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北大附中 2025 届三模检测
数 学
2025.05
本试卷满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
.
1 已知集合 ， 则 （ ）
.
A B.
C. D.
2. 若复数z满足 ，则复数z的共轭复数 （ ）
A. B.
C. D.
3. 在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
4. 已知 则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设 是非零平面向量， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 经过点 ，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线 的距离最大值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知平面 ，直线 ，则下面结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 ；
B. 若 ，则 ；·
C. 若 ，则 ；
D. 若 ，则 ；
8. 已知集合 则集合M的元素个数为（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
9. 已知 是函数 的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知 图形T的面积为S，给出下列四个结论： ①
T是中心对称图形② T 是轴对称图形③ S=1④ S=2其中所有正确的结论是（ ）
A. ①③ B. ①④
C. ②③ D. ②④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线 的准线方程为____12. 若双曲线 的离心率小于3，则m的一个取值为_______.
13. 已知单位向量 满足 ，则 的模为________.
14. 为保证某水域内鱼类资源的可持续发展，需根据其自身再生能力等因素制定合理的捕捞方案.记
为第n年初时该水域内的鱼类总量，根据研究，第n年鱼类的自然繁殖量与 成正比，自
然死亡量与 成正比，捕捞量与 成正比，比例系数分别为 ，则 和 的关系式为
______________；若 ，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，则一组符合条件的 为
______________.
15. 如图，已知棱长为2的正方体 中，动点M ， N， P ， Q分别在棱 ， ，
， 上， 且满足 ， ， 设. 给出下列四个结论：
①当 时， 则四面体 的表面积为8:
② 存在m、n，使得四面体 的表面积为9；
③当 时，四面体 的体积为
④ 四面体. 的体积与m、n无关.
其中所有正确结论的序号为______________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在△ABC中,
（1）求∠B；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的
周长.
条件①: ；
条件②：△ABC的面积为 ；
条件③：AC边上的高等于
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
17. 如图，在四棱柱 中， 侧面 和底面 均为菱形， 且
为 的中点， 与平面 交于点 ，
（1） 求证: 为 的中点；
（2） 若平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
18. 某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获
得数据如下表：
甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5
.
9
乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9
5
已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立.
（1）从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率；
（2）从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的
分布列和期望：
（3）样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为 和 ，试比较 和 的大小（结论不要
求证明）.
19. 已知椭圆 过点 ，焦距为 过点 的直线 与椭圆 交于两
个不同的点 ， 已知点 ， 为直线 上一点， 且直线 .
（1）求椭圆 的方程及离心率；
（2）求 的横坐标.
20. 设函数 ，且在 处的切线方程为 .
（1） 求k的值；
（2） 求 的单调区间；
（3） 设 为 在点 切线方程，是否存在t使得函数 单调？若存
的
在，求出所有t 值；如不存在，说明理由.
21. 已知整数数列 的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质：
① ；
②
记
（1）若m=3，且 ，写出 的值；
（2）记 其中 表示集合A中的
元素 最大值.
（i）若 ， ，求 的最大值；
（ii）当 时，若 ，求Q的最小值.
