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突破二、弹簧模型
静力学中的弹簧模型
静力学中的弹簧模型一般指与弹簧相连的物体在弹簧弹力和其他力的共同作用下处于平衡状态的问题，涉
及的知识主要有胡克定律、物体的平衡条件等，难度中等偏下。
【例题】如图所示，粗糙的水平地面上放着一个质量为M、倾角为θ 的斜面体，斜面部分光滑，底面与水
平地面间的动摩擦因数为μ，轻质弹簧一端与固定在斜面上的轻质挡板相连，另一端连接一质量为m 的小
球，弹簧的劲度系数为k。斜面体在水平向右的恒力F 作用下，和小球一起以加速度a 向右做匀加速直线
运动（运动过程小球没离开斜面）。重力加速度为g，以下说法正确的是（ ）
A．水平恒力大小为（M＋m）a
B．地面对斜面体的摩擦力为μ（M＋m）g
C．弹簧的形变量为
D．斜面对小球的支持力为mgcosθ＋masinθ
【总结归纳】
(1)弹簧的最大形变量对应弹簧弹力的最大值。
(2)当木块刚好不上滑时所受静摩擦力达到最大值，此时弹簧弹力最大。
【分类训练】
类型1 形变情况已知的弹簧模型
1．木块A、B 重力分别为50 N 和60 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25，夹在A、B 之间的
轻弹簧被压缩了2 cm，弹簧的劲度系数为400 N/m，系统置于水平地面上静止不动．假设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，现用F＝2 N 的水平拉力作用在木块B 上，如图所示，则F 作用后木块A、B 所受摩擦力的
大小分别为(弹簧始终在弹性限度内) （ ）
A．8 N,10 N
B．8 N,15 N
C．10 N,8 N
D．10 N,15 N
1
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类型2 形变情况未知的弹簧模型
2. 如图所示，原长分别为和
、劲度系数分别为
和
的轻质弹簧竖直的悬挂在天花板下，两弹簧之间
有一质量为
的物体，最下端悬挂着质量为
的另一物体，整个装置处于静止状态。现用一个平板把下
面的物体竖直地缓缓向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，这时平板受到下面的物体
的压力大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
动力学中的弹簧模型
动力学中的弹簧模型主要涉及关联物体在弹簧作用下的运动，该运动过程中弹簧的弹力往往是变力，物体
的加速度、速度等物理量均与弹簧的形变量有关，试题难度中等。)
【例题】如图所示，一水平轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端与放在水平地面上的物体A 相连，物体B
靠在A 的右侧，弹簧处于原长状态。现用力F 压物体B 使弹簧缓慢压缩了
后撤去力F。已知弹
簧的劲度系数
，A 的质量为
，B 的质量为
，地面与A、B 两物体间的动摩
擦因数
。下列说法中正确的是（ ）
A．F 撤去瞬间，A 的加速度为
B．F 撤去瞬间，A 对B 的作用力大小为5N
C．F 撤去后，B 向右运动了10.5cm 时与A 分离
2
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D．F 撤去后，B 向右运动了3cm 时的速度最大
【总结归纳】
(1)木板B 与砝码A 脱离瞬间弹簧不一定处于自然伸长状态。
(2)物体间脱离的标志是相互作用力为零，此时两物体的加速度、速度均相同。
【分类训练】
类型1 与弹簧相连的物体间作用力变化分析
1．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F 的作用
下物体处于静止状态，当撤去力F 后，物体将向右运动。在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是（
）
A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．弹簧的弹性势能先增大后减小
D．弹簧的弹性势能先减小后增大
类型2 与弹簧相连的物体速度与加速度变化分析
2．如图所示，轻弹簧一端固定，另一端自由伸长时恰好到达O 点，将质量为m（视为质点）的物体P 与
弹簧连接，并将弹簧压缩到A 由静止释放物体后，物体将沿水平面运动。若物体与水平面的摩擦力不能忽
略，则关于物体运动的下列说法中正确的是（ ）
A．从A 到O 速度先增大后减小，从O 到B 速度不断减小
B．从A 到O 速度不断增大，从O 到B 速度不断减小
C．从A 到O 加速度不断减小，从O 到B 加速度先减小后增大
D．从A 到O 加速度不断减小，从O 到B 加速度不断增大
与动量、能量有关的弹簧模型
与动量、能量有关的弹簧模型常涉及碰撞问题和弹簧弹力做功问题，因弹力为变力，一般不直接用功的定
义式确定其功的大小，因此，常应用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律来间接求解弹力做功或弹
性势能。
3
