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突破七、电磁感应中的杆模型与框模型
单杆＋导轨模型
单杆＋导轨模型是由单杆、导轨、电阻或电容器、磁场一般为匀强磁场组成，从导轨的放置方式上来
分，可有水平导轨、竖直导轨、倾斜导轨三种类型，求解过程中要做好三个分析：电路分析、动力学分
析、能量分析，在计算感应电荷量时，还要用到动量定理知识，试题难度一般较大。
【分类训练】
类型1 单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题
1．如图所示，固定在绝缘斜面上的两个光滑金属导轨平行放置，两导轨上端接有一定值电阻R，两导轨处
在方向垂直斜面向下的匀强磁场中。一个导体棒与绝缘弹簧上端相连，弹簧下端固定，弹簧沿斜面方向且
不和斜面接触，导体棒放在两导轨上，两导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，导体棒静止不动、且
导体棒和弹簧垂直。现在作用在导体棒上一个沿斜面向上的拉力F，使导体棒沿两导轨向上运动一段距
离，设导体棒始终与两导轨垂直并保持良好接触。导体棒在此运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．拉力F 做的功等于导体棒的动能增量
B．拉力F 做的功等于导体棒的机械能增量
C．拉力F 做的功等于导体棒机械能增量、电阻R 上产生的电热二者之和
D．拉力F 做的功等于导体棒机械能增量、电阻R 上产生的电热、弹簧弹性势能增量三者之和
【总结归纳】
题型一(v0≠0)
题型二(v0＝0)
题型三(v0＝0)
题型四(v0＝0)
说明
质量为m，电阻不计的
单杆cd 以一定初速度
v0 在光滑水平轨道上
滑动，两平行导轨间距
轨道水平光滑，杆cd
质量为m，电阻不计，
两平行导轨间距为L，
倾斜轨道光滑，倾角为
α，杆cd 质量为m，电
阻不计，两平行导轨间
竖直轨道光滑，杆cd
质量为m ，电阻不
计，两平行导轨间距
1
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为L
拉力F 恒定
距为L
为L
示
意
图
力
学
观点
杆以速度v 切割磁感线
产生感应电动势E ＝
BLv，电流I＝，安培
力F＝BIL＝。杆做减
速运动：v↓F↓a↓
⇒
⇒
，
当v＝0 时，a＝0，杆
保持静止
开始时a＝，杆cd 速度
v↑⇒感应电动势E ＝
BLv↑I↑
⇒
⇒安培力F 安
＝BIL↑，由F－F 安＝
ma 知a↓，当a＝0 时，
v 最大，vm＝
开始时a＝gsin α，杆cd
速度v↑⇒感应电动势E
＝BLv↑I↑
⇒
⇒安培力F
安＝BIL↑，由mgsin α
－F 安＝ma 知a↓，当a
＝0 时，v 最大，vm＝
开始时a＝g，杆cd 速
度v↑⇒感应电动势E
＝BLv↑I↑
⇒
⇒安培力F
安＝BIL↑，由mg－F
安＝ma 知a↓，当a＝
0 时，v 最大，vm＝
图
像
观点
能
量
观点
动能全部转化为内能：
Q＝mv02
F 做的功一部分转化为
杆的动能，一部分转化
为内能：
WF＝Q＋mvm2
重力做的功(或减少的
重力势能)一部分转化
为杆的动能，一部分转
化为内能：
WG＝Q＋mvm2
重力做的功(或减少的
重力势能)一部分转化
为杆的动能，一部分
转化为内能：WG＝Q
＋mvm2
类型2 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型
2．如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN 垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置
处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R 外，导轨和导线的电
阻均不计。现给导线MN 一初速度，使导线MN 向右运动，当电路稳定后，MN 以速度v 向右做匀速运动时
（ ）
A．电容器两端的电压为零
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN 匀速运动，需对其施加的拉力大小为
【总结归纳】
题型一(v0＝0)
题型二(v0＝0)
题型三(v0＝0)
题型四(v0＝0)
说
明
轨道水平光滑，杆cd 质
量为m，电阻不计，两
平行导轨间距为L
轨道水平光滑，杆cd 质量
为m，电阻不计，两平行
导轨间距为L，拉力F 恒定
轨道倾斜光滑，杆cd 质
量为m，电阻不计，两平
行导轨间距为L
轨道竖直光滑，杆cd
质量为m，电阻为R，
两平行导轨间距为L
2
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示
意
图
力
学
观
点
S 闭合，杆cd 受安培力
F＝，a＝，杆cd 速度
v↑⇒感应电动势E 感＝
BLv↑I↓
⇒
⇒安培力F ＝
BIL↓⇒加速度a↓，当E
感＝E 时，v 最大，且
vmax＝
开始时a ＝，杆cd 速度
v↑E
⇒＝BLv↑，经过Δt 速
度为v＋Δv，E′＝BL(v＋
Δv) ，Δq ＝C(E′ －E) ＝
CBLΔv，I＝＝CBLa，F 安
＝CB2L2a ，F －F 安＝
ma，a＝，所以杆做匀加速
