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四年级下册数学寒假预习全册知识点归纳
知识点一：加、减法的意义和各部分间的关系
1.加、减法的意义
（1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
在加法中，相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。
（2）已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫
做减法。
在减法中，已知的和叫做被减数，减号后面的数叫做减数，减得的数
叫做差。
（3）减法是加法的逆运算。
2.加、减法各部分间的关系
（1）加法各部分间的关系：和=加数+加数，加数=和一另一个加数。
（2）减法各部分间的关系：差=被减数一减数，减数=被减数-差，
被减数=减数+差。
（3）由加、减法各部分间的关系，我们可以根据一个加法算式写出
两个减法算式，也可以根据一个减法算式写出一个加法算式和一个减
法算式。
知识点二：乘、除法的意义和各部分间的关系
1.乘、除法的意义
（1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
在乘法中，相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。
（2）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫
第 1 页 共 16 页做除法。
在除法中，已知的积叫做被除数，其中一个因数叫做除数，求出的另
一个因数叫做商。
（3）除法是乘法的逆运算。
2.乘、除法各部分间的关系
（1）乘法各部分间的关系：积=因数×因数 因数=积÷另一个
因数
（2）除法各部分间的关系：商=被除数÷除数 除数=被除数÷商
被除数=商×除数
3.有关 0 的运算
（1）一个数加上 0，还得原数；一个数减去 0，还得原数；被减数等
于减数，差是 0；一个数和 0 相乘，仍得 0； 0 除以一个非 0 的数，
还得 0。
（2）注意：0 不能作除数。
知识点三：括号
1.四则运算
我们学过的加、减、乘、除四种运算统称四则运算。
2.有括号的混合运算的顺序
（1）一个算式里，有小括号的要先算小括号里面的，再算小括号外
面的。
（2）一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，
再算中括号里面的。
3.解决租车、租船等最省钱问题
解决此类问题时，可以先假设（如假设全租大船，或假设全租小船），
第 2 页 共 16 页然后再根据计算结果进行调整。
1.从不同位置观察同一物体
站在不同的位置观察由几个同样大的正方体摆成的同一物体，看到的
形状可能是不同的。
观察物体时，一般正对观察者的那一面称为前面，朝上的那一面称为
上面，左侧的那一面称为左面。
2.从同一位置观察不同物体
从同一位置观察由几个同样大的正方体摆成的不同物体，看到的形状
可能相同，也可能不同。
3.计数问题
数有若干个小正方体所摆成的物体中小正方体的个数时，可以采用分
层的方法，以避免遗漏或重复。
知识点一：加法运算定律
1.加法交换律
（1）两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做加法交
换律。用字母表示：a+b=b+a。
（2）加法交换律中变化的只是两个加数的位置，不变的是这两个加
数及它们的和。
2.加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
这叫做加法结合律。
第 3 页 共 16 页用字母表示；：（a+b）+c=a+（b+c）。
3.运用加法运算定律进行简便计算在计算几个数连加的算式时，可以
利用加法交换律和加法结合律，使计算简便。
4.连减的简便计算
（1）一个数减去几个数的和，可以从这个数里依次减去各个加数。
用字母可表示：a-（b +c）=a-b-c。
（2）一个数连续减去几个数，可以先把所有的减数加起来，再从被
减数里减去所有减数的和。用字母可表示：a -b-c=a-（b+c）。
知识点二：乘法交换律
1.乘法交换律
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫做乘法交换律。用
字母表示：a×b=b×ag
2.乘法结合律
三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫做乘
法结合律。用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。
3.乘法分配律（两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分
别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。用字母表示：（a+b）×c=a
×c+b×c
知识点三：乘法及连除的简便计算
1.同一道乘法算式的不同简算方法：
计算某些特殊的乘法算式时，可以将其中一个因数折分成两个数的积，
再运用乘法交换律和乘法结合律来进行简算；也可以将其中一个因数
折分成两个数的和，再运用乘法分配律来进行简算。
2.连除的简便计算
第 4 页 共 16 页（1）一个数连续除以两个数，可以改为除以两个数的积。
