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福建省龙岩市一级校 2024-2025 学年高二下学期 4 月期中联考
数学试题
一、单选题
f x +Dx- f x
1．设函数 f(x)满足lim 0 0 =1，则 f'x =（ ）
0
Dx®0 3Dx
1
A．1 B．2 C． D．3
3
ur uur ur uuur ur uur ur uuur ur uur ur
2．已知e ，e ，e 不共面，若AB=e +2e -e ，BC =le +me +e ，且A,B,C三点共线，则l+m=（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．-3 B．1 C．2 D．3
3．下列导数运算正确的是（ ）
¢
æex-1ö -2ex
A． 2x2+3 ¢ =4x+3 B．ç ÷ =
èex+1ø ex+1 2
¢
ælnxö 1+lnx
C． ç ÷ = D．(2sinx+3cosx)¢ =2cosx-3sinx
è x ø x2
4．若直线l的一个方向向量为ur = 1,0,- 3 ，平面a的一个法向量为nr=(0,0,1)，则l与a所成的角为
（ ）
π π π 2π π 5π
A． B． C． 或 D． 或
6 3 3 3 6 6
5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已
1
知甲每局获胜的概率为 ，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，
3
则P A B =（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 4 5 8
6．给出下列四个图象：
ax2+1
函数 f x= 大的大致图象的可以是（ ）
exA．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
7．给定事件A,B,C，且PC>0，则下列结论：①若PA>0，PB>0且A,B互斥，则A,B不可能相互
独立；②若PAC+PB C=1，则A,B互为对立事件；③若PABC=PAPBPC，则A,B,C两两
独立；④若PAB =PA-PAPB，则A,B相互独立.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1 1
8．若a=2， ， ，则（ ）
b=1313 c=e e
A．a0且a¹1，若函数 f x=xa + 有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
lna
四、解答题
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．
(1)证明：DE//平面PBF．
(2)若PA= AB=1，BC =2，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．
ex
16．已知函数 f(x)= -mlnx+3x，mÎR．
x
(1)若曲线y= f(x)在x=1处的切线与直线y=x相互垂直，求m的值；
(2)若m=3，求 f(x)的极值．
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD^AB，侧面PAB^底面
1
ABCD，PA=PB= 7，AD= BC =2，且E,F分别为PC,CD的中点．
2
(1)证明：DE^BC．
(2)若直线PF与平面PAB所成的角为60°，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
18．甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得-1分，未抢到题得0分，最后
2 1
总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为 和 ．
3 2
(1)求甲在一轮比赛中获得1分的概率；
(2)求甲在每轮比赛中获胜的概率；
(3)求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．
19．已知定义在区间D上的函数 f(x)，g(x)，若"x ，x ÎDx ¹ x ，存在一个正实数M，满足
1 2 1 2
f x - f x 0三种情况识别函数的图象得出结果.
1 æ1ö x
【详解】当a=0时， f x= =ç ÷ 是一个指数函数，在R上单调递减，所以②正确，①错误；
ex èeø
ax2+1 1 æ 1 ö æ 1 ö
当a<0时，由 f x= =0，即ax2+1=0，解得x=± - ，函数 f x与x轴交于ç - ,0÷,ç- - ,0÷
ç ÷ ç ÷
ex a è a ø è a ø
两点，显然四个图象都不相符；
ax2+1 ax2-2ax+1
当a>0时， f x= >0，所以③不相符；由 f¢x=- ，方程ax2-2ax+1=0的
ex ex
D=-2a2-4a=4aa-1，当a>1时，D>0， f¢x=0有两个不等的实根，则函数 f x两个极值点，当
x®+¥时， f x®0，当x®-¥时， f x®+¥，所以④相符.
故选：C.
7．B
根据独立事件概率公式可判断①正确；通过反例可说明②③错误；由PA=PAB+PAB
，结合独立事
件概率公式可知④正确.
