA-PAPB，则A,B相互独立.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1 1
8．若a=2， ， ，则（ ）
b=1313 c=e e
A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b
二、多选题
1
9．若函数 f(x)=x- -alnx在(1,2)上单调递减，则实数a的值可能为（ ）
x
5
A．-2 B． C．3 D．4
2
10．已知W为随机试验的样本空间，事件A，B满足AÍW，BÍW，则下列说法正确的是（ ）
1 1 5
A．若A
I
B=Æ，且P(A)= ，P(B)= ，则P(A+B)=
2 3 6
1 1 5
B．若BÍ A，且P(A)= ，P(B)= ，则P(A+B)=
2 3 6
1 1 2
C．若P(A)= P(A∣B)= ，P(B)= ，则P(B∣A)=
2 3 3
1 3 3 2
D．若P(A)= ，P(A∣B)= ，P(A∣B)= ，则P(B)=
2 4 8 3
11．在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中，下列说法正确的是（ ）
1 1 1 1
A．若动点M 是VABC 内部一点（含边界，除点A外），则对任意M ，都有AM ^平面DBC
1 1 1 1 1
2
B．若P，Q分别为CD ，DD 的中点，则平面BPQ截该正方体所得的截面周长为 13+
1 1 1
2
41-2 2
C．若动点M 满足 AM =2CM ，则 AM 的最小值是
1
3
3
D．若动点M 在AC上，点N 在AD上，则 MN 的最小值为
1
3
三、填空题
12．已知事件A与事件B相互独立，且PA=0.3，PB=0.4，则PA
U
B=
uuur 1uuur uuur uuur uuur uuur
13．如图，在三棱锥P-ABC中，G为VABC的重心，PF = PC，PD=lPA，PE=mPB，l，
2uuuur 1uuur
mÎ(0,1)，若PG交平面DEF于点M，且PM = PG，则l+m的最小值为 ．
3
lnx
14．已知a>0且a¹1，若函数 f x=xa + 有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
lna
四、解答题
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．
(1)证明：DE//平面PBF．
(2)若PA= AB=1，BC =2，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．
ex
16．已知函数 f(x)= -mlnx+3x，mÎR．
x
(1)若曲线y= f(x)在x=1处的切线与直线y=x相互垂直，求m的值；
(2)若m=3，求 f(x)的极值．
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD^AB，侧面PAB^底面
1
ABCD，PA=PB= 7，AD= BC =2，且E,F分别为PC,CD的中点．
2
(1)证明：DE^BC．
(2)若直线PF与平面PAB所成的角为60°，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
18．甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得-1分，未抢到题得0分，最后
2 1
总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为 和 ．
3 2
(1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率；
(2)求甲在每轮比赛中获胜的概率；
(3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．
19．已知定义在区间D上的函数 f(x)，g(x)，若"x ，x ÎDx ¹ x ，存在一个正实数M，满足
1 2 1 2
f x - f x  <M gx -gx  ，则称g(x)是 f(x)的“M—陪伴函数”．
1 2 1 2
(1)已知D=[0,1]，判断函数g(x)=3x+1是否为函数 f(x)=x2+3x的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，
求M的最小值．
(2)证明：在同一给定闭区间[m,n]上的函数g(x)= kx+r(k ¹ 0)是函数 f(x)=ax2+bx+c(a¹0)的“M—陪伴函
数”．
x2
(3)已知D=[1,3]，若函数g(x)=x+1是函数 f(x)=m(x-1)ex-xlnx- 的“3—陪伴函数”，求实数m的取值
2
范围．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C C B D BCD ACD
题号 11
答案 BCD
1．D
利用导数的定义即可求值.
【详解】由导数的定义可得，
f x +Dx- f x  f x +Dx- f x 
f'x = lim 0 0 =3lim 0 0 =3.
0 Dx®0 Dx Dx®0 3Dx
故选：D
2．A
uuur uuur
由AB=mBC，列出方程求解即可.
【详解】因为A,B,C三点共线，
uuur uuur
所以AB=mBC，
ur uur ur ur uur ur
即e +2e -e =mle +mme +me ，
1 2 3 1 2 3
ìml=1
ï ìl=-1
所以ímm=2，解得í ，
ï
îm=-2
îm=-1
所以l+m=-3，
故选：A
3．D
由导数运算公式和运算法则逐一计算判断即可.
