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专题强化十一 “滑块—弹簧”模型和“滑块—斜(曲)面”模型
【复习目标】
会分析“滑块—弹簧”“滑块—斜(曲)面”与碰撞的相似性，并会用碰撞的相关知识解决实际问
题。
模型一 “滑块—弹簧”模型
【知识梳理】
1.模型图示
2.模型特点
(1)动量守恒:两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)机械能守恒:系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(或最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全
非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)，即m1v0＝(m1＋m2)v，ΔEp＝1
2m1v0
2－1
2
(m1＋m2)v2。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能无损失(相当于刚完成弹性碰撞)，即m1v0＝m1v1＋
m2v2，1
2m1v0
2＝1
2m1v1
2＋1
2m2v2
2。
【典例剖析】
例1 如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m 的物块A、B、C，B 的左侧固定一轻弹簧(弹簧左
侧的挡板质量不计)。设A 以速度v0向B 运动，压缩弹簧;当A、B 速度相等时，B 与C 恰好相碰
并粘在一起，然后继续运动。假设B 和C 碰撞过程时间极短。求从A 开始压缩弹簧直至与弹簧分
离的过程中:
(1)整个系统损失的机械能;
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
【即时训练】
1
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1.(2024·江苏卷，9)如图所示，在水平面上静止有一个U 形滑板A，A 的上表面有一个静止的物体
B，左侧用轻弹簧连接在滑板A 的左端，右侧用一根细绳连接在滑板A 的右端，开始时弹簧处于
拉伸状态，各表面均光滑，剪断细绳后，则( )
A.弹簧恢复原长时A 的动能最大
B.弹簧压缩至最短时A 的动量最大
C.整个系统动量变大
D.整个系统机械能变大
2.(2025·北京昌平高三月考)如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，
并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两
物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是( )
A.两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1
B.在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值
C.t1~t2时间内，弹簧的长度大于原长
D.t2~t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小
模型二 “滑块—斜(曲)面”模型
【知识梳理】
1.模型图示
2.模型特点
2
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(1)上升到最大高度:m 与M 具有共同水平速度v 共，此时m 的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守
恒，mv0＝(M＋m)v 共;系统机械能守恒，1
2mv0
2＝1
2(M＋m)v共
2＋mgh，其中h 为滑块上升的最大高
度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m 的重力势能)。
(2)返回最低点:m 与M 分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2;系统机械能守恒，1
2mv0
2＝1
2
mv1
2＋1
2Mv2
2(相当于弹性碰撞)。
【典例剖析】
例2 (2025·安徽芜湖模拟)如图所示，在水平面上放置一个右侧面半径为R 的1
4圆弧凹槽，凹槽质
量为m，凹槽A 点切线水平，B 点为最高点。一个质量也为m 的小球以速度v0从A 点冲上凹槽，
重力加速度为g，不计一切摩擦，则下列说法正确的是( )
A.小球在凹槽内运动的全过程中，小球与凹槽的总动量守恒，且离开凹槽后做平抛运动
B.若v0＝√2 gR，小球恰好可到达凹槽的B 点且离开凹槽后做自由落体运动
C.若v0＝√5 gR，小球最后一次离开凹槽的位置一定是A 点，且离开凹糟后做自由落体运动
D.若v0＝√7 gR，小球最后一次离开凹槽的位置一定是B 点，且离开凹槽后做竖直上抛运动
【即时训练】
3.(2025·湘豫名校高三联考)如图，质量为M，半径为R 的圆弧槽，置于光滑水平面上。将一可视
为质点的滑块从与圆心等高处无初速度地释放，滑块的质量为m，且M＝2m，重力加速度大小为
g。下列说法正确的是( )
A.若圆弧面光滑，则圆弧槽与滑块组成的系统动量守恒
B.若圆弧面光滑，则滑块运动至水平面时速度大小为√
gR
3
C.若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则圆弧槽的位移大小为R
3
3
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D.若圆弧面粗糙，滑块能运动至水平面，则滑块的位移大小为2 R
3
【限时训练】（40min）
1.(2025·北京朝阳模拟)如图所示，光滑水平地面上的P、Q 两物体质量均为m，P 以速度v 向右运
动，Q 静止且左端固定一轻弹簧。当弹簧被压缩至最短时( )