【详解】对于①，若A,B互斥，则PAB=0，又PAPB>0，\PAB¹PAPB，\A,B不相互独立，①正确；
PAC PBC
对于②，Q PAC+PB C=
PC
+
PC
=1，\PAC+PBC=PC；
扔一枚骰子，记事件A为“点数大于两点”；事件B为“点数大于五点”；事件C为“点数大于一点”，
4 2 1 5
则PAC=PA= = ，PBC=PB= ，PC= ，
6 3 6 6
满足PAC+PBC=PC，但A,B不是对立事件，②错误；
对于③，扔一枚骰子，记事件A为“点数大于两点”；事件B为“点数大于五点”；事件C为“点数大于六点”，
4 2 1 1
则PA= = ，PB= ，PC=0，PABC=0，PAB=PB= ，
6 3 6 6
满足PABC=PAPBPC，此时PAB¹PAPB，
\事件A,B不相互独立，③错误；
对于④，
Q
A= AB
U
AB，事件AB与AB互斥，\PA=PAB+PAB
，
又PAB =PA-PAPB，\PA-PAB=PA-PAPB，
即PAB=PAPB，\事件A,B相互独立，④正确.
故选：B.
8．D
【详解】令 f x=x 1 x ，取自然对数得ln f x= 1 lnx，令gx=ln f x= 1 lnx
x x
¢ ¢
æ 1 ö æ 1 ö 1 lnx 1 2-lnx
g¢x= lnx = lnx+ lnx¢ =- + =
ç ÷ ç ÷
è x ø è x ø x 2x x x x 2x x
令g¢x=0，得x=e2
若xÎ 0,e2 ,g¢x>0，gx单调递增， f x单调递增；
若xÎ e2,+¥ ,g¢x<0，gx单调递减， f x单调递减，
因为e<413>e2，所以 f 16< f 13，而 b=13 1 13 ， f 16=16 1 16 =2=a ，所以a0，令t=xa，分析可知y=gt与y=g æ ç 1ö ÷有2
xa 1 x èaø
a
个不同的交点，利用导数分析gx的单调性和最值，结合gx的图象分析求解即可.
【详解】由题意可知： f x的定义域为0,+¥，
1
ln
令 f x=xa + lnx =0，则 alnx =-alna，可得 lnxa = a ，
lna xa xa 1
a构建gx= lnx ,x>0，可得g xa =g æ ç 1ö ÷，
x èaø
令t=xa，注意到a>0且a¹1，则t=xa在0,+¥内单调递增，
æ1ö
可知y=gt与y=gç ÷有2个不同的交点，
èaø
lnx
对于函数gx= ,x>0，
x
令gx>0，则lnx>0，解得x>1；令gx<0，则lnx<0，解得00，
x
令g¢x>0，解得0e；
1
可知gx在0,e内单调递增，在e,+¥内单调递减，则gx£ge= ，
e
且当x趋近于+¥时，gx趋近于0，
可得gx的图象如图所示：
æ1ö æ 1ö 1 1 1
由图象可知：gç ÷Îç0, ÷，则 >1且 ¹e，可得01时， f¢(x)>0，
x2 x x2
函数 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+¥)上单调递增，
所以 f(x)在x=1处取得极小值e+3，无极大值．
17．(1)证明见解析
2 17
(2)
17
1
（1）先作辅助线构造平行四边形，利用中位线定理得到ME//BC且ME = BC，结合已知AD//BC且
2
1
AD = BC，推出ME//AD且ME= AD，从而得出四边形ADEM 是平行四边形，得到DE//AM ， 再证明
2
线面垂直得到BC^ AB，再根据面面垂直性质定理，得到BC^平面PAB，最后得出结论.
（2）由（1）知BC^平面PAB．作辅助线，求证FG^平面PAB，得到PF与平面PAB所成的角为ÐGPF，
即ÐGPF =60°．求出PG= 3．AG=2，再建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出平面法向量坐标，
结合向量夹角余弦公式计算即可.