用字母可表示为：a÷b÷c=a÷（b ×c）。（b‡0，c‡0）
（2）一个数除以两个数的积，可以改为连续除以这两个数。
用字母可表示为：a÷（b×c）=a÷b÷c。（b‡0，c‡0）
知识点一：小数的意义和读写法
1.小数的意义
①小数的产生：在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，
这时常用小数来表示。
②分母是 10、100、1000……的分数可以用小数来表示。
③小数是十进制分数的另一种表现形式。
④小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作 0.1、
0.01、0.001……
⑤每相邻两个计数单位间的进率是 10。
⑥小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位。整数
部分的最低位是个位。个位和十分位的进率是 10。
⑦小数的数位顺序表
小数
整数部分 小数部分
点
数 万 千 百 十 个 十 百 千 万
位 位 位 位 位 位 分 分 分 分
… · …
位 位 位 位
计 万 千 百 十 一 十 百 千 万
数 （ 分 分 分 分
… …
单 个 之 之 之 之
位 ） 一 一 一 一
（1）6．378 的计数单位是 0．001。（最低位的计数单位是整个数的
第 5 页 共 16 页计数单位）
（2）6．378 中有 6 个一，3 个十分之一（0.1），7 个百分之一（0.01），
8 个千分之一（0.001）。
（3）6．378 中有（6378）个千分之一（0.001）。
（4）9．426 中的 4 表示 4 个十分之一（0.1）[4 在十分位]
2、小数的读写
①小数的读法：先读整数部分（按照原来的读法），再读小数点，再
读小数部分。读小数部分，小数部分要依次读出每个数字，而且有几
个 0 就读几个 0。
②小数的写法：先写整数部分（按照原来的写法），再写小数点，再
写小数部分：写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几
个 0 就写几个 0。
知识点二：小数的性质和大小比较
1.小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
注意：小数中间的“0”不能去掉，取近似数时有一些末尾的“0”不
能去掉。作用可以化简小数等。
2.小数的大小比较： ① 先比较整数部分；②如果整数部分相同，就
比较十分位；③十分位相同，就比较百分位；④以此类推，直到比较
出大小。
知识点三：小数点移动引起小数大小的变化
小数点向右移：
移动一位，小数就扩大到原数的 10 倍；
移动两位，小数就扩大到原数的 100 倍；
移动三位，小数就扩大到原数的 10 00 倍；……
第 6 页 共 16 页小数点向左移：
移动一位，小数就缩小 10 倍，即小数就缩小到原数的十分之一 ；
移动两位，小数就缩小 100 倍，即小数就缩小到原数的百分之一 ；
移动三位，小数就缩小 1000 倍，即小数就缩小到原数的千分之
一 ；……
知识点四：小数与单位换算
1.生活中常用的单位：
质量：1 吨＝1000 千克； 1 千克＝1000 克
长度：1 千米＝1000 米 1 分米=10 厘米 1 厘米=10 毫米
1 分米=100 毫米 1 米＝10 分米＝100 厘米＝1000 毫米
面积：1 平方米＝ 100 平方分米 1 平方分米＝100 平方厘米
1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米
人民币：1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分
长度单位：千米 米 分米 厘米
面积单位：平方千米 公顷 平方米 平方分米 平方
厘米
重量单位：吨 千克 克
2.单位换算：
含有一个单位名称的数叫单名数；含有两个或两个以上单位名称的数
叫复名数。
大单位转化成小单位=乘以进率，小数点向右移动。
如：7450 米=（ 7.45 ）千米，因为 1 千米=1000 米，7450÷1000=7.45
（千米），所以 7450 米=（7.45）千米。
小单位转化成大单位==以进率，小数点向左移动。
第 7 页 共 16 页如：3．07 吨=（3070）千克，因为 1 吨=1000 千克，3.07×1000=3070
（千克），所以 3.07 吨=（3070）千克
知识点五：小数的近似数
1.保留整数，表示精确到个位，就是要把小数部分省略，要看十分位，
如果十分位的数字大于或等于 5 则向前一位进一。如果小于五则舍。
2.保留一位小数，表示精确到十分位，就要把第一位小数以后的部分
全部省略，这时要看小数的第二位，如果第二位的数字比 5 小则全部
舍。反之，要向前一位进一。
3.保留两位小数，表示精确到百分位，就要把第二位小数以后的部分
全部省略，这时要看小数的第三位，如果第三位的数字比 5 小则全部
舍。反之，要向前一位进一。
4.为了读写的方便，常常把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”
作单位的数。改写成“万”作单位的数就是小数点向左移 4 位，即在
万位的右边点上小数点，在数的后面加上“万”字。改写成“亿”作
单位的数就是小数点往左移 8 位即在亿位的右边点上小数点，在数的
后面加上“亿”字。注意：带上单位。然后再根据小数的性质把小数
末尾的零去掉即可。
