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北大附中 2025 届三模检测
数 学
2025.05
本试卷满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， 则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的概念进行求解．
【详解】根据题意， ,
则 .
故选：A
2. 若复数z满足 ，则复数z的共轭复数 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过复数的运算得出 ，然后根据共轭复数的概念求解.
【详解】根据题意， ，
所以 .故选：D
3. 在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A. B. 5 C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
【详解】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定
项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整
数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
4. 已知 则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得 ，即可得解.
【详解】根据题意， ，
所以 .故选：C
5. 设 是非零平面向量， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的数量积含义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【详解】根据题意，若 ，则 与 共线，
不防假设 ，则对任意的 都有 ，进而 成立，
故无法判定 ，充分性不成立，
若 ，则 ，所以 ，
故必要性成立，
所以“ ”是“ ” 的必要不充分条件.
故选：B
6. 经过点 ，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线 的距离最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定圆心 的轨迹方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心 到直线 的距离最
大值.
【详解】已知圆经过点 ，半径为 ，设圆心 的坐标为 ，
可得圆心 到点 的距离为 ，
即 ，化简可得 ，所以圆心 的轨迹是以原点 为圆心， 为半径的圆.
可得原点 到直线 的距离为： ，
所以点 到直线 的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即 .
故选：B.
7. 已知平面 ，直线 ，则下面结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 ；
B. 若 ，则 ；·
C. 若 ，则 ；
D. 若 ，则 ；
【答案】A
【解析】
【分析】BCD可举出反例；A利用线面平行的性质，及平行的相关定理可推理判断.
【详解】对于A，由 ，则存在相异于 的直线 ，
，使 ，即 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 ，故A正确；
对于B，若 ，则 或 ，故B错误；
对于C，若 ，则 或 ，故C错误；
对于D， 仅说明直线 与交线垂直，不能保证 垂直于 内的所有直线，故D错误；
故选：A.8. 已知集合 则集合M的元素个数为（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，求出 ，即可求出 ，进而求出 的值，可得答案.
【详解】因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
若 为偶数，则 或 ，
若 为奇数，则 或 ，
所以 或 或 或 .
故选：B.
9. 已知 是函数 的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】对于AB， 即可判断；对于D，取
即可判断；对于C，分析得知，只需证明 恒成
立即可，通过切线放缩即可得证.
【详解】对于AB，取 ，此时 ，故AB错误；
对于D，取 ，此时 ，故D错误；
对于C，不妨设 ，则 ，欲证 ，
只需证明 ，即只需证明 ，即只需证明 ，
设 ，只需证明 恒成立即可；
设 ，求导得 ，令 ，
解得 ，
所以 的斜率为1的切线方程为 ，
而 的图象是下凸的，
从而 恒成立，
因为 ，
所以 ，
所以 恒成立，综上所述， 恒成立，即 恒成立，故C正确.
故选：C.
10. 已知 图形T的面积为S，给出下列四个结论： ①
T是中心对称图形② T 是轴对称图形③ S=1④ S=2其中所有正确的结论是（ ）
A. ①③ B. ①④
C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可作出图形T，根据图形可确定对称性及面积.
【详解】根据题意曲线形成的图形由去线 与 即 所围成，点集T为阴影部
分，
根据图像可知，图形T关于 轴对称非中心对称图，故②正确；
根据对称性，把左边对称补齐到右边， ，
所以图形T的面积为 ，
故选：D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 抛物线 的准线方程为____
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线性质直接得解.
【详解】因为抛物线方程为 ，
则 ，所以它的准线方程为 .
故答案为： .
12. 若双曲线 的离心率小于3，则m的一个取值为_______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】先根据双曲线标准方程得 ，再根据离心率小于3，得 ，解得 的取值
范围.
【详解】因为 ，所以 ,
因为离心率小于3，所以 ，所以 .
故答案为： （答案不唯一）
13. 已知单位向量 满足 ，则 的模为________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量的模长公式，先得 ，再求 的模.【详解】根据题意， ，
即 ，
所以 ，
则 .
故答案为：
14. 为保证某水域内鱼类资源的可持续发展，需根据其自身再生能力等因素制定合理的捕捞方案.记
为第n年初时该水域内的鱼类总量，根据研究，第n年鱼类的自然繁殖量与 成正比，自
然死亡量与 成正比，捕捞量与 成正比，比例系数分别为 ，则 和 的关系式为
______________；若 ，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，则一组符合条件的 为
______________.
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意 ，代入 ，可得
，再代入 即可求解.
