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五年级数学下册知识点
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第一单元 观察物体
1、由几个大小相同的小正方体摆成的立体图形，从同一个方向观察，看
到的图形可能是相同的，也可能是不同的。根据一个方向看到的图形摆立
体图形，有多种摆法。
2、从同一个方向观察物体最多只能看到三个面。几何视图一般是根据三
个方向观察到的形状进行绘制。
3、根据两个方向观察到的形状能确定所用小正方体的个数。根据三个方
向观察到的形状摆小正方体结果只有一种。
第二单元 因数和倍数
1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的
倍数，除数是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存
在。)
2、注意：为了方便，在研究因数和倍数时候，我们所说的数指的是自然
数(一般不包括 0)
3、找因数的方法：①乘法②除法； 找倍数的方法：逐次乘自然数。
4、①一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。一个数的最小倍数是它
本身，没有最大的倍数。
②一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。一个数
的最大因数和最小倍数是相等的都是它本身。
③ 1 是所有非 0 自然数的因数。也是任一自然数(0 除外)的最小因数。
④一个数的因数至少有 1 个，这个数是 1。
⑤一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。
5、因数<或=它本身、倍数>或= 它本身、最大的因数=最小的倍数=它本
身。
一个数的倍数一定比它的因数大这种说法是错误的。一个数越大它的因数
个数就越多，一个数越小它的因数个数就越少。这种说法是错误的。
6、2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。自然数
中，是 2 的倍数的数叫做偶数(0 也是偶数)，不是 2 的倍数的数叫奇数。
7、5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。
8、3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的
倍数。个位上是 3、6、9 点数都是 3 的倍数是错误的说法。
9、2 和 5 的倍数特征：个位上是 0 的数，既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。
(就是 10 的倍数)。
10、2 和 3 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8，而且各个数位上的数
字的和是 3 的倍数，这个数既是 2 的倍数，也是 3 的倍数。(就是 6 的倍
数)。
11、3 和 5 的倍数特征：个位上是 0 或者 5，而且各个数位上的数字的和是
3 的倍数，这个数既是 5 的倍数，也是 3 的倍数。(就是 15 的倍数)。12、2、3、5 的倍数特征：个位上是 0，而且各个数位上的数字的和是 3
的倍数，这个数同时是 2、3、5 的倍数。(就是 30 的倍数)能同时被 2、
3、5 整除的最小两位数是 30，最大两位数是 90，最小三位数是 120.同时
满足 2，3，5 的倍数，实际是求 2×3×5=30 的倍数。
4 的倍数特征：一个数末尾两位数是 4 的倍数，这个数就是 4 的倍数。
一个数各位数上的和能被 9 整除，这个数就是 9 的倍数。能被 3 整除的
数不一定能被 9 整除；能被 9 整除的数一定能被 3 整除。
如果两个数都是同一个数的倍数，那么这两个数的和或差也是这个数的
倍数。
13、自然数按能否被 2 整除分成奇数和偶数。所以我们说自然数不是奇数
就是偶数。最小的偶数是 0，最小的奇数是 1，没有最大的奇数和偶数，
最小的自然数是 0。如果用 n 表示自然数，那么 2n 表示偶数，2n+1 表示奇
数。相邻的两个自然数相差 1；相邻两个奇数相差 2；相邻两个偶数相差
2。
14、奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
奇数-偶数=奇数 奇数-奇数=偶数 偶数-偶数=偶数
奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数
无论多少个偶数相加都是偶数、偶数个奇数相加是偶数、奇数个奇数相
加是奇数。任意一个整数乘以 2 都变成偶数。
15、一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或素
数)；一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1 既不是质数，也不是合数。两个质数相乘的积一定是合数。
质数×质数=合数
16、最小的质数是 2，最小的合数是 4。2 是偶数中唯一的质数称为偶质
数；也是质数中唯一的偶数。
17、100 以内找质数、合数的技巧:看是否是 2、3、5、7、11、13…的倍
数,是的就是合数，不是的就是质数。
18、100 以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、
37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 。19、自然数按因数的个数分可分为 1、质数和合数。
除 2 以外所有的质数都是奇数。
第三单元 长方体和正方体
一、长方体、正方体的认识：长方体和正方体都是立体图形。正方
体也叫立方体。
1、长方体是由 6 个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形)围成