【详解】对于A， 2x2+3 ¢ =4x，故A错误；
æex-1ö ¢ ex ex+1  -ex ex-1  2ex
对于B，ç ÷ = = ，故B错误；
èex+1ø  ex+1 2  ex+1 2
¢
ælnxö 1-lnx
对于C， ç ÷ = ，故C错误；
è x ø x2
对于D，(2sinx+3cosx)¢ =2cosx-3sinx，故D正确.
故选：D
4．B由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案.
ur×nr
3 3 é πù π
【详解】由题意可知l与a夹角的正弦值为 = = ，且夹角的取值范围为 0, ，则夹角为 .
ur × nr 2´1 2 ê ë 2 ú û 3
故选：B.
5．C
     
求出P AB 、P B 的值，利用条件概率公式可求得P A B 的值.
  æ1ö 2 1
【详解】由题意可知，事件AB为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，P AB =ç ÷ = ，
è3ø 9
  æ1ö 2 æ2ö 2 5
P B =ç ÷ +ç ÷ = ，
è3ø è3ø 9
 
  P AB 1 9 1
由条件概率公式可得P A B = = ´ = .
P  B  9 5 5
故选：C.
6．C
分成a=0，a<0，a>0三种情况识别函数的图象得出结果.
1 æ1ö x
【详解】当a=0时， f x= =ç ÷ 是一个指数函数，在R上单调递减，所以②正确，①错误；
ex èeø
ax2+1 1 æ 1 ö æ 1 ö
当a<0时，由 f x= =0，即ax2+1=0，解得x=± - ，函数 f x与x轴交于ç - ,0÷,ç- - ,0÷
ç ÷ ç ÷
ex a è a ø è a ø
两点，显然四个图象都不相符；
ax2+1 ax2-2ax+1
当a>0时， f x= >0，所以③不相符；由 f¢x=- ，方程ax2-2ax+1=0的
ex ex
D=-2a2-4a=4aa-1，当a>1时，D>0， f¢x=0有两个不等的实根，则函数 f x两个极值点，当
x®+¥时， f x®0，当x®-¥时， f x®+¥，所以④相符.
故选：C.
7．B
根据独立事件概率公式可判断①正确；通过反例可说明②③错误；由PA=PAB+PAB
，结合独立事
件概率公式可知④正确.
【详解】对于①，若A,B互斥，则PAB=0，又PAPB>0，\PAB¹PAPB，\A,B不相互独立，①正确；
PAC PBC
对于②，Q PAC+PB C=
PC
+
PC
=1，\PAC+PBC=PC；
扔一枚骰子，记事件A为“点数大于两点”；事件B为“点数大于五点”；事件C为“点数大于一点”，
4 2 1 5
则PAC=PA= = ，PBC=PB= ，PC= ，
6 3 6 6
满足PAC+PBC=PC，但A,B不是对立事件，②错误；
对于③，扔一枚骰子，记事件A为“点数大于两点”；事件B为“点数大于五点”；事件C为“点数大于六点”，
4 2 1 1
则PA= = ，PB= ，PC=0，PABC=0，PAB=PB= ，
6 3 6 6
满足PABC=PAPBPC，此时PAB¹PAPB，
\事件A,B不相互独立，③错误；
对于④，
Q
A= AB
U
AB，事件AB与AB互斥，\PA=PAB+PAB
，
又PAB =PA-PAPB，\PA-PAB=PA-PAPB，
即PAB=PAPB，\事件A,B相互独立，④正确.
故选：B.
8．D
【详解】令 f x=x 1 x ，取自然对数得ln f x= 1 lnx，令gx=ln f x= 1 lnx
x x
¢ ¢
æ 1 ö æ 1 ö 1 lnx 1 2-lnx
g¢x= lnx = lnx+ lnx¢ =- + =
ç ÷ ç ÷
è x ø è x ø x 2x x x x 2x x
令g¢x=0，得x=e2
若xÎ  0,e2 ,g¢x>0，gx单调递增， f x单调递增；
若xÎ  e2,+¥  ,g¢x<0，gx单调递减， f x单调递减，
因为e<4<e2，所以 f e< f 4，而 1 ， 1 ，所以c<a；
a=2=4 4 c=e e
因为16>13>e2，所以 f 16< f 13，而 b=13 1 13 ， f 16=16 1 16 =2=a ，所以a<b
故c<a<b.