5.在表示近似数时，小数末尾的“0”不能去掉。
近似数：
1.827 13.094 13.049 0.991
保留整数（精确到个位） 2 13 13 1
保留一位小数（精确到十分位） 1.8 13.1 13.0 1.0
保留两位小数（精确到百分位） 1.83 13.09 13.05 0.99
※：一个两位小数，近似数是 5.6，这个两位小数最大是多少？最小
是多少？
第 8 页 共 16 页最大：即在后面添 4，所以是 5.64。
最小：末尾对齐，保留小数点，减一，添 5。所以是 5.55。
知识点一：三角形的特性
1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点
相连或重合），叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线
段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有 3 条高。
重点：三角形高的画法：一落二移三画四标
3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任
意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。
判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大
于第三条边。
5、为了表达方便，用字母 A、B、C 分别表示三角形的三个顶点，三
角形可表示成三角形 ABC。
知识点二：三角形的分类
1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三
角形或正三角形是特殊的等腰△）。
3、等边△的三边相等，每个角是 60 度。（顶角、底角、腰、底的概
第 9 页 共 16 页念）
4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有 1 个直角；
每个三角形都至多有 1 个钝角。
8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。
10、等边三角形是特殊的等腰三角形
知识点三：三角形的内角和
1、三角形的内角和是 180°。四边形的内角和是 360°。一个三角形
中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至
多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪
类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大
的角是钝角，就是钝角三角形。
2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼
成四边形。
（2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。
并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。
（3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成
（平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。
（4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个
正方形、一个大的等腰直角三角形。
第 10 页 共 16 页（5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成
一个等腰梯形。
（6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。
至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。
至少用（2 个）直角三角形可以拼成一个长方形。
至少用（3 个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。
至少用（2 个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。
（7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。
密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形
知识点一：小数的加、减法。
1.计算小数加、减法时，要注意小数点对齐，也就是把相同数位对齐。
2.从低位算起，按整数加、法进行计算，得数对齐小数点的位置，点
上小数点。
3.得数（指小数）的末尾有 0，一般要去掉。
技巧：在笔算小数减法时，当小数位数不同时，可以根据小数的性质
在小数末尾添上 0，使两个小数数位相同后再相减。还要看清运算符
号后再计算。
知识点二：小数的四则混合运算。
小数加减混合运算的运算顺序同整数加减混合运算顺序相同。
易错题：35.65－（18.65+4.15）
=35.65－18.65+4.15【去括号没有改变括号内的运算符号】
=17+4.15
第 11 页 共 16 页=21.15
技巧：此题可用减法性质 1 的逆运算来解决，还可以运用整数运算中