的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度
相等。
2、长方体有 6 个面。有 12 条棱，相对(也可以说是平行)的 4 条棱的
长度相等。长方体有 8 个顶点。长方体最多有 8 条棱的长度相等，最
多有 4 个面完全相同。
一个长方体最多有 6 个面是长方形，最少有 4 个面是长方形，最多有
2 个面是正方形。
3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
(长、宽、高都各有 4 条，分别平行并且相等)
4、长方体的棱长总和 =长×4+宽×4+高×4=(长+宽+高) ×4
长方体的长=棱长总和÷4 一宽一高；长方体的宽=棱长总和÷4 一
长-高;
长方体的高=棱长总和÷4-长-宽
5、(1)正方体的 6 个面是完全相同的正方形。(2)正方体的 12 条棱长
度都相等。(3)有 8 个顶点。6、正方体是由 6 个完全相同的正方形 围成的立体图形，所有的棱长
度相等。
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体是特殊的
长方体。
不同点
相同点
面 棱
有6个面, 6个面都是长方形。(有可能有两个相对 相对的棱平行且
长方体
12条棱, 的面是正方形）。相对的面完全相同。 长度都相等
正方体 8个顶点。6个面都是正方形。面积都相等。 12条棱都相等。
7、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体的棱长=棱长总和÷12
(如果用长 60cm 铁丝做成长方体或正方体，60cm 就是长方体或正方体
的棱长总和)
8、用棱长 1cm 的小正方体摆成稍大一些的正方体，至少需要 8 个小正方
体。
二、长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积
2、长方体的表面积：
①长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6 个面。
上、下面每个面的面积=长×宽；
前、后面每个面的面积=长×高；
左、右面每个面的面积=宽×高；
②长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
用字母表示:S=2(ab+ah+bh)长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
用字母表示:S=2ab+2ah+2bh
无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2
S=2(ah+bh)+ab 或 S=2 (ab+ah+bh)-ab
无 底 又 无 盖 长 方 体 表 面 积 =( 长 × 高 + 宽 × 高 )×2
S=2 (ah+bh)
③特殊长方体的表面积(有两个面是正方形)正方形的两个面完全相
同，其余四个面完全相同。
3、正方体的表面积
正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示： S= 6a²
4、生活实际
油箱、罐头盒等都是 6 个面；游泳池、鱼缸等都只有 5 个面；水管、
烟囱等都只有 4 个面。粉刷教室只有 5 个面。
5、注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。(表面积相应增加)
两物体拼成一个物体时，减少两个面。(表面积相应减少)
注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会
扩大倍数的平方倍。(如长、宽、高各扩大 2 倍，表面积就会扩大到
原来的 4 倍)。长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，这两个
截面和它相对的面的面积相等，所以这时的两个物体的表面积大于
原来物体的表面积。
三、长方体和正方体的体积
1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。(就是看物体含有多
少个体积单位)
2、常用的体积单位有：立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)①棱长是 1 cm 的正方体，体积是 1cm³。如手指头的大小。
②棱长是 1 dm 的正方体，体积是 1dm³。如黑板擦和粉笔盒的大小。
③棱长是 1m 的正方体，体积是 1m³。
长度、面积、体积不可以相互比较，所以不可能相等。
9、一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等，正
方体体积大于长方体体积。
10、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
11、固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容
积单位升和毫升，也可以写成 L 和 ml。
13、把长方体或正方体截成若干个小长方体(或正方体)后，表面积增加
了，体积不变。用 8 个小正方体拼成的大正方体拿走一块小正方体，体
积减少，表面积不变。
14、容积的计算：
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从
里面量长、宽、高。(所以对于同一个物体体积大于它的容积)。
15、排水法：(计算不规则物体的体积)形状不规则的物体可以用排水法
求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式：
(1)装满水：排出水的体积=不规则物体的体积。
(2)放入物体后的总体积—放入物体前水的体积=不规则物体的体积。
V 物体=V 现在-V 原来
(3)用装水的长方体(或正方体)的长×宽×物体放入后水面上升的高度=
不规则物体的体积。V 物体 =S×(h 现在-h 原来)相邻两个体积单位之间的进率是 1000?
