高二数学答案_小初高学习资料合集（每天更新）_浙江省温州市十校联盟2025-2026学年高二下学期6月期末（全）_浙江省温州市十校联盟2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题含答案

高二期末数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C B C A D B
二、多选题
9 10 11
BD ABD ACD
三、填空题
12. y =2x+1 13. 24 14. 64
15. 解：（1） f(x)=2sin xcosx− 3cos2x
=sin 2x− 3cos2x
 君
=2sin（2x− ）………………………………………………………………………………4分
卷
3
试
二
（如果化简过程写在第二问，则在第二问中加2分，下面直接求值即给4分）
一
：
 
f( )=2sin = 3… 号 ………………………………………………………………………6分
3 3 众
公
（说明：向量的数量积对了给1分，二倍角公式对了给1分；若函数没有化简，直接算出答案给4分）

（2）由（1）知2sin（2x− ）1
3
 1
sin（2x− ） …………………………………………………………………………………………8分
3 2
  5
2k+ 2x− 2k+ , kz …………………………………………………………………11分
6 3 6
 7
所以k+  xk+ , kz
4 12
 7
即不等式的解集为[k+ , k+ ], kz………………………………………………………………13分
4 12
16.（1）在四棱锥P-ABCD中，
∵PA=PD，PA⊥PD，∴三角形PAD为等腰直角三角形.
取AD中点O，连接OB.则OP⊥AD………………………………………………………………………………2分
∵四边形ABCD为正方形，∴OB= 5，OP=1，∴OB2+OP2=PB2.∴OP⊥OB.…………………………………4分
又∵OB∩AD=O，且OB,AD平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD.………………………………………………6分
1又∵OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.………………………………………………………………7分
（2）法一：（建系）由（1）得，如图，以OA为x轴，垂直AD为y轴，OP为z轴.
P（0,0,1），B（1,2,0），C（-1,2,0），D（-1,0,0）………………………………………………………………9分
（建系正确，并给出两个点坐标，给2分）
∴DP=(1,0,1)，DC =(0,2,0)，PB=（1,2,−1）
设平面PCD的一个法向量为
2
n = ( x , y , z ) ，
 D
D
P
C


n
n
=
=
x
2
+
y
z
=
=
0
0
, 令 z = 1 , 则 n = ( − 1 , 0 ,1 ) ，………………………………………………………………12分
（若法向量错误，有法向量运算列式，给2分）
∴ c o s P B , n =
| P
P
B
B
|


n
| n |
=
3
3
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
3
3
………………………………………………………………15分
（答案错误，有向量运算公式，给2分）
法二：（补型）直三棱柱PAD-QBC，可证
 B
B
Q
Q
⊥
⊥
Q
Q
C
P
 B Q ⊥ 平 面 P D C Q
∴∠BPQ为直线PB与平面PDC所成角的平面角.
在 R t  P B Q 中 ， s in  B P Q =
Q
P
B
B
=
2
6
=
3
3
法三：（等体积）由 V
B − P D C
= V
P − B C D
得：
1
3
 S
 P D C
 d
B
=
1
3
 S
 B D C
 O P ，解得：d = 2 .
B
d 2 3
∴sin= B = =
PB 6 3
（以上法二、法三不同解法，酌情给分）
17.（1）a=0.035； x
君
卷
试
二
一
：
号
众
公
=76.5 ………………………………………………………………………………6分
（a和x各3分）
0.9545−0.6827
（2）P(65.5Z 98.5)= +0.6827=0.8186…………………………………10分
2
2 1 1
（3）P（X =2）=  =
5 4 103
P （ X = 3 ） =
3
5