故选：D.9．BCD
1
【详解】根据题意可得函数 f(x)=x- -alnx的定义域为0,+¥，
x
1 a x2-ax+1
又 f¢(x)=1+ - = ，
x2 x x2
1 x2-ax+1
若函数 f(x)=x- -alnx在(1,2)上单调递减，可得 f¢(x)= £0在(1,2)上恒成立；
x x2
æ 1ö
即x2-ax+1£0在(1,2)上恒成立，所以a³çx+ ÷ ,xÎ(1,2)，
è xø
max
1
根据对勾函数性质可得y=x+ 在1,2上单调递增，
x
1 1 5 1 5
当x=1时x+ =1，当x=2时x+ = ，所以2<x+ < ，
x x 2 x 2
5
所以a³ ，
2
结合选择可知B、C、D符合题意.
故选：BCD
10．ACD
由事件的关系，结合概率运算，可得AB的正误；由条件概率与全概率公式，建立方程，可得答案.
5
【详解】对于A，由AÇB=Æ，则A与B互斥，所以PA+PB=PA+B= ，故A正确；
6
1
对于B，由BÍ A，则A+B= A，所以PA+B=PA= ，故B错误；
2
PAB
对于C，由PA B= ，则PAPB=PAB，即A与B相互独立，
PB
所以P  B A  = P  AB  = PAP  B  =1-PB= 2 ，故C正确；
PA PA 3
对于D，由P  A  =PBP  A B  +P  B  P  A B  ，且P  A  =1-PA，PB=1-P  B  ，
可得1-PA=é1-P  B ùP  A B  +P  B  P  A B  ，即1- 1 =é1-P  B ù´ 3 +P  B  × 3 ，
ë û ë û
2 4 8
2
解得P  B  = ，故D正确.
3
故选：ACD.
11．BCD
A举反例，当M 运动到B点时，此时AM 不垂直于BC；B采用延长线法可构造截面；C由 AM =2CM
1 1
可知动点M 的轨迹是球，在平面ABCD内找出球心，即可计算半径，则问题转化为A与球上的点间的距离
1的最小值；D以D为原点建系，求异面直线AC和AD的距离即可.
1
【详解】对于选项A，当M 运动到B点时，易知AM 不垂直于BC，
1 1
所以AM 不垂直于平面DBC，故A错误；
1 1
对于选项B，如图，设PQ
I
CC
1
=S,PQ
I
CD
1
=T，
连接BS 交BC 于点E，连接BT 交AD于点F ，连接QF,PE，
1 1
则五边形BEPQF即截面，
1
由题意得△SPC 为等腰直角三角形，则PC = SC = ，
1 1 1 2
BB BE
2 1
由BB//CS，得 1 = 1 =2，则BE = ，C E = ，
1 CS CE 1 3 1 3
1 1
4 13 æ1ö 2 æ1ö 2 13
所以BE= 1+ = ，PE= ç ÷ +ç ÷ = ，
9 3 è3ø è2ø 6
13 13
同理可得BF = ，QF = ，
3 6
因为P,Q分别为CD,DD 的中点，
1 1 1
2 2
所以PQ= ，则截面周长为 13+ ，故B正确；
2 2
对于选项C，由 AM =2CM ，得平面上点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，
空间中点M 的轨迹是球面，球心O在直线AC上，
2
由 AM =2CM 得CM = ； AM =2CM 得CM = 2，
1 1 1 3 2 2 2
M M 2 2 2 2 4 2
则半径R= 1 2 = ， AO = AM -R=2 2- = ，
2 3 2 3 3
32 41
则 AO = AA 2+ AO2 = 1+ = ，
1 1 9 341-2 2
所以 AM 的最小值为 AO -R= ，故C正确；
1 1 3
uuur uuur uuuur
对于选项D，以D为坐标原点，DA，DC，DD 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐
1
标系，
设mr =a,b,c且m ur ^ u A u C ur ,m ur ^ u D uu A ur ，
1
因D0,0,0,A1,0,0,C0,1,0,A 1,0,1，
1
uuur uuuur uuur
则AC =-1,1,0,DA =1,0,1,AA =0,0,1，
1 1
则 ì ï í ïî m m r r × × u u D A u u C u u A r ur = = - a a + + c b = = 0 0 ，令a=1，则mr =1,1,-1，
1
u A u A ur ×mr
1 3
所以异面直线AC和AD的距离为 1 = = ，
1 mr 3 3
因 MN 的最小值即异面直线AC和AD的距离，
1
3
故 MN 的最小值为 ，故D正确．
3
故选：BCD．
29
12．0.58/
50
利用独立事件的概率公式求出PAB，再由公式PAÈB=PA+PB-PAB可求得结果.【详解】因为事件A、B是相互独立的，则PAB=PA×PB=0.3´0.4=0.12，
所以，PAÈB=PA+PB-PAB=0.3+0.4-0.12=0.58.