去括号的方法解决。
27.24+18.6－20.3
=29.1－20.3【 】
错在相同数位没对齐，百分位上的4要落下来，十分位上的2应与6相加。
=8.8
知识点三：小数加减法的简便运算。
整数的运算定律在小数运算中同样适用。
易错题：①5.84+4.16－5.84+4.16
=（5.84+4.16）－（5.84+4.16）
=10－10 【 】
审题不认真，只看数据的特点，却忽略了数与数之间的关系及每个数前面的运算符号
=0
技巧：小数加减混合运算中，要想交换数的位置，一定要连同数前面
的运算符号一同交换。
②15.46－5.7+4.3
=15.46－(5.7+4.3)
=15.46－10 【此题只考虑数据能否凑整，而忽略了简算是否可行。】
=5.46
技巧：简算时如果需要加括号，一定要注意变号规则：如果在加号后
加括号，括号里面不变号；如果在减号后加括号，括号里面要变号。
知识点一：轴对称
1、对称轴的定义：把一个图形沿着某一条直线对折，如果直线两边
的图形能完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形。这条直线叫对称
第 12 页 共 16 页轴。
特征：对折后左右两边完全重合的图形是轴对称图形。
注意：物体的对称性与轴对称图形这两个概念是不同的。“对称性”
是某些物体的特征，“轴对称”是部分平面图形的特征。
2、轴对称图形概念的几种表述：
（1）如果一个图形沿着一条直线对折，折痕两侧的图形能够完全重
合，这个图形就是轴对称图形。
（2）一个图形可以用一条直线平分成两半，并且这两半完全相同，
这个图形就是轴对称图形。
（3）对折后能完全重合的图形就是轴对称图形。
以上三种概念表述说明：轴对称图形是一个两部分能完全重合的图形。
3、类型：左右对称或上下对称的图形，都是轴对称图形。
常见的轴对称图形有：长方形、正方形、圆形、等边三角形。
字母是轴对称图形的有：A、B、C、D、E、H、I、 K、M、O、T、V、
U、W、X、Y。
4、画图：根据轴对称图形的一半，画出它的另一半。
A.画对称轴的方法：左右对称的图形，在它左右两边的最上端找到
一组相对称的点，并量出这两个点的中点。然后在最下端量出一组对
称点的中点。最后经过这两个中点划出一条虚线。（上下对称的图形
画法相似）
B.根据对称轴画出轴对称图形的另一半的方法：先将已知图形的每
个角的顶点，在对称轴的另一端，以对称轴为中点量出与它们的相对
称的点。最后将这些点用已知图形的连接方法一一连接起来。（记住：
找对称点时，必须以对称轴为中心。）
第 13 页 共 16 页知识点二：平移
1.确定平移的方法和距离：
（1）根据箭头指向确定平移的方向；
（2）找出平移前后两个图形的一组对应点，对应点之间的格数就是
图形平移的格数。
2.画简单图形平移后的图形的方法：
（1）找出已知图形的关键点；
（2）将关键点按要求平移相应的格数，得到一组对应;
（3）根据原图形的形状将对应点按顺序连接。
知识点一：平均数
（一）平均数的意义及求平均数的方法：
1．平均数的意义:一组数据的和除以这组数据的个数，所得的商叫做
平均数，它是描述数据集中程度的一个统计量。
2.求平均数的方法：
（1）移多补少法：从多的数量中拿出一部分给少的数量，使它们变
成相等的数。
(2)公式法：总数量÷总分数＝平均数
（二）用平均数比较两组或几组数据的总体情况的方法：
1.先计算出每组数据的平均数；
2.再对比各个平均数，综合思路分析；
3.最后进行正确判断，解决问题。
知识点二：复式条形统计图
（一）能绘制纵向复式条形统计图：
第 14 页 共 16 页复式条形统计图的制作和表示方法与单式条形统计图基本相同，只是
有两组（或多组）数据，需要用两种（或多种）不同颜色的直条来表
示，同时要标明图例。
（二）根据复式条形统计图进行数据思路分析。
（三）绘制复式条形统计图。
注意：绘制统计图时直条的宽度是相同的，直条间的间隔是相等的。
知识点一：“鸡兔同笼”问题的特点：
鸡兔同笼是已知鸡、兔的总头数和总脚数，求其中鸡和兔务有多少只
的问题。
知识点二：“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、砍足法（抬腿法）
解答思路：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独
脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由
只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多．因
此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）．显然，
鸡的只数就是（只）了．
2、假设法（经典）
鸡兔同笼问题的基本关系式是：
如果假设全是兔，那么则有：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每
只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡，那么就有：
第 15 页 共 16 页兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只
鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数
3、方程法: 根据鸡兔的脚之和列方程解答。
第 16 页 共 16 页