【详解】（1）如图，取PB的中点M，连接AM,EM．
1
因为E为PC的中点，所以ME//BC，ME = BC．
2
1
又因为AD//BC，AD = BC，所以ME//AD，ME= AD，
2
所以四边形ADEM 为平行四边形，则DE//AM ．
因为AD//BC，AD^AB，所以BC^ AB．
因为平面PAB^平面ABCD，平面PABÇ平面ABCD= AB，BCÌ平面ABCD，
所以BC^平面PAB．
又AM Ì平面PAB，所以BC^AM ，
又DE//AM ，所以DE^BC．
（2）由（1）知BC^平面PAB．取AB的中点G，连接FG,PG，则FG//BC，
所以FG^平面PAB，所以PF与平面PAB所成的角为ÐGPF，即ÐGPF =60°．
1
又因为GF = (AD+BC)=3，所以PG= 3．
2
又因为PA=PB= 7，所以AG=BG= PB2-PG2 = 7-3=2．
以G为坐标原点，GB,GF,GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， uuur uuur
则P 0,0, 3 ，C(2,4,0)，D(-2,2,0)，所以PC = 2,4,- 3 ，CD=(-4,-2,0)．
ur
设平面PCD的法向量为n =(x,y,z)，
1
ur uuur
ì ïn ×PC =2x+4y- 3z=0 ur
则í 1
ur uuur
，取x=1，则n
1
= 1,-2,-2 3 ．
ïî n ×CD=-4x-2y=0
1
uur
易知平面PAB的一个法向量为n =(0,1,0)．
2
设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为q，
ur uur
n ×n
2 2 17
1 2
所以cosq= = = ，
ur uur
n n 17 17
1 2
2 17
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 ．
17
11
18．(1)
36
539
(2)
864
25
(3)
1458
（1）求出甲在一轮比赛中共抢到1题和3题的概率，即可求出甲在一轮比赛中获得1分的概率；
（2）求出甲在一轮比赛中共抢到0~3题的概率，得出在抢到不同题量的情况下获胜的概率，即可求出甲在
每轮比赛中获胜的概率；
（3）求出甲得0~3分的概率，即可得出甲前三轮累计得分恰为6分的概率.
【详解】（1）由题意，设甲在一轮比赛中共抢到i（i=0,1,2,3）道题为事件A，
i
甲在一轮比赛中得i（i=0,1,2,3）分为事件B，
i
æ1ö 3 3 æ1ö 3 1
则PA=C1 ç ÷ = ,PA =ç ÷ = ，
1 3 è2ø 8 3 è2ø 8
2 æ2ö 2 æ 2ö 11
PB =PA´ +PA ´C2´ç ÷ ´ç1- ÷= ，
1 1 3 3 3 è3ø è 3ø 3611
∴甲在一轮比赛中获得1分的概率为 .
36
（2）由题意及（1）得
æ1ö 3 1 æ1ö 3 3 æ1ö 3 3 æ1ö 3 1
PA =ç ÷ = ,PA=C2 ç ÷ = ,PA =C2 ç ÷ = ,PA =ç ÷ = ,
0 è2ø 8 1 3 è2ø 8 2 3 è2ø 8 3 è2ø 8
设甲在一轮比赛中获胜为事件C，
∵PC A = æ ç 1ö ÷ 3 +C1´ 1 ´ æ ç 1ö ÷ 2 = 1 ，
0 è2ø 3 2 è2ø 2
PC A= 2 ´ æ ç 1 ´ 1 +2´ 1 ´ 1ö ÷+ æ ç1- 2ö ÷´ 1 ´ 1 = 7 ，
1 3 è2 2 2 2ø è 3ø 2 2 12
PC A = æ ç 2ö ÷ 2 +C1´ 2 ´ æ ç1- 2ö ÷´ æ ç1- 1ö ÷= 2 ，
2 è3ø 2 3 è 3ø è 2ø 3
PC A = æ ç 2ö ÷ 3 +C2 æ ç 2ö ÷ 2 ´ æ ç1- 2ö ÷= 20 ，
3 è3ø 3 è3ø è 3ø 27
∴P(C)=PA PC A +PAPC A+PA PC A +PA PC A
0 0 1 1 2 2 3 3
1 1 3 7 3 2 1 20 539
= ´ + ´ + ´ + ´ = ，
8 2 8 12 8 3 8 27 864
539
∴甲在每轮比赛中获胜的概率为 .
864
（3）由题意，（1）及（2）得，
2 æ 2ö 7 11
PB =PA ´2´ ´ç1- ÷+PA = ，PB = ，
0 2 3 è 3ø 0 24 1 36
æ2ö 2 1 æ2ö 3 1
PB =PA ´ç ÷ = ，PB =PA ´ç ÷ = ，
2 2 è3ø 6 3 3 è3ø 27
设甲前三轮累计得分恰为6分为事件D，
∴PD=C1´PB ´PB ´PB +A3PB ´PB ´PB +PB ´PB ´PB
3 3 3 0 3 3 2 1 2 2 2
1 1 7 1 1 11 1 1 1 25
=3´ ´ ´ +6´ ´ ´ + ´ ´ =
27 27 24 27 6 36 6 6 6 1458
25
∴甲前三轮累计得分恰为6分的概率为 .