故答案为：0.58.
4
13．
7
利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值.
uuur uur uuur uur uuur uuur uur uuur uur uuur uuur
2 1 1
【详解】因为PG=PA+AG=PA+ ´ (AB+AC)=PA+ (AP+PB+AP+PC)
3 2 3
1uuur 1uuur 1uuur
= PA+ PB+ PC，
3 3 3
uuur uuur uur uur uuur
1 1
所以PM = PG = (PA+PB+PC)，
3 9
uuur uuur uuur uuur uuur 1uuur
因为PD=lPA，PE=mPB，PF = PC，
2
uuuur 1 uuur 1 uuur 2uuur
所以PM = PD+ PE+ PF，
9l 9m 9
因为M,D,E,F 四点共面，
1 1 2 1 1
所以 + + =1，所以 + =7，
9l 9m 9 l m
1 1 1 1 m l 4
因为l+m= (l+m)( + )= (2+ + )³ ，
7 l m 7 l m 7
当且仅当l=m=1时等号成立，
4
所以l+m的最小值为 .
7
4
故答案为： .
7
æ 1ö æ1 ö
14．ç 0, ÷Uç ,1 ÷
è eø èe ø
1
ln
令 f x=0，同构可得 lnxa = a ，构建gx= lnx ,x>0，令t=xa，分析可知y=gt与y=g æ ç 1ö ÷有2
xa 1 x èaø
a
个不同的交点，利用导数分析gx的单调性和最值，结合gx的图象分析求解即可.
【详解】由题意可知： f x的定义域为0,+¥，
1
ln
令 f x=xa + lnx =0，则 alnx =-alna，可得 lnxa = a ，
lna xa xa 1
a构建gx= lnx ,x>0，可得g  xa =g æ ç 1ö ÷，
x èaø
令t=xa，注意到a>0且a¹1，则t=xa在0,+¥内单调递增，
æ1ö
可知y=gt与y=gç ÷有2个不同的交点，
èaø
lnx
对于函数gx= ,x>0，
x
令gx>0，则lnx>0，解得x>1；令gx<0，则lnx<0，解得0<x<1；
1-lnx
又因为g¢x= ,x>0，
x
令g¢x>0，解得0<x<e；令g¢x<0，解得x>e；
1
可知gx在0,e内单调递增，在e,+¥内单调递减，则gx£ge= ，
e
且当x趋近于+¥时，gx趋近于0，
可得gx的图象如图所示：
æ1ö æ 1ö 1 1 1
由图象可知：gç ÷Îç0, ÷，则 >1且 ¹e，可得0<a<1且a¹ ，
èaø è eø a a e
æ 1ö æ1 ö
所以实数a的取值范围是ç0, ÷Èç ,1÷.
è eø èe ø
æ 1ö æ1 ö
故答案为：ç0, ÷Èç ,1÷.
è eø èe ø
15．(1)证明见解析
2 165
(2)
165
（1）取PB的中点G，由EG//DF、EG=DF 得四边形EGFD为平行四边形，再由线面平行判定定理可得
答案；
（2）以A为坐标原点，u A u B ur，u A u D ur， u A u P ur 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出
平面PBF的法向量，再由线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）如图，取PB的中点G，连接EG，GF．1
E，G分别是PA，PB的中点， EG//AB，且EG= AB．
Q Q
2
1 1
DF//AB，且DF = CD= AB，\EG//DF ，\EG=DF,
Q
2 2
\四边形EGFD为平行四边形，
\DE//FG．又DEÌ/ 平面PBF，FGÌ平面PBF，\DE//平面PBF；
（2）以A为坐标原点，u A u B ur，u A u D ur， u A u P ur 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向
æ1 ö
建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，Fç ,2,0÷，D(0,2,0)，
è2 ø
uuur uur uuur æ 1 ö
\DP=(0,-2,1)，BP=(-1,0,1)，BF= ç - ,2,0 ÷．
è 2 ø
ì
ïnr× u B u P ur =-p+r=0
ï
设平面PBF的法向量为nr=p,q,r，则í
，
ï
ïnr× u B u F ur =- 1 p+2q=0
î 2
取r
=4，则p=4,q=1，所以nr=4,1,4，
则 cos nr, u D uu P r = nr× u D uu P r = 4´0+1´(-2)+4´1 = 2 165 ，
nr u D uu P r 42+12+42 ´ (-2)2+12 165
2 165
\直线PD与平面PBF所成角的正弦值为 ．
165
16．(1)m=4
(2)极小值e+3，无极大值
（1）求出函数 f(x)的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出参数值.