【详解】因为第n年鱼类的自然繁殖量与 成正比，自然死亡量与 成正比，捕捞量与 成正比，比
例系数分别为 ，
所以 ，
若 ，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，即 ，
所以 ，代入 ，则有 ，即有 ，由于 ，不妨取 ，
经检验 满足题意.
故答案为： ； （答案不唯一）.
15. 如图，已知棱长为2的正方体 中，动点M ， N， P ， Q分别在棱 ， ，
， 上， 且满足 ， ， 设. 给出下列四个结论：
①当 时， 则四面体 的表面积为8:
② 存在m、n，使得四面体 的表面积为9；
③当 时，四面体 的体积为
④ 四面体. 的体积与m、n无关.
其中所有正确结论的序号为______________.
【答案】②④
【解析】
【分析】对①，四面体 的4个面为全等的三角形，求解判断；对②，考虑 和
时的表面积变化可判断；对④，利用割补法得 正方体体积
，为定值；对③，由④求解判断.
【详解】对于①，当 时， 为所在棱的中点，四面体 的4个面为全等的三角形，
其中 ，
所以四面体 的表面积为 ，故①错误；
对于②，当 时，如图，四面体 的表面积为 ，
当 时，四面体 的表面积为 ，
由连续性变化可得存在 ，使得四面体 的表面积为9，故②正确；
对于④，四面体 的体积可以用割补法求解，
正方体体积 ，
由图，两个三棱柱 的体积和 为定值，
同样，两个四棱锥的体积和 ，也为定值与 无关，
所以四面体 的体积与 无关，故④正确；
对于③，由④，四面体 的体积 ，为定值，故③错误.故答案为：②④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在△ABC中,
（1）求∠B；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的
周长.
条件①: ；
条件②：△ABC的面积为 ；
条件③：AC边上的高等于
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由余弦定理可求出 ，再由 可求出 ；
（2）若选择①：不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一；若选择②：由面积公式可求得 ，再
代入 可得 ，即可求出△ABC的周长；若选择③：由等面积法可求出 ，再代入
可得 ，即可求出△ABC的周长.【小问1详解】
由 可得 ，
由余弦定理可得： ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
【小问2详解】
若选择①：因为 ， ，所以 ，所以 ，
则 ，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①.
若选择②：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
再代入 可得： ，
所以△ABC的周长为： .
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
由 可得： ，
所以 ，又因为AC边上的高等于 ， ，
所以 ，解得： ，所以 ， ，
所以△ABC的周长为： .
17. 如图，在四棱柱 中， 侧面 和底面 均为菱形， 且
为 的中点， 与平面 交于点 ，
（1） 求证: 为 的中点；
（2） 若平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面平行可得 ，根据中位线的性质可得；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量法求解二面角的余弦值.
【小问1详解】
在四棱柱 中，
平面 平面 ，
又因为平面CDE 平面ABCD=CD，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为E为 的中点，所以F为 的中点
【小问2详解】
取AD的中点O，连接 ，
在四棱柱 中，
四边形 ，四边形 均为菱形，
又
所以 均为等边三角形，
所以 ，
又因为平面 平面ABCD，平面 平面ABCD=AD，
平面 ，所以 平面ABCD，
平面ABCD，所以 ，
如图建立空间直角坐标系 ，
所以 ，
所以 即为平面 的一个法向量，
，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 得 ，所以 ，
所以 ，
因为二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ，
的
18. 某老师为了解班里甲、乙两位同学 数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10
份，.获得数据如下表：
甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5
乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9
已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得
分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立.
（1）从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率；
的
（2）从乙同学 所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计
X的分布列和期望：
（3）样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为 和 ，试比较 和 的大小（结论不要
求证明）.
【答案】（1）
（2）分别列见详解，期望
（3）相等【解析】
【分析】（1）先算出甲同学“得分达到良好”的个数，再利用古典概型求解即可；
（2）先算出乙同学“得分达到优秀”的个数，用样本估计总体，发现X服从二项分布，计算相关情况概率，
写出分布列并计算期望；
（3）分别求出甲乙样本的均值与方差比较即可.
【小问1详解】
根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共6个，
所以从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率为 .
【小问2详解】
乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9共4个，
所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为 ，
从中随机抽取3份，随机变量X服从二项分布，
， ，
， ，
所以分布列为
X 0 1 2 3
P
期望 .
【小问3详解】
根据题意样本中甲同学成绩的均值
，
乙同学成绩的均值 ，所以甲同学成绩的方差 ，
乙同学成绩的方差 ，
所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等.
19. 已知椭圆 过点 ，焦距为 过点 的直线 与椭圆 交于两
个不同的点 ， 已知点 ， 为直线 上一点， 且直线 .
（1）求椭圆 的方程及离心率；
（2）求 的横坐标.