1458
5
19．(1)是，理由见解析，M 的最小值是
3
(2)证明见解析；
é1 7+ln3ù
(3) ,
ê ëe3 3e3 ú ûx +x +3 æ 5ö 5
（1）根据陪伴函数定义计算得 1 2 Îç1, ÷，则M ³ ，则确定M 的最小值；
3 è 3ø 3
f x - f x |a| x + x +|b|
（2）通过放缩得 1 2 £ 1 2 ，再记s=maxx , x ，则
gx -gx |k| 1 2
1 2
f x - f x 2s×|a|+|b|
1 2 < ，则得到 f x - f x 1 2 ．
1 2 1 2 3
x +x +3 æ 5ö
因为x 1 ,x 2 Î[0,1]且x 1 ¹ x 2 ，所以x 1 +x 2 +3Î(3,5)，则 1 3 2 Îç è 1, 3 ÷ ø ，
5 5
因此M ³ ，因此g(x)是 f(x)的＂M －䧄伴函数＂，且M 的最小值是 ．
3 3
（2）已知g(x)=kx+r(k ¹0),xÎ[m,n], f(x)=ax2+bx+c(a¹0),xÎ[m,n]，
"x,x Î[m,n]x ¹ x ，
1 2 1 2
f x - f x a x2-x2 +bx -x ax +x +b
1 2 = 1 2 1 2 = 1 2
gx -gx |k| x -x |k|
1 2 1 2
a x +x + b a x + x + b
£ 1 2 £ 1 2 .
k k
f x - f x 2s×|a|+|b|
记s=maxx , x ，则 1 2 < ．
1 2 gx -gx |k|
1 2
2s×|a|+|b| f x - f x
记M = ，则 1 2 f x -3x ，
1 1 2 2 1 1 2 2
所以函数 f(x)+3x单调递增，函数 f(x)-3x单调递减，
所以[f(x)+3x]¢= f¢(x)+3³0,[f(x)-3x]¢= f¢(x)-3£0，
则"xÎ[1,3],-3£ f¢(x)£3．又 f¢(x)=mxex-lnx-x-1，
所以-3£mxex-x-lnx-1£3，
x+lnx-2 4+x+lnx
故 £m£ (xÎ[1,3])．
xex xex
x+lnx+4 (1+x)(-3-lnx-x)
令h(x)= (xÎ[1,3])，则h¢(x)= ，
xex x2ex
令u(x)=-3-lnx-x(xÎ[1,3])，易知u(x)在1,3上单调递减，
则u(x)£u(1)=-4<0，所以h¢(x)<0，
7+ln3
则h(x)在1,3上单调递减，则h(x) =h(3)= ，
min 3ex
7+ln3
因此m£ ．
3e3
x+lnx-2 (x+1)(3-x-lnx)
令r(x)= (xÎ[1,3])，则r¢(x)= ．
xex x2ex
令v(x)=3-lnx-x(xÎ[1,3])，易知v(x)在1,3上单调递减，且v(1)=2>0,v(3)=-ln3<0，
则$x Î[1,3],vx =3-lnx -x =0，即3=lnx +x ．
0 0 0 0 0 0
当xÎ1,x 时，v(x)>0，即r¢(x)>0，则r(x)在1,x 上单调递增；
0 0
当xÎx ,3时，v(x)<0，即r¢(x)<0，则r(x)在x ,3上单调递减．
0 0
x +lnx -2 3-2 1
所以r(x) =rx = 0 0 = = ．
max 0 x ex0 x ex0 x ex0
0 0 0
1
由3=lnx +x ，得e3 =elnx0+x0 =x ×ex0，则r(x) = ，
0 0 0 max ex
1
因此m³ ．
e3
1 7+ln3 1 7+ln3
又 < ，所以 £m£ ，
e3 3e3 e3 3e3é1 7+ln3ù
即实数m的取值范围为 , ．
ê ëe3 3e3 ú û