（2）把m=3代入，利用导数求出函数的极值.
ex ex(x-1) m
【详解】（1）函数 f(x)= -mlnx+3x，求导得 f¢(x)= - +3，
x x2 x
则 f¢(1)=-m+3，由切线与直线y=x相互垂直，得(-m+3)´1= -1，所以m=4.ex
（2）当m=3时， f(x)= -3lnx+3x的定义域为(0,+¥)，
x
ex(x-1) 3 (ex+3x)(x-1)
则 f¢(x)= - +3= ，当0<x<1时， f¢(x)<0，当x>1时， f¢(x)>0，
x2 x x2
函数 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+¥)上单调递增，
所以 f(x)在x=1处取得极小值e+3，无极大值．
17．(1)证明见解析
2 17
(2)
17
1
（1）先作辅助线构造平行四边形，利用中位线定理得到ME//BC且ME = BC，结合已知AD//BC且
2
1
AD = BC，推出ME//AD且ME= AD，从而得出四边形ADEM 是平行四边形，得到DE//AM ， 再证明
2
线面垂直得到BC^ AB，再根据面面垂直性质定理，得到BC^平面PAB，最后得出结论.
（2）由（1）知BC^平面PAB．作辅助线，求证FG^平面PAB，得到PF与平面PAB所成的角为ÐGPF，
即ÐGPF =60°．求出PG= 3．AG=2，再建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出平面法向量坐标，
结合向量夹角余弦公式计算即可.
【详解】（1）如图，取PB的中点M，连接AM,EM．
1
因为E为PC的中点，所以ME//BC，ME = BC．
2
1
又因为AD//BC，AD = BC，所以ME//AD，ME= AD，
2
所以四边形ADEM 为平行四边形，则DE//AM ．
因为AD//BC，AD^AB，所以BC^ AB．
因为平面PAB^平面ABCD，平面PABÇ平面ABCD= AB，BCÌ平面ABCD，
所以BC^平面PAB．
又AM Ì平面PAB，所以BC^AM ，
又DE//AM ，所以DE^BC．
（2）由（1）知BC^平面PAB．取AB的中点G，连接FG,PG，则FG//BC，
所以FG^平面PAB，所以PF与平面PAB所成的角为ÐGPF，即ÐGPF =60°．
1
又因为GF = (AD+BC)=3，所以PG= 3．
2
又因为PA=PB= 7，所以AG=BG= PB2-PG2 = 7-3=2．
以G为坐标原点，GB,GF,GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，  uuur   uuur
则P 0,0, 3 ，C(2,4,0)，D(-2,2,0)，所以PC = 2,4,- 3 ，CD=(-4,-2,0)．
ur
设平面PCD的法向量为n =(x,y,z)，
1
ur uuur
ì ïn ×PC =2x+4y- 3z=0 ur  
则í 1
ur uuur
，取x=1，则n
1
= 1,-2,-2 3 ．
ïî n ×CD=-4x-2y=0
1
uur
易知平面PAB的一个法向量为n =(0,1,0)．
2
设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为q，
ur uur
n ×n
2 2 17
1 2
所以cosq= = = ，
ur uur
n n 17 17
1 2
2 17
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 ．
17
11
18．(1)
36
539
(2)
864
25
(3)
1458
（1）求出甲在一轮比赛中共抢到1题和3题的概率，即可求出甲在一轮比赛中获得1分的概率；
（2）求出甲在一轮比赛中共抢到0~3题的概率，得出在抢到不同题量的情况下获胜的概率，即可求出甲在
每轮比赛中获胜的概率；
（3）求出甲得0~3分的概率，即可得出甲前三轮累计得分恰为6分的概率.