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【例题】如图所示，光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 都可视为质点，设Q 的质量为m，P 的质量是Q 质量
的3 倍。Q 与水平轻弹簧相连，开始Q 静止，P 以一初速度
向Q 运动并与弹簧发生碰撞。当弹簧的弹性
势能最大时（ ）
A．Q 的动能为P 动能的
B．P 的速度为
C．P、Q 的动能之和为
D．弹簧具有的弹性势能等于
【总结归纳】
(1)两物体发生完全非弹性碰撞时，系统动能损失最大。
(2)因碰撞时间极短，碰撞瞬间物体并没有发生明显位移，即与物体相连的弹簧形变量没有发生变化，故系
统碰撞损失的动能并没有转化为弹性势能。
【分类训练】
类型1 功能关系中的弹簧模型
1．如图所示，半径
m 的光滑圆环沿竖直方向固定放置，
为圆心，A 为圆环最高点。轻弹簧劲度
系数
，一端固定在A 点，另一端与穿在圆环上的小球连接。弹簧原长时，小球位于
点，弹
簧与竖直直径成53°角。静止释放小球，当小球运动至
点时，其速度达到最大，速度值为
，此
时弹簧与竖直直径成37°角。重力加速度
，
，
，计算结果均取一位小
数，下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为1.5kg
B．小球由
至
，其重力势能减少了4.9J
C．小球由
至
，其机械能减少了6.8J
D．小球由
至
，其机械能减少了1.5J
4
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类型2 动量关系中的弹簧模型
2．如图所示，质量均为m 的A、B 两物体通过劲度系数为k 的轻质弹簧拴接在一起竖直放置在水平地面
上，物体A 处于静止状态。在A 的正上方h 高处有一质量也为m 的小球C。现将小球C 由静止释放，C 与
A 发生碰撞后立刻粘在一起，弹簧始终在弹性限度内，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的
是（ ）
A．C 与A 碰撞后A 最大速度的大小为
B．C 与A 碰撞过程中，A、C 组成的系统损失的机械能为
C．C 与A 碰撞后弹簧的最大弹性势能为
D．要使碰后物体B 被拉离地面，h 至少为
一、单选题
1．如图所示，轻质弹簧一端固定在水平天花板上，另一端与一小球相连，再对小球施加一个拉力F 使小
球处于平衡状态。现保持拉力F 大小不变，方向沿顺时针缓慢转至水平，此过程中弹簧的长度将（弹簧始
终处在弹性限度内）（ ）
A．先减小后增大B．先增大后减小
C．减小
D．增大
2．如图所示，长木板A 置于水平地面上，其左端有固定的立柱，物块B 叠放在A 上。立柱与B 之间有轻
弹簧连接，水平向左的力F 作用在物块B 上。若力F 逐渐增大，但各物体仍处于静止状态，则在此过程中
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（ ）
A．木板A 上、下表面所受摩擦力的合力不变
B．物块B 所受的摩擦力逐渐增大
C．物块B 所受的摩擦力始终向右
D．弹簧的弹力逐渐增大
3．如图，粗糙水平地面上一小车在外力作用下向右做匀速直线运动。一轻弹簧的一端与车厢的挡板相
连，另一端与滑块相连，弹簧处于压缩状态，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。小车与滑块始终相对静
止，一起在水平地面上做匀速直线运动。在地面参考系（可视为惯性系）中，小车、弹簧和滑块组成的系
统（ ）
A．动量守恒，机械能总量保持不变
B．动量守恒，机械能总量发生改变
C．动量不守恒，机械能总量保持不变
D．动量不守恒，机械能总量发生改变
4．如图所示，连在一起的两段轻弹簧竖直放置，弹簧的劲度系数分别为
和
，重力加速度为
。当弹
簧处于原长状态时，把质量为
的重物轻轻放在弹簧上面，当重物所受的合力为零时，重物下降的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，两个弹簧的质量不计，劲度系数分别为k1、k2，它们一端固定在质量为m 的物体上，另一端
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分别固定在平面Q、P 上，当物体平衡时上面的弹簧处于原长，若把固定的物体换为质量为2m 的物体（弹
簧均在弹性限度内），当物体再次平衡时，物体比第一次平衡时的位置下降了x，则x 为（重力加速度为
g）（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，用一根轻质弹簧将A、B 两个物块连接在一起，在B 上作用一水平向有的恒力F。若将A、
B 放置在光滑的水平桌面上，物块A、B 以加速度
向右加速，此时弹簧的长度为
；若将A、B 放置在
粗糙的水平桌面上，物块A、B 以加速度
向右加速，此时弹簧的长度为
；已知弹簧始终处于弹性限度
范围内，物块A、B 与水平桌面的动摩擦因数相等，则下列说法正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．A、B 放置在光滑的水平桌面上时，若突然撤去拉力F，A、B 将做匀速直线运动
D．A、B 放置在粗糙的水平桌面上时，突然撤去拉力F 的瞬间，A、B 加速度均发生改变