1 m³=1000 dm³² 1dm³=1000 cm³
(4)因为放入物体前后底面积不会变。所以不规则物体的体积=长方体底
面积×水面上升的高度(放入物体后水面高度一放入前水的高度)。V 物
体 =S×h 升高。
16、物体的体积不会随着物体的位置和形状的变化而变化。把一个正方
体铁球熔铸成长方体，体积不变。
17.正方体的展开图
正方体的平面展开图一共有 11 种。
18、包装盒能否装下玻璃器皿，不仅要看体积，还要看物体的长、宽、
高能否装下。
19、对于一个 n×n×n 的正方体，其涂色情况如下：
三面都涂色：8 个(只有位于正方体 8 个顶点的地方才三面都涂色)
两面涂色：(n—2)×12 个(两面涂色的位于正方体两个面的交界处，但
又不在顶点处)
一面涂色：(n—2)× (n—2)×6 个(一面涂色的小正方体位于正方体每
个面的中心部位)
各面都没有涂色=总块数-三面涂色的块数-两面涂色的块数-一面涂色的
块数。
第四单元 分数的意义和性质
1、分数的意义
一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这
样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。一个整体可
以用自然数 1 来表示，我们通常把它叫做单位“1”。
3、分数单位：
把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。
4、分数与除法的关系
A÷B=
（B≠0，除数不能为 0，分母也不能够为 0）。
5、真分数、假分数和带分数
（1）分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
（2）分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
（3）带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
（4）真分数＜1≤假分数
真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数：用分子÷分母，商作为整数，余数作为分
子。
（2）整数化为假分数：用整数乘以分母得分子。
（3）带分数化为假分数：用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分
子，分母不变。
（4）1 等于任何分子和分母相同的分数。
7、分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。
8、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因
数。
（1）几个数的公因数只有 1，就说这几个数互质。
（2）求两个数的最大公因数的方法
列举法、筛选法、短除法、分解质因数法
（3）最简分数：分数的分子和分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最简分
数。
9、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍
数。
（1）求两个数的最小公倍数的方法
列举法、筛选法、短除法、分解质因数法
10、约分和通分
（1）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫
做约分。
（2）通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
11、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：
数小数位数，一位小数，分母是 10；两位小数，分母是 100……（2）分数化为小数：
分母是 10、100、1000……的分数，可以直接化成小数。
也可以用分子÷分母。
如：3/4=3÷4=0.75
12、比分数的大小
分母相同，分子大，分数就大；
分子相同，分母小，分数才大。
第五单元 图形运动（三）
1、旋转
在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变
化较做旋转，定点 O 叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上
的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）旋转要明确绕点，角度和方向。
（2）旋转的性质：旋转前后图形的大小和形状没有改变，只是位置发
生了变化。
第六单元 分数的加减法
1、分数加法和减法的意义
分数加、减法的意义和整数加、减法的意义相同。
2、 同分母分数加、减法的计算
分母不变，分子相加、减。计算的结果能约分的要约分成最简分数。
3、异分母分数加、减法的计算
先通分，然后按照通分母分数加、减法进行计算。
4、分数加减混合运算没有括号的，按照从左往右的顺序计算；有括号的，先算括号里面的，
再算括号外面的。
5、分数加法的简算
整数加法的运算定律和在分数加法中同样适用。
第七单元 折线统计图
1、单式折线统计图
用一定的单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把
各点用线段顺次连起来，所得到的统计图就是折线统计图。
2、复式折线统计图
在同一个统计图中用两种（或多种）不同颜色（或形式）的折线来表示
不同数据的变化情况的统计图就是复式折线统计图。
3、折线统计图的特点
（1）单式折线统计图：既可以反映出数量的多少，又可以反映出数量
增减变化情况。
（2）复式折线统计图：不但能表示各组数据的多少和增减变化情况，
而且可以比较各组相关数据的差异和变化规律。
第八单元 数学广角——找次品
1、找次品的最优方案
将待测量的物体分为 3 份，每一份尽量平均（如果不能平均分成 3 份，
要使多的一份与少的一份只相差 1）。然后进行称量比较。
注意：如果不知道次品与正品相比是轻还是重，需要再多称量一次来进
行确定。