【详解】（1）由题意，设甲在一轮比赛中共抢到i（i=0,1,2,3）道题为事件A，
i
甲在一轮比赛中得i（i=0,1,2,3）分为事件B，
i
æ1ö 3 3 æ1ö 3 1
则PA=C1 ç ÷ = ,PA =ç ÷ = ，
1 3 è2ø 8 3 è2ø 8
2 æ2ö 2 æ 2ö 11
PB =PA´ +PA ´C2´ç ÷ ´ç1- ÷= ，
1 1 3 3 3 è3ø è 3ø 3611
∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为 .
36
（2）由题意及（1）得
æ1ö 3 1 æ1ö 3 3 æ1ö 3 3 æ1ö 3 1
PA =ç ÷ = ,PA=C2 ç ÷ = ,PA =C2 ç ÷ = ,PA =ç ÷ = ,
0 è2ø 8 1 3 è2ø 8 2 3 è2ø 8 3 è2ø 8
设甲在一轮比赛中获胜为事件C，
∵PC A = æ ç 1ö ÷ 3 +C1´ 1 ´ æ ç 1ö ÷ 2 = 1 ，
0 è2ø 3 2 è2ø 2
PC A= 2 ´ æ ç 1 ´ 1 +2´ 1 ´ 1ö ÷+ æ ç1- 2ö ÷´ 1 ´ 1 = 7 ，
1 3 è2 2 2 2ø è 3ø 2 2 12
PC A = æ ç 2ö ÷ 2 +C1´ 2 ´ æ ç1- 2ö ÷´ æ ç1- 1ö ÷= 2 ，
2 è3ø 2 3 è 3ø è 2ø 3
PC A = æ ç 2ö ÷ 3 +C2 æ ç 2ö ÷ 2 ´ æ ç1- 2ö ÷= 20 ，
3 è3ø 3 è3ø è 3ø 27
∴P(C)=PA PC A +PAPC A+PA PC A +PA PC A 
0 0 1 1 2 2 3 3
1 1 3 7 3 2 1 20 539
= ´ + ´ + ´ + ´ = ，
8 2 8 12 8 3 8 27 864
539
∴甲在每轮比赛中获胜的概率为 .
864
（3）由题意，（1）及（2）得，
2 æ 2ö 7 11
PB =PA ´2´ ´ç1- ÷+PA = ，PB = ，
0 2 3 è 3ø 0 24 1 36
æ2ö 2 1 æ2ö 3 1
PB =PA ´ç ÷ = ，PB =PA ´ç ÷ = ，
2 2 è3ø 6 3 3 è3ø 27
设甲前三轮累计得分恰为6分为事件D，
∴PD=C1´PB ´PB ´PB +A3PB ´PB ´PB +PB ´PB ´PB 
3 3 3 0 3 3 2 1 2 2 2
1 1 7 1 1 11 1 1 1 25
=3´ ´ ´ +6´ ´ ´ + ´ ´ =
27 27 24 27 6 36 6 6 6 1458
25
∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为 .
1458
5
19．(1)是，理由见解析，M 的最小值是
3
(2)证明见解析；
é1 7+ln3ù
(3) ,
ê ëe3 3e3 ú ûx +x +3 æ 5ö 5
（1）根据陪伴函数定义计算得 1 2 Îç1, ÷，则M ³ ，则确定M 的最小值；
3 è 3ø 3
f x - f x  |a| x + x +|b|
（2）通过放缩得 1 2 £ 1 2 ，再记s=maxx , x  ，则
gx -gx  |k| 1 2
1 2
f x - f x  2s×|a|+|b|
1 2 < ，则得到 f x - f x  <M gx -gx  ，即证明原命题；
gx -gx  |k| 1 2 1 2
1 2
（3）根据陪伴函数的定义得 f x - f x  <3 x -x ，通过合理变形并整体求导得-3£mxex-x-lnx-1£3，
1 2 1 2
x+lnx-2 4+x+lnx
则故 £m£ (xÎ[1,3])．再设新函数，通过多次求导和隐零点法即可得到其范围.