7．如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个相同的不带电小球由三根相同的绝缘轻弹簧连接构成等边三
角形，轻弹簧均处于原长。现让每个小球带上相同的电量q，当三角形的面积增大到原来的4 倍时重新达
到平衡状态。已知每根弹簧的原长为
，真空中的静电力常量为k，则每根弹簧的劲度系数为（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
8．一轻弹簧的一端固定在倾角为
的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为
的小物块
相连，如图所
示。质量为
的小物块
紧靠
静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为
。从
时开始，对
施加沿斜面
向上的拉力，使
始终做匀加速直线运动。经过一段时间后，物块
分离；再经过同样长的时间，
距
其出发点的距离恰好也为
。弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度大小为
。则（ ）
A．
在弹簧压缩量为
处分离
B．
的加速度为
C．作用于
上的最小拉力为
D．
在匀加速运动的时间为
9．如图所示，质量均为
的两物块
、
叠放后静止在光滑水平面上的
点，其中
通过水平轻弹簧与
竖直墙壁相连，弹簧劲度系数
。现对
施加一水平向左的推力
，使
、
一起缓慢向左移至
点后释放。已知
、
间动摩擦因数
，重力加速度
，设两物块间最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）
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A．
间距离最大为
B．释放后
将从
上滑出
C．释放后
的加速度可能为
D．释放后
、
将一起向右做匀加速运动
10．如图所示，小球A 和B 套在光滑水平杆上，两球间连接轻弹簧，A、B 分别通过长度相等的轻绳一起
吊起质量为300g 的小球C，当两绳与水平杆的夹角为37°时恰好处于平衡状态，此时弹簧压缩了2cm。已
知
，
，重力加速度大小取
。弹簧始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为
（ ）
A．200N/m
B．100N/m
C．50N/m
D．1N/m
11．在某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m 的小球P（可视为质点）从弹簧上端由静
止释放，小球沿竖直方向向下运动，小球的加速度a 与弹簧压缩量x 间的关系如图所示，其中
和
为已
知量。下列说法中不正确的是（ ）
A．小球向下运动至速度为零时所受弹簧弹力大小为
B．弹簧劲度系数为
C．小球向下运动过程中的最大动能为
D．当弹簧压缩量为
时，弹簧的弹性势能为
12．如图所示，轻弹簧
的一端固定，另一端连着小球A，小球A 的下面用另一根相同的轻弹簧
连着
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小球B，一根轻质细绳一端连接小球A，另一端固定在墙上，平衡时细绳水平，弹簧
与竖直方向的夹角
为
，弹簧
的形变量为弹簧
形变量的3 倍，重力加速度大小为g。将细绳剪断的瞬间，下列说法正
确的是（ ）
A．小球A 的加速度大小为
B．小球A 的加速度大小为
C．小球B 的加速度大小为
D．小球B 的加速度大小为g
二、解答题
13．如图所示，一轻质弹簧两端连着木块
和
，静止放在光滑水平面上，一颗子弹以水平速度
射入木
块
并留在其中，已知子弹的质量为
，
的质量为
，
的质量为
，则直到弹簧压缩最短时，求：
（1）弹簧的最大弹性势能为多少？
（2）系统损失的机械能为多少？
14．如图，一水平轻弹簧左端固定，右端与一质量为m 的小物块a 连接，a 静止在水平地面上的A 处，此
时弹簧处于原长状态，A 左侧地面光滑；另一质量为
的小滑块b 静止在B 处，b 与地面间的动摩擦因数
为μ。现对b 施加一水平向左、大小为
的恒定推力，经时间t 后b 与a 发生弹性正碰（碰撞时间
极短），碰前瞬间撤去推力，a 与b 不再相碰。已知重力加速度大小为g。求；
（1）b 与a 碰撞前瞬间的速度大小v 以及A 与B 间的距离x0；
（2）弹簧的最大弹性势能Epm以及碰后b 运动的路程L。
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15．如图所示，质量均为m=0.4kg 的两个小物块A、B（均可视为质点）放置在水平地面上，竖直平面内
半径R=0.4m 的半圆形轨道与水平地面相切于C 点，弹簧左端固定。移动物块A 压缩弹簧到某一位置（在
弹簧弹性限度内），由静止释放物块A，物块A 离开弹簧后与物块B 碰撞并黏在一起以共同速度v=5m/s
向右运动，运动过程中经过一段长为s、动摩擦因数
的水平面后，冲上圆轨道。轨道其余部分均不
摩擦。（g 取10
）
（1）刚要释放物块A 时弹簧的弹性势能是多大？
（2）若s=1m，求两物块刚过C 点时对轨道的压力大小。
（3）若两物块能冲上圆形轨道，且不脱离圆形轨道（从最高点飞出之前），s 应满足什么条件？
11
