高2027届数学月考二答案_20272025-2026学年高二上学期《月考+阶段检测类试卷合集》全国多省全科（100套）_251229云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二上学期12月第二次月考试题（全）

参考答案
题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
号
答 2 3
D B C A C C A C ABC BC ACD 64 5
案 3
1 1
15．【详解】（1）解:由题知由2a −a =2,所以a = a +1,a −2= (a −2),
n+1 n n+1 2 n n+1 2 n
因为a =1,所以
1
第1页，共4页
a
1
− 2 = − 1 ,
所以a −2是以首项为−1,公比为
n
1
2
的等比数列; .....................................4分
a
n
− 2 = ( − 1 )  1
2
 n − 1 ,所 a
n
= 2 −  1
2
 n − 1 ( n  N * ) ; ...................................6分
1 n−1 1 1 2 1 n−1
（2）b =2n−1+  ,所以S =1+ +3+  + +（2n−1）+  ,
n 2 n 2 2 2
S
n
= ( 1 + 3 + 5 +  （ 2 n − 1 ) ) +
 1
2
 0
+
 1
2
 1
+
 1
2
 2
+
 1
2
 3
+
 1
2
 n − 1
= n 2 + 2 − (
1
2
) n − 1 .......................................13分
16.【详解】（1）在四棱锥 O − A B C D 中，底面 A B C D 是边长为2的正方形， O A ⊥底面
A B C D 则 A B , A D , A O 两两垂直，
以A为坐标原点所 A B , A D , A O 在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图，
由OA=2, M 为OA的中点，N 为BC的中点，得
A ( 0 , 0 , 0 ) , M ( 0 , 0 ,1 ) , N ( 2 ,1 , 0 ) , O ( 0 , 0 , 2 ) , C ( 2 , 2 , 0 ) D ( 0 , 2 , 0 )

即MN =(2,1,−1),
O C  =  (
2
, 2
, − 2 ) , O D = ( 0 , 2 , − 2 ) 设平面 O C D 的法向量为
n
= ( x , y , z ) , 则

nOC=2x+2y−2z=0 
 ，取z=1,得n=(0,1,1). ......................4分
nOD=2y−2z=0第2页，共4页
n  M  N  = 0    n
⊥ M N , M N  平 面 O C D ， 所以直线 M N //平面 O C D .....................7分

（2）由（1）知，AC=(2,2,0),且平面 O C D

的一个法向量为n=(0,1,1),设直线AC与平面
O C D 所成角为.则
s in c o s ,
2
2
2 2
1
2
,  = 
n  A C  
=
nn  AA CC 
 =

= .......................10分
所以 c o s 1 s in 2
2
3
,   = − = 故直线 A C 与平面 O C D 所成角的余弦值为
2
3
. ............12分

（3）由（1）知NC=(0,1,0),且平面 O C D 的一个法向量为
n
= ( 0 ,1 ,1 ) ,
所以点 N 到平面OCD的距离 d =
N  
C
n
 n
=
1
2
=
2
2
. .........................15分
17. 【详解】（1）函数 f ( x ) = ln x − a x , x  0 , 求导得， f ( x ) =
1
x
− a
.......................2分
当a0时， f ( x )  0 , f ( x ) 在（0，+）上单调递增； .......................6分
当 a  0 时， x  ( 0 ,
1
a
) 时 ， f ( x )  0 , x  (
1
a
, +  ) 时 ， f ( x )  0 , 函数
f ( x ) 在 ( 0 ,
1
a
) 上 单 调 递 增 ， 在 (
1
a
, +  ) 单 调 递 减 ，
..........................8分
所以当 a  0 时，函数 f(x)在 （ 0 ， +  ） 上单调递增；
当 a  0 时， f ( x ) 在 ( 0 ,
1
a
) 上 单 调 递 增 ， 在 (
1
a
, +  ) 单 调 递 减 。
1 1
（2）证明：由（1）知，当a0时， f(x) = f( )=ln −1,
max a a .....................11分
设 g ( x ) = ln x − x + 1 , x  0 , 求导得 g ( x ) =
1
x
− 1 , 当 0  x  1 时 ， g ( x )  0 ; 当 x  1 时 ， g ( x )  0 ,
所以函数 g ( x ) 在 （ 0 ，1 ） 上单调递增，在 （ 1 ， +  ） 上单调递减，
g ( x )  g (1 ) = 0 ,
因此lnx−x+10lnx x−1lnx−1 x−2,
则 l n
1
a
− 1 
1
a
− 2 , 所以 f ( x ) 
1
a
− 2 . .....................15分
18.【详解】（1）由题意可得 P F = 1 +
p
2
= 2 , 所以 p=2, ................................2分
得抛物线C的方程为：y2 =4x,焦点为（1，0） 直线
，
l 的方程为：y= x−1,

y=x−1,
联立方程 y2=4x 消去y得x2 −6x+1=0,
...........................5分设
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A ( x
1
, y
1
) , B ( x
2
, y
2
) , 则x +x =6,
1 2
得弦长 AB = x +x + p=6+2=8.
1 2 ...........................7分
（2）设直线l的方程为： x = t y + 1 , ( t  0 ) ,
联立方程

x
y
=2 t
=
y +
4
1
x
,
消去 x , y2 −4ty−4=0,设 得 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 则
y
1
+ y
2
= 4 t , y
1
y
2
= − 4 ,
..........................................10分
所以 A B = 1 + t 2 y
1
− y
2
= 4 ( t 2 + 1 ) ,
同理可得 M N = 4 (
1
2 t
+ 1 ） ，
...........................14分
所以四边形AMBN 的面积为：
S

=
8 (
1
2
2 +
A
2
B M
2 t
N
1

2 t
=
)
8
=
( t
3
2
2
+
,
1 ) (
1
2 t
+ 1 ) = 8 ( 2 + t 2 +
1
2 t
)
当且仅当 t 2 = 1 , 即 t =  1 时，等号成立，
所以四边形 A M B N 的面积的最小值为： 3 2 .........................................17分
19.【详解】（1） y  = 2 x ，由题意知：(x +m)2 =2x (m+1)，即
0 0
m 2 = 2 x
0
− x 20 = − ( x
0
− 1 ) 2 + 1  1 ,
 m  [ − 1 ,1 ] . .............................3分
（2） y  = − s i n x ，由题意知： c o s ( x
0
+

2
) − t = (

2
+ 1 ) ( − s i n x
0
) ，即 t
2
s i n x
0

=
3
 sinx [− ,1]，
0 2
[
3
4 2
]
 
 t  − , . ................................7分
（3）y =6x2 −6x，由题意知： 2 ( x
0
+ 1 ) 3 − 3 ( x
0
+ 1 ) 2 − a = 2 ( 6 x 20 − 6 x
0
) ，
 2 x 30 − 9 x 20 + 1 2 x
0
− a − 1 = 0 ， 令 g ( x ) = 2 x 3 − 9 x 2 + 1 2 x − a − 1 , x  R , 转化为g(x)有
两个零点， g(x)=6x2 −18x+12=6(x−1)(x−2) ..............................11分
 g ( x )  0  x  1 或 x  2 ； g ( x ) < 0  1  x  2 ；
g(x)在(−,1),(2,+)单调递增，在(1,2)单调递减； ..................................13分由三次函数性质知：若g(x)有两个零点，则g(1)=0或g(2)=0，
解得：
第4页，共4页
a = 3 或 a = 4 . ..................................17分