2
4

1
3
 2 +
3
5

2
4

1
3
=
1
3
0
P （ X = 4 ） =
2
5

3
4

2
3
 3 =
3
5
………………………………………13分
E ( X ) = 2 
1
1
0
+ 3 
1
3
0
+ 4 
3
5
=
7
2
……………………………………………………………………15分
（分布列对直接给3分，分布列错，一个概率对给1分，E（X）错的话，有列式给1分）
18. （1）法一：当 n = 1 时， a
1
= 2
a −2
 n 是常数列，设该常数为k，则
 n−1 
a
n
= k ( n − 1 ) + 2 ， （ n  2 )
X 2 3 4
P
，
 
a =k+2，a −a =k也符合上式，因此 a 是等差数列。…………………………………………5分
2 2 1 n
法二：
1
1
0 1
3
0
3
5


2

n
a
2 S
2 S
a
n
( n
a
n
− 1
−
n
n −
n
n −
=
−
−
2
1
= n
=
1
2 S
n
2 ) a
a
n
n −
a
−
( 2 + a
n
( n − 1 ) (
− 2 S
n −
− ( n −
n
− 1 +
2 ( n
− 2
n − 1
n − 2
)
2
1
1
−
=
+ a )
n
= n a
n
) a
n − 1
2
1 ) ( n
（ 0 n
( n
− ( n
+ 2 =
− 2 )
）  3

−
=

0
2 )
1 ) a
n −
( n
0  
 
1


+

2
3

)





























3
2
1
君
卷
试
二
一
：
号
众
公4


2 a
( n
2 S

②
a
n
2 S
2 S
n
−
n −
( n
-
+
n
n
=
2
2
−
①
a
= n (
= (
− 1
2 S
n
) a −
n
= ( n
3 ) a
n
=
n − 2
2
n
−
(
−
-1
2
+
−
2
n
2
−
a
a )
n
1 ) ( 2 +
S =
n − 1
− 1 ) a
n
) ( 2 + a
( n − 2
 
n − 1
a ) ( n
n
n a − (
n
+ 2 =
− 1
) ( n
n -2
) a +
n − 2
  
 2 )
n − 1 )
① 0
 3 )
2 = 0
 
a
n

②

− 1

+



2























1
2
4
则数列

a
n

是等差数列…………………………………………………………………………………………5分
法三：
当n=1时，解得 a
1
= 2
当n=3时， 2 S
3
= （3 2 + a
3
) = 3 ( a
1
+ a
3
)
即（2 a +a +a )=3(a +a )
1 2 3 1 3
 2 a
2
= a
1
+ a
3
, a
1
, a
2
, a
3
成等差数列……………………………………………………………………1
猜想 a =a +(n−1)d,d =a −a
n 1 2 1
（i） n = 1 , 2 , 3 时 ，  a
1
, a
2
, a
3
成等差数列，  猜想显然正确，
（ii）假设 n  k （ k  3 ) 时猜想正确
即 a
k
= a
1
+ ( k − 1 ) d , S
k
= k a
1
+
k ( k
2
− 1 )
d ……………………………………………………2
则当 n = k + 1 时，2S =(k+1)(a +a )
k+1 1 k+1
（2 S +a )=(k+1)a +(k+1)a ……………………………………………………………3
k k+1 1 k+1
2 k a
1
+ k ( k − 1 ) d = ( k + 1 ) a
1
+ ( k − 1 ) a
k + 1
（k−1)a =(k−1)a +k(k−1)d………………………………………………………………4
k+1 1
k 3,k−10
 a
k + 1
= a
1
+ k d = a
1
+ [ ( k + 1 ) − 1 ] d
君
卷
试
二
一
：
号
众
公
n=k+1时，猜想也正确，综上所述，
5
a
n
= a
1
+ ( n − 1 ) d , 对nN*都成立，………………………………………………………………5


a
n

是等差数列
(2）（Ⅰ） a
2
− a
1
= 3 − 2 = 1 ， a
n
= 2 + ( n − 1 )  1 = n + 1 ， b
n
= n  3 n + 1 ，……………………………7分
（说明：算出 a
1
给1分，算出 a
n
给1分，若第一问没写出来，直接用第一问结论解决第二问，同样可以得
分）
设数列

b
n

的前n项和为 H
n
H =132 +233 +334 ++n3n+1 ①
n
3H = 133 +234 ++(n−1)3n+1+n3n+2 ②
n
②−①
−2H =32 +33 +34 ++3n+1 −n3n+28
n
9(1−3n)
= −n3n+2
1−3
3n+2 −9
= −n3n+2
2
(1−2n)3n+2 −9
= 10
2
(2n−1)3n+2 +9
H = …………………………………………………………………11分
n 4
（2）(Ⅱ）插入的k项之和为： 2 1 + 2 2 +  + 2 k = 2 k + 1 − 2 ;
新数列{c }为：a ,21,a ,21,22,a ,a ,21,22,2k,a ，………………………………………………12分
n 1 2 3 k k+1
将此数列分成若干组， a
1
, 2 1 为第一组； a
2
, 2 1 ， 2 2 为第二组；…… a
k
, 2 1 ， 2 2 ,  , 2 k 为第k组
a 与
k
a
k + 1
2（1-2k)
之间的k项数列的和为： =2k+1−2
1-2
数列