A.P 的动量为0
B.Q 的动量达到最大值
C.P、Q 系统总动量小于mv
D.弹簧储存的弹性势能为1
4mv2
2.(多选)(2025·四川泸州模拟)如图所示，质量均为m 的A、B 两物体用一轻弹簧连接，放在光滑的
水平面上，A 紧靠光滑的墙。现用外力推B 将弹簧压缩某一长度并处于静止状态，然后撤去外力，
在弹簧恢复原长时B 物体的速度为v。弹簧始终处于弹性限度内，则在撤去外力以后的运动过程
中，下列说法正确的是( )
A.物体A、B 和轻弹簧组成的系统机械能守恒
B.弹簧再次被压缩到最短时具有的弹性势能为1
2mv2
C.墙壁对A 物体的弹力做的功为1
2mv2
D.墙壁对A 物体的弹力产生的冲量大小为mv
3.(2025·海南三亚模拟)如图所示，一个质量为M 的滑块放置在水平面上，滑块的一侧是一个四分
之一圆弧，EF 圆弧半径R＝1 m。E 点与水平面相切。另有一个质量为m 的小球以v0＝5 m/s 的初
速度水平向右从E 点冲上滑块，若小球刚好没越过圆弧的上端，已知重力加速度大小g＝10
m/s2，不计一切摩擦。则滑块与小球质量的比值M
m 为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
4
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4.(2025·江西赣州模拟)如图甲所示，光滑水平地面上有A、B 两物块，质量分别为2 kg、6 kg，B
的左端拴接着一劲度系数为200
3 N/m 的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A 以速度v0
向静止的B 运动，从A 接触弹簧开始计时至A 与弹簧脱离的过程中，弹簧长度l 与时间t 的关系
如图乙所示，弹簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能Ep＝1
2kx2(x 为弹簧的形变量)，
则( )
A.在0~2t0内B 物块先加速后减速
B.整个过程中，A、B 物块构成的系统机械能守恒
C.v0＝2 m/s
D.物块A 在t0时刻时速度最小
5.(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)如图甲，一滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半径为R 的四分之一
圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。小球以水平向右的初速度v0从圆弧最低点冲上滑块，且小球
能从圆弧最高点冲出滑块。小球与滑块水平方向的速度大小分别为v1、v2，作出某段时间内v1－v2
图像如图乙所示，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.滑块与小球在相互作用的过程中，水平方向动量守恒
B.当滑块的速度为0.5v0时，小球运动至最高点
C.小球与滑块的质量比为1∶2
D.小球的初速度大小可能为√2.5 gR
6.如图所示，两光滑且平行的固定水平杆位于同一竖直平面内，两静止小球m1、m2分别穿在两杆
上，两球间拴接一竖直轻弹簧，弹簧处于原长状态。现给小球m2一个水平向右的初速度v0，两杆
足够长，则在此后的运动过程中( )
5
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A.m1、m2组成的系统动量不守恒
B.m1、m2组成的系统机械能守恒
C.弹簧最长时，其弹性势能为
m2v0
2
2(m1＋m2)
D.m1的最大速度是
2m2v0
m1＋m2
7.(2025·福建泉州模拟)如图，左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧，处于自然状态时另一端在光滑
水平台面右端;质量为3m 的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台，其左侧a 端与台面等高，小
车的上表面由长度为R 的粗糙水平面ab 和半径为R 的四分之一圆弧形光滑轨道bc 组成。质量为
m 的小物块P(与弹簧不拴接)在外力作用下将弹簧压缩至某一位置，由静止释放后从a 端以大小为
2√gR(g 为重力加速度大小)的速度滑上小车，恰好能到达顶端c。
(1)求P 由静止释放时弹簧的弹性势能Ep;
(2)求P 与ab 间的动摩擦因数μ;
(3)请通过计算判断P 是否会滑离小车?
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8.(2024·安徽卷，14)如图所示， 一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光
滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，
一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置
时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着轨道运动，已
知细线长L＝1.25 m，小球质量m＝0.20 kg，物块、小车质量均为M＝0.30 kg，小车上的水平轨道
长s＝1.0 m。圆弧轨道半径R＝0.15 m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g
取10 m/s2。
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小;
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小;
(3)为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数μ 的
取值范围。
7