xex xex
【详解】（1）假设g(x)是 f(x)的＂M —陪伴函数＂，
则"x,x Î[0,1]x ¹ x , f x - f x  <M gx -gx  ，
1 2 1 2 1 2 1 2
即 x2-x2+3x -x  <3M x -x ，
1 2 1 2 1 2
x +x +3
则"x,x Î[0,1]x ¹ x ,M > 1 2 ．
1 2 1 2 3
x +x +3 æ 5ö
因为x 1 ,x 2 Î[0,1]且x 1 ¹ x 2 ，所以x 1 +x 2 +3Î(3,5)，则 1 3 2 Îç è 1, 3 ÷ ø ，
5 5
因此M ³ ，因此g(x)是 f(x)的＂M －䧄伴函数＂，且M 的最小值是 ．
3 3
（2）已知g(x)=kx+r(k ¹0),xÎ[m,n], f(x)=ax2+bx+c(a¹0),xÎ[m,n]，
"x,x Î[m,n]x ¹ x ，
1 2 1 2
f x - f x  a  x2-x2 +bx -x  ax +x +b
1 2 = 1 2 1 2 = 1 2
gx -gx  |k| x -x |k|
1 2 1 2
a x +x + b a  x + x + b
£ 1 2 £ 1 2 .
k k
f x - f x  2s×|a|+|b|
记s=maxx , x  ，则 1 2 < ．
1 2 gx -gx  |k|
1 2
2s×|a|+|b| f x - f x 
记M = ，则 1 2 <M ，
|k| gx -gx 
1 2
即 f x - f x  <M gx -gx  ，
1 2 1 2
因此g(x)是 f(x)的＂M—陪伴函数＂，
即在同一给定闭区间m,n上的函数g(x)= kx+r(k ¹ 0)是函数 f(x)=ax2+bx+c(a¹0)的＂M－陪伴函数＂．（3）由题知"x,x Î[1,3]x ¹ x , f x - f x  <3 gx -gx  ，
1 2 1 2 1 2 1 2
即 f x - f x  <3 x -x ，不妨假设x <x ，
1 2 1 2 1 2
则3x -3x < f x - f x <3x -3x ，
1 2 1 2 2 1
则 f x +3x < f x +3x ，且 f x -3x > f x -3x ，
1 1 2 2 1 1 2 2
所以函数 f(x)+3x单调递增，函数 f(x)-3x单调递减，
所以[f(x)+3x]¢= f¢(x)+3³0,[f(x)-3x]¢= f¢(x)-3£0，
则"xÎ[1,3],-3£ f¢(x)£3．又 f¢(x)=mxex-lnx-x-1，
所以-3£mxex-x-lnx-1£3，
x+lnx-2 4+x+lnx
故 £m£ (xÎ[1,3])．
xex xex
x+lnx+4 (1+x)(-3-lnx-x)
令h(x)= (xÎ[1,3])，则h¢(x)= ，
xex x2ex
令u(x)=-3-lnx-x(xÎ[1,3])，易知u(x)在1,3上单调递减，
则u(x)£u(1)=-4<0，所以h¢(x)<0，
7+ln3
则h(x)在1,3上单调递减，则h(x) =h(3)= ，
min 3ex
7+ln3
因此m£ ．
3e3
x+lnx-2 (x+1)(3-x-lnx)
令r(x)= (xÎ[1,3])，则r¢(x)= ．
xex x2ex
令v(x)=3-lnx-x(xÎ[1,3])，易知v(x)在1,3上单调递减，且v(1)=2>0,v(3)=-ln3<0，
则$x Î[1,3],vx =3-lnx -x =0，即3=lnx +x ．
0 0 0 0 0 0
当xÎ1,x 时，v(x)>0，即r¢(x)>0，则r(x)在1,x 上单调递增；
0 0
当xÎx ,3时，v(x)<0，即r¢(x)<0，则r(x)在x ,3上单调递减．
0 0
x +lnx -2 3-2 1
所以r(x) =rx = 0 0 = = ．
max 0 x ex0 x ex0 x ex0
0 0 0
1
由3=lnx +x ，得e3 =elnx0+x0 =x ×ex0，则r(x) = ，
0 0 0 max ex
1
因此m³ ．
e3
1 7+ln3 1 7+ln3
又 < ，所以 £m£ ，
e3 3e3 e3 3e3é1 7+ln3ù
即实数m的取值范围为 , ．
ê ëe3 3e3 ú û