数学试卷
本试卷共 页, 题.满分 分.
４ １９ １５０
祝考试顺利
★ ★
注意事项:
答题前 先将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号填写在试卷和答题卡上 并
１． , 、 、 、 ,
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置
.
选择题的作答 每小题选出答案后 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
２． : , ２B
涂黑 写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
. 、 .
非选择题的作答 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试
３． : .
卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
、 .
考试结束后 请将答题卡上交
４． , .
一、选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
８ ５ ４０
项是符合题目要求的．
．已知集合A a２ B a 且B A 则实数a
１ ＝{１,３, }, ＝{３,＋２}, ⊆ , ＝
A．－１ B．０ C．１ D．２
．已知实数abc 则ac２ bc２ 是a b 的
２ ,,, “ ≥ ” “≥ ”
充分不必要条件 必要不充分条件
A． B．
充要条件 既不充分也不必要条件
C． D．
π π
．已知复数z 则z２
３ ＝cos ＋isin , ＝
４ ４
A．１ Bi． C．－１ D．－i
．若fx xx x a a R 为奇函数 则a的值为
４ ()＝ ( －１)( ＋ )(∈ ) ,
或
A．－１ B．０ C．１ D．－１ １
．某项比赛共有 个评委评分 若去掉一个最高分与一个最低分 则与原始数据相
５ １０ , ,
比 一定不变的是
,
极差 百分位数 平均数 众数
A． B．４５ C． D．
．若 个正数之和为 且依次成等差数列 则公差d的取值范围是
６ ５ １０, ,
１ １ １
A．(－１,１) B．(０,１) C．(－ , ) D．(０, )
２ ２ ２
π π π
．已知函数fx ωx ω 若 x 使得fx 的图象在点
７ ()＝sin( ＋ )( ＞０), ∃ ０∈[－ , ] ( )
４ ３ ４
x fx 处的切线与x轴平行 则ω的最小值是
(０,(０)) ,
３ ３
A． B．１ C． D．２
４ ２
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１ ４．已知正方体 ABCDＧABCD 中 AB E 为AD 的中点 P 为正方形
８ １ １ １ １ ,| |＝４, ,
ABCD 内的一个动点 含边界 且 PE 则 PA→ PB→ PC→ 的最小
１ １ １ １ ( ), | |≤２ ５, １＋ １＋ １
值为
A．２ １７－６ B．２ １７－４ C．２ １７－２ D．２ １７＋２
二、选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的选项中,有多项符
３ ６ １８
合题目要求.全部选对的得 分,部分选对的得部分分,有选错的得 分.
６ ０
．下列说法正确的有
９
若随机变量X B １ 则D x
A． ~ (６, ), (３ ＋２)＝１２
３
若X Nμσ２ 且PX PX 则 μ
B． ~ (, ), ( ≤－２)＋ ( ≤４)＝１, ＝２
已知事件AB互斥 PA １ PB １ 则PA B ７
C． , , ( )＝ , ( )＝ , ( ∪ )＝
４ ３ １２
已知事件AB相互独立 PA １ PB １ 则PAB １１
D． , , ( )＝ , ( )＝ , ( )＝
４ ３ １２
．已知函数fx x３ bx２ cx d在 ¥ 上是增函数 在 上是减函数 且
１０ ()＝ ＋ ＋ ＋ (－ ,０] , [０,２] ,
方程fx 有实数根αβ α β 则
()＝０ ,,２(＜２≤ ),
c b f α β
A．＝０ B．≤－３ C．(１)≥３ D．| － |≥３
x２ y２
．已知AB分别为双曲线 a b 的左 右顶点 Px y 为双曲线
１１ , a２－b２＝１(＞０,＞０) 、 , (０,０)
上位于第一象限内任意一点 记 PAB α PBA β APB γ 其中αβy
, ∠ ＝ ,∠ ＝ ,∠ ＝ ( ,,
π
均不为 PAB的面积为S 则
),△ ,
２
PA b
| |的值随着x 的增大而减小 α β ２
A．PB ０ B．tan －tan ≤a
| |
γ
S γ为定值 cos 为定值
C．tan D． β γ
cos(２ ＋ )
三、填空题:本题共 小题,每小题 分,共 分.