运动
开始时a＝gsin α，杆cd
速度v↑E
⇒＝BLv↑，经过
Δt 速度为v ＋Δv ，E′ ＝
BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－
E) ＝CBLΔv ，I ＝＝
CBLa，F 安＝CB2L2a，
mgsin α －F 安＝ma ，a
＝，所以杆做匀加速运动
开始时a＝g，杆cd 速
度v↑E
⇒＝BLv↑，经过
Δt 速度为v＋Δv，E′＝
BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′
－E)＝CBLΔv，I＝＝
CBLa
，
F
安
＝
CB2L2a，mg－F 安＝
ma，a＝，所以杆做匀
加速运动
图
像
观
点
能
量
观
点
电源输出的电能转化为
动能：W 电＝mvm2
F 做的功一部分转化为动
能，一部分转化为电场
能：WF＝mv2＋EC
重力做的功一部分转化为
动能，一部分转化为电场
能：WG＝mv2＋EC
重力做的功一部分转
化为动能，一部分转
化为电场能：WG ＝
mv2＋EC
双杆＋导轨模型中的四类问题
双杆＋导轨模型是由双杆和导轨、匀强磁场组成，其中导轨有光滑和不光滑两种情况，两杆各自运动范围
内导轨的宽度有相等和不相等两种情况，两杆可能有初速度，也可能受外力作用，总之，试题情景多样，
过程复杂，难度较大。
【例题】如图所示，足够长的金属导轨竖直放置，金属棒ab、cd 均通过棒两端的环套在金属导轨上；虚线
上方有垂直纸面向里的匀强磁场，虚线下方有竖直向下的匀强磁场。ab、cd 棒与导轨间动摩擦因数均为
μ，两棒总电阻为R，导轨电阻不计。开始两棒均静止在图示位置，当cd 棒无初速释放时，对ab 棒施加竖
直向上的力F，沿导轨向上做匀加速运动。则（ ）
3
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A．ab 棒中的电流方向由b 到a
B．cd 棒先加速运动后匀速运动
C．cd 棒所受摩擦力的最大值等于cd 棒的重力
D．力F 做的功等于两金属棒产生的电热与增加的机械能之和
【例题】如图所示，PQ 和MN 是固定于水平面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻忽略不计。
质量均为m 的金属棒ab、cd 放在轨道上，始终与轨道垂直且接触良好。两金属棒的长度恰好等于轨道的
间距，它们与轨道形成闭合回路。整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。使金属棒cd 得
到初速度
的同时，金属棒ab 由静止开始运动，考虑两金属棒之后的运动过程（经过足够长时间，不考
虑空气阻力），以下说法正确的是（ ）
A．ab 棒受到的冲量大小为
，方向向左
B．cd 棒受到的冲量大小为
，方向向左
C．金属棒ab、cd 组成的系统动量变化量为
D．整个回路产生的热量为
线框模型
线框模型研究的是线框穿越匀强磁场时发生的电磁感应过程。高考试题通过此模型对电磁感应过程中的电
路、动力学、功能关系进行考查，在求解此类问题时，要注意分析清楚线框进入磁场和离开磁场时的运动
情况和受力情况。
【例题】如图所示，倾角
的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面上间距
的两平行虚线
和
之间有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度
。现有一质量
，总电阻
，边长
也为
的正方形金属线圈
有一半面积位于磁场中，现让线圈由静止开始沿斜面下滑，下滑过程
中线圈MN 边始终与虚线
保持平行，线圈的下边MN 穿出
时开始做匀速直线运动。已知
，
，线圈与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g 取
，下列说法错误的是（ ）
4
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A．线圈进入磁场和从磁场出去的过程中产生的感应电流方向相反
B．线圈做匀速直线运动时的速度大小为
C．线圈速度为
时的加速度为
D．线圈从开始运动到通过整个磁场的过程中产生的焦耳热为3J
【分类训练】
类型1 线框穿越磁场过程的图像问题
1．如图所示，一个有界匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，一个矩形闭合导线框abcd，沿纸面由位
置甲匀速运动到位置乙，则（ ）
A．导线框进入磁场时，受到的安培力方向水平向左
B．导线框离开磁场时，受到的安培力方向水平向右
C．导线框离开磁场时，感应电流方向为adcba
D．导线框进入磁场时，感应电流方向为abcda
类型2 线框穿越磁场过程的动力学及能量问题
2．光滑水平面上有一个电阻为
、边长为
的正方形单匝金属线框
，以
的速度匀速穿
过匀强磁场，如图所示，磁场方向垂直水平面向上，磁感应强度大小为
，磁场的宽度超过线框的边
长．
（1）线框进出磁场都需要施加一水平向右的作用力
，求
的大小；
（2）线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热
。
5
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一、单选题
