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第21 讲 电磁感应现象的“单杆”模型
【模型一“单棒＋电阻”模型 】
类型1 有初速度的“单棒＋电阻”模型
类型2 有恒力的“单棒＋电阻”模型
类型3 含电源的“单棒＋电阻”模型
【模型二 “单棒＋电容器”模型 】
类型1 有初速度的“单棒＋电容器”模型
类型2 有恒力的“单棒＋电容器”模型
类型3 “单棒+电容+电阻等”综合模型
示意图
力学观点
运动图像
能量观点
v0≠0
导轨水平光滑，间距为
L，电阻不