３ ５ １５
．编号为 的四位同学 分别就座于编号为 的四个座位上 每个座位
１２ １,２,３,４ , １,２,３,４ ,
只坐一位同学 则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为 ．
,
x２
．已知椭圆C y２ 的上顶点为A 直线l交椭圆C于M N 两点．若 AMN
１３ : ＋ ＝１ , , △
４
的重心坐标为 则直线l的斜率为 ．
(１,０),
n
１４
．已知数列
{
a
n}
的通项公式为a
n ＝ n －１ ,
设集合A
n ＝{
a
１,
a
２,,
a
n}(
n
∈
N∗
),
A
n
３
的所有非空子集中的最小元素的和为T
n
．若
∀
n
∈
N∗
,
λ
＞
T
n,
则实数λ的取值范
围为 ．
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２ ４四、解答题:本题共 小题,共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
５ ７７
．本题满分 分
１５( １３ )
ABC中 D为边BC上一点 且CD BDAD AB ．
△ , , ＝２ , ＝２, ＝２３
BAD
若B 求CD的长 若sin∠ １ 求CD的长．
(１) ＝３０°, ;(２) CAD＝ ,
sin∠ ２
．本题满分 分
１６( １５ )
如图 在 ABC中 AB BCAB BC ．平面ABC外的动点D在以AB为直径
, △ , ⊥ , ＝ ＝６
的半圆上 且满足平面BCD 平面ACD．
, ⊥
证明 CB 平面ABD
(１) : ⊥ ;
若线段AC上的点E满足CE→ EA→ 当三棱锥CＧABD的体积取得最大值时
(２) ＝２ , ,
求平面BED与平面AEB夹角的余弦值．
．本题满分 分
１７( １５ )
a
已知函数fx a x x 其中a ．
()＝(１－ )ln ＋x＋ , ＞０
当a 时 求fx 的单调递增区间
(１) ＝２ , () ;
若fx 恒成立 求a的取值范围
(２) ()≥２ , ;
试比较 ．与 ０ ． ９５ 的大小并说明理由． 为自然对数的底数 ．
(３) ２５ e (e ,e≈２７１８)
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３ ４．本题满分 分
１８( １７ )
æ ö
已知抛物线 x２ pyp 在点Aç １÷处的切线与坐标轴所围成的三角形
Γ: ＝２ ( ＞０) è１,pø
２
的面积为１．
４
求p的值
(１) ;
若抛物线 上存在BC两点 使得AB BC 求点C的横坐标的取值范围
(２) Γ , , ⊥ , ;
将抛物线 向下平移一个单位长度得到抛物线 ′M N 是抛物线 ′与x轴的
(３) Γ Γ, , Γ
交点 过点 p 作直线l与抛物线 ′交于DE两点 与x轴交于点T 其中
, (０,２ ) Γ , , ,
点M D均在y轴左侧 直线ME与ND交于点S．问在平面内是否存在一定点
, ,
Q 使得QS→ QT→为定值 若存在 求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由．
, ? , ; ,
．本题满分 分
１９( １７ )
某互联网大数据实验室为研究短视频平台 智能推荐算法的内容传播规律 建立
AI ,
如下概率扩散模型
:
科研人员选定n名平台用户作为研究样本．每名用户被内容打动并产生互动传播的
基础易感性 参数均为常数a a ．内容传播按天数逐级扩散 传播规则如下
“ ” (０＜ ＜１) , :
第一天 冷启动推荐阶段 系统从n名用户中随机选取m 名用户进行初始
① ( ):AI
定向推送 每名被推送的用户主动点赞并参与传播 称为激活用户 的概率均为p
, ( ) ,
且各用户是否被激活相互独立．
第二天及以后 社交扩散推荐阶段 每一天 所有已激活用户都会通过 协同
② ( ): , AI
推荐 对所有未激活用户 即n名用户中还未被激活的 进行二次流量触达．任一未
, ( )
激活用户只要被成功激活 就会转为激活用户 并继续参与下一轮传播．
, ,
已知 若某一天有k个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达 则此用户当
: ,
天被成功激活的概率为 ak
:１－(１－ )
求第一天结束时 被成功激活的用户人数的数学期望
(１) , ;
求第一天结束时 被成功激活的用户人数为偶数的概率
(２) , ;
若取n m p ． 求两天后用户甲是激活用户的概率 用含a的代数式
(３) ＝５, ＝２, ＝０４, (
表示 并结合该概率模型 简要说明为什么 推荐平台上的部分短视频会出
); , AI
现爆发式流量暴涨的现象．
第 页(共 页)
４ ４