1．如图所示，边长为h 的矩形线框从初始位置由静止开始下落，进入一水平向里的匀强磁场，且磁场方向
与线框平面垂直，磁场宽度
，已知线框刚进入磁场时恰好是匀速下落，则线框下边出磁场的过程中
的运动形式是（ ）
A．向上运动
B．向下匀速运动
C．向下加速运动
D．向下减速运动
2．如图所示，MN 和PQ 是两根互相平行竖直放置的足够长光滑金属导轨，导轨间距为L 且电阻不计，质
量为m、电阻为R 的金属杆ab 与导轨垂直且始终与导轨接触良好，开始时，将开关S 断开，让杆ab 由静
止开始自由下落时间
后闭合开关S，再经一段时间
后匀速下落。不计空气阻力，重力加速度为g，金属
杆在
运动时间内，下列说法正确的是（ ）
A．闭合开关后流过杆的感应电流方向从b 到a
B．闭合开关后金属杆一定做加速度减小的加速运动
C．杆所受安培力的冲量大小为
D．杆下落的高度小于
3．如图所示，两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ，间距为L，电阻不计，两导轨构成的平面与水平面成
θ 角。金属棒ab、cd 用绝缘轻绳连接，其接入电路的电阻均为R，质量分别为2m 和m。沿斜面向上的力作
用在cd 上使两金属棒静止，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，重力
6
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加速度大小为g。将轻绳烧断后，保持F 不变，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，则（ ）
A．轻绳烧断瞬间，金属棒cd 的加速度大小a＝
gsinθ
B．轻绳烧断后，金属棒cd 做匀加速运动
C．轻绳烧断后，任意时刻两金属棒运动的速度大小之比vab：vcd＝1：2
D．金属棒ab 的最大速度vabm＝
4．如图所示，间距为L 的两倾斜且平行的金属导轨固定在绝缘的水平面上，金属导轨与水平面之间的夹
角为θ，电阻不计，空间存在垂直于金属导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨上端接有
阻值为R 的定值电阻。质量为m 的导体棒ab 从金属导轨上某处由静止释放，开始运动
时间后做匀速运
动，速度大小为v，且此阶段通过定值电阻R 的电量为q。已知导轨平面光滑，导体棒的电阻为r，重力加
速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒ab 先做匀加速运动，后做匀速运动
B．导体棒稳定的速度大小
C．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，其机械能的减少量等于电阻R 产生的焦耳热
D．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，位移大小为
5．如图所示，两足够长、不计电阻的光滑平行金属导轨固定在水平面内，处于磁感应强度大小为
、方
向竖直向上的匀强磁场中，导轨间距为
，一端连接阻值为
的电阻。一质量为m 的金属棒垂直于导轨放
置，接入电路的阻值也为
。在金属棒中点对棒施加水平向右、平行于导轨的恒力
，棒与导轨始终接触
良好，金属棒在水平恒力
作用下，由静止开始运动，经时间达到最大速度，金属棒从开始运动到速度
7
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最大的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．通过电阻
的电流方向由
向
B．金属棒运动的最大速度为
C．通过电阻
的电荷量为
D．恒力
做的功为
6．如图所示，水平光滑绝缘桌面上的正方形ABCD 区域内存在竖直向上的匀强磁场，将一正方形导体框
abcd 分别从AB、BC 边以速度v、2v 匀速拉出磁场，则导体框两次被拉出磁场时拉力的功率之比为（
）
A．1：1
B．1：2
C．1：3
D．1：4
7．如图甲所示，电阻不计、间距为1m 的光滑平行金属导轨竖直放置，上端连接阻值为3Ω 的定值电阻
R，虚线OO′下方存在方向垂直于导轨平面向里、磁感应强度大小为2T 的匀强磁场。现将质量为0.1kg、
电阻为1Ω 的金属杆PQ 从
上方某处由静止释放，金属杆PQ 下落过程中始终水平且与导轨接触良好，
其加速度a 与下落时间t 的关系图像如图乙所示。取重力加速度大小g=10m/s2，下列说法正确的是
（ ）
A．金属杆PQ 进入磁场后Р 端的电势较高
B．金属杆PQ 释放位置到OO'的距离为0.1m
C．金属杆PQ 在磁场中稳定时的速度大小为2m/s
D．
图像在横轴上、下方围成的面积之比为
8
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8．如图所示， 足够长的
形光滑金属导轨平面与水平面成
角， 其中
与
平行且间 距为
，
导轨平面与磁感应强度大小为
的匀强磁场垂直， 导轨电阻不计。金属棒
由静止 开始沿导轨下滑，
并与两导轨始终保持垂直且接触良好，
棒在
与
之间部分的电阻为
， 当
棒沿导轨下滑的距
离为
时， 棒的速度大小为
。则在这一过程中（ ）
A．金属棒