【答案】（1） ； .
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆过点和焦距求出 ，即求得椭圆方程与离心率；
（2）通过设直线 方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理表示坐标，利用平行条件建
立方程求出坐标.
【小问1详解】
由题意可知， ，由焦距 ，则 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 ，离心率
【小问2详解】
若斜率不存在，则 ，则 ；
设直线 方程 ， ，则 ，消元可得；
则 ，
设 ，由点 是直线 上一点，，
则存在 ，使得 ，则 ，
由 ,则 ，
故 ，代入可得，
,
故 点的横坐标为 .
20. 设函数 ，且在 处的切线方程为 .
（1） 求k的值；
（2） 求 的单调区间；（3） 设 为 在点 切线方程，是否存在t使得函数 单调？若存
在，求出所有t的值；如不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可得 ，可得解；
（2）利用导数求函数单调性；
（3）求出切线方程，设 ，转化为 在 恒成立，再由二次函数性质可
解.
【小问1详解】
，
则 ，
解得 ；
【小问2详解】
，
令 ，得 或 ，
当 时， ，所以函数 在 和 上单调递增，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
所以函数 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
【小问3详解】
因为 ，所以 ， ，
所以 处切线方程为 ，
整理得： ，
设 ，
则
，
所以 ，
若 在 单调，则 恒成立，
所以只有 即 或 （舍）时， 恒成立，
即 在 单调递增，所以 .
21. 已知整数数列 的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质：① ；
②
记
（1）若m=3，且 ，写出 的值；
（2）记 其中 表示集合A中
元素的最大值.
（i）若 ， ，求 的最大值；
（ii）当 时，若 ，求Q的最小值.
【答案】（1） ， ；
（2）（i）2；（ii）30.
【解析】
【分析】（1）直接根据定义性质得 ，解出 ，再计算 即可；
（2）（i）取极端情况 为1，3，5；取数列 为2，3，4，此时 ；方法一：利用反证法，
假 设 ， 最 后 分 析 得 到 与 性 质 ② 矛 盾 的 点 ； 方 法 二 ： 一 般 性 证 明 ， 设
，通过引入 进行合理放缩即可；方法三：利用枚举法，枚举
出所有情况即可；
（ii）考虑极端情况，显然 ，分类讨论 为偶数和 为奇数即可.
【小问1详解】
由题意可得， ，
所以 .
【小问2详解】
（i）由②可得，两个数列均值相等，则要使 越大，则可考虑一组数据更集中，一组数据更分散，作为极端情况来考虑，此时要使 取到最大值，对应极端情况，取数列 为1，
3，5；取数列 为2，3，4，
则 ，
下证： 的最大值为2：
法1：（反证法）假设 ，则 ，不妨设 ，
若 ：
因为 ，所以 ，
则 ，与性质②矛盾，舍去；若 ：
因为 ，所以 ，可得
则 ，与性质②矛盾，舍去；
若 ：
因为 ，所以 ，
则 ，与性质②矛盾，舍去．
所以 ，同理可得 ，所以 .
取数列 为1，3，5；取数列 为2，3，4，
则 成立，所以 的最大值为2．
法2：（一般性证明）设 ，不妨设 ，
则 ，
所以 ，（7分）取数列 为1，3，5；取数列 为2，3，4，
则 成立，所以 的最大值为2．
法3：（枚举法）
取 为1，2，3，则 只能为1，2，3，此时 ；
取 为1，2，4，则 只能为1，2，4，此时 ；
取 为1，2，5，则 可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时 或2；
取 为1，3，4，则 可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时 或2；
取 为1，3，5，则 可能为1，3，5，也可能为2，3，4，此时 或2；
取 为1，4，5，则 可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时 或2；
取 为2，3，4，则 可能为2，3，4，也可能为1，3，5，此时 或2；
取 为2，3，5，则 可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时 或2；
取 为2，4，5，则 只能为2，4，5，此时 ；
取 为3，4，5，则 只能为3，4，5，此时 ．
综上， 的最大值为2．
（ii）考虑极端情况，显然 ，
若 为偶数，取 为 ，
取 为
则
解得 成立；若 为奇数，取 为 ，
取 为
则
解得 ，与 为奇数矛盾，舍去，
的
所以 最小值为30，
当 为 为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时取到．
证明：
记 ，
则 ，
，设
则有 ，其中 分别表示集合 的元素个数
由（i）可得 ，
所以 （＊）
又因为 ，所以 ，进一步有 ，
将 代入（＊）中可得
，
再次代入（＊）中可得 ，解得 ，另一方面，当 为 为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时
．
所以 的最小值为30．