C
n

取到 a
k
君
卷
试
二
一
：
号
众
公
k+1 k(k+3)
后的第k项时：n=k+ =
2 2
前k组之和为：
T =a +21+a +21+22 ++a +21+22 +2k
n 1 2 k
=(a +a +a )+(22 +23+24 +2k+1−2k)
1 2 k
k(2+k+1) 4(1−2k)
= + −2k
2 1−2…………………………………………………………………………………………15 分
6

T
n

显然随k的增大而增大，
当k=8时， n =
6 4 +
2
2 4
= 4 4 ， T
4 4
=1048<2026,
2026-1048=978， a
4 4
再往后取m项，使m项的和大于978，
即： a
9
+ 2 1 + 2 2 +  2 m = 2 m + 1 + 8  9 7 8 ，
 2 m + 1  9 7 0 , 当 m = 8 时 ， 2 9 = 5 1 2  9 7 0 , m = 9 时 ,2 1 0 = 1 0 2 4  9 7 0
44+10=54，  n有最小值为54. ………………………………………………………………………………17分
19.（1） f '( x ) =
x 2 + (1 −
x
a
2
) x − a
=
( x + 1 )
x
( x
2
− a )
( x  0 ) ………………………………………………3分
∵x>0 ∴x+1>0
∴a≤0时， f '( x )  0 ， f ( x ) 在 ( 0 ， +  ) 上 单 调 递 增
a>0时，
当
f
x
( x

) 在
( 0
(
,
0
a
，
) 时
a
，
上 )
f
单
'( x
调
) 
递
； 0
减
当
，
x
在

( a
( a
, +
, +


) 上
) 时
单
, f
调
'(
递
x )
增
 0
……………………………………6分
（2）
（Ⅰ）由（1）得，当a≤0时， f ( x ) 单 调 ，不可能有两个零点.
∴a>0，此时 f(x) = f(a)=1+(1−a)lna−a=(1−a)(lna+1)
min
∵ x → 0 或 +  时， f ( x ) → +  ，∴只需 f ( a )  0 即 可
∴ 0  a 
1
e
或 a  1 …………………………………………………………………………………………10分
（Ⅱ）要证：x +x 2a，只要证
1 2
x
2
 2 a − x
1
∵显然 0  x
1
 a  x
2
，∴ 2 a − x
1
 a
又∵ f(x)在（a，+）单调递增，∴只要证 f ( x
2
)  f ( 2 a − x
1
)
又∵ f(x )= f(x )，即证 f(x ) f(2a−x )
1 2 1 1
=
k 2 −
2
k − 8
+ 2 k + 2
君
卷
试
二
一
：
号
众
公∵x (0,a)
1
∴只要证
7
g ( x ) = f ( x ) − f ( 2 a − x )  0 ，对 x  ( 0 , a ) 恒成立.
∵ g '( x ) = f '( x ) + f '( 2 a − x ) =
( x + 1 )
x
( x
2
− a )
+
( 2 a −
( 2
x
a
+
−
1 )
x
( a
2 )
− x )
=
2 ( x − a
x
) 2
2
( x
( 2
2
a
−
−
2
x
a
)
x
2
− 2 a )
∵ x  ( 0 , a ) 时， x 2 − 2 a x − 2 a  0 恒 成 立
∴ x  ( 0 , a ) 时， g '( x )  0 恒 成 立 ， g ( x ) 在 ( 0 ， a ) 单 调 递 减
而g(a)= f(a)− f(a)=0，∴ g ( x )  0 对 x  （ 0 ， a ） 恒 成 立
即x +x 2a成立.……………………………………………………………………………………………15分
1 2
君
卷
试
二
一
：
号
众
公