做匀加速运动
B．金属棒
的最大速度为
C．通过金属棒
横截面的电荷量为
D．金属棒
产生的焦耳热为
9．如图所示，足够长的平行金属导轨竖直放置在垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导
体棒a 和b 垂直于导轨放置，导体棒与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b 的速度达到
时，再释放a，经过时间t 后，a 的速度也达到，重力加速度为g，不计一切摩擦。以下说法中正确的是
（ ）
A．释放a 之前，b 运动的时间等于t
B．释放a 之前，b 下落的高度小于
9
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C．释放a 之后的时间t 内，a 下落的加速度小于g
D．a 和b 的加速度最终都等于g
10．如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。
线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（ ）
A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
11．如图所示，左侧连接有电阻R 的光滑平行导轨处于垂直纸面向里的匀强磁场中，一金属棒置于导轨
上，对其施加外力使其运动，所受安培力变化如图所示，取向右为正方向，则外力随时间变化的图像正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图所示，左端接有阻值为R 的定值电阻且足够长的平行光滑导轨CE、DF 的间距为L，导轨固定在
水平面上，且处在磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中，一质量为m、电阻为r 的导体棒ab 垂直导轨
放置且静止，导轨的电阻不计。某时刻给导体棒ab 一个水平向右的瞬时冲量I，导体棒将向右运动，最后
停下来，则此过程中（ ）
10
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A．导体棒运动的时间大于
B．导体棒做匀减速直线运动直至停止运动
C．电阻R 上产生的焦耳热为
D．导体棒ab 运动的位移为
二、解答题
13．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨M、N 被固定在水平面上，导轨间距L=1m，其左端并联
接入R1和R2的电阻，其中R1=R2=2Ω。整个装置处在垂直纸面向里，磁感应强度大小为B=2T 的匀强磁场
中。一质量：m=4kg、电阻r=1Ω 的导体棒ab 在恒力F=5N 的作用力下从静止开始沿导轨向右运动，运动
了L0=4m 时导体棒ab 恰好匀速运动，导体棒垂直于导轨放置且与两导轨保持良好接触，导轨电阻不计。
求：
（1）导体棒的最大速度；
（2）电阻R1上产生的焦耳热；
（3）此过程中通过R2的电荷量。
14．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ 相距为
，导轨平面与水平面的夹角为
，导轨上端连接一定值电阻
，导轨的电阻不计，整个装置处于方向垂直于导轨平面向上的
匀强磁场中，金属棒cd 垂直于MN、PQ 放置在导轨上，且与导轨保持良好的接触，金属棒的质量为
，电阻为
，现将金属棒从紧靠NQ 处由静止释放，经过一段时间，金属棒速度达到最大
值
，重力加速度g 取
，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小
；
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（2）若金属棒速度达到
时，金属棒下滑距离为
，此后，使磁感应强度逐渐减小，金属棒中不产
生感应电流，写出磁感应强度B 与时间t 的关系式。
15．两水平轨道放置匀强磁场中，磁感应强度
，磁场与导轨所在平面垂直，金属棒ab 可沿导轨自
由移动，金属棒ab 的质量为1kg，金属棒与导轨间的摩擦因数
，左端接一定值电阻，阻值为
，导轨电阻不计，金属棒长为
，电阻为
，现将金属棒沿导轨由静止向右拉，拉力恒为
，最终金属棒做匀速运动，恰好匀速时通过的位移
。
。求：
（1）求稳定状态时金属棒两端电压；
（2）求金属棒从开始运动到刚好匀速的过程中，电阻R 上的发热量Q；
（3）求金属棒从开始运动到稳定状态所用时间。
16．如图（a）所示， 两根平行的光滑金属导轨上端与阻值为R 的电阻相连，导轨平面与水平面夹角为
θ，导轨间距为L。水平的虚线所夹区域存在两个垂直于导轨平面向上的有界匀强磁场I 和II，其中磁场I
磁感应强度大小为B，磁场II 磁感应强度B'大小未知。一根水平放置的导体棒从图示位置由静止释放，经
时间t 进入I。以磁场I 的上边界为坐标原点，沿导轨建立x 轴，导体棒在磁场中运动时电阻R 的功率P 与
导体棒的位置坐标x 的关系如图（b）所示。导轨和导体棒的电阻不计，重力加速度取g，求：
（1） 棒进入磁场I 时受到的安培力方向及速度v0的大小；
（2） 磁场II 磁感应强度B'的大小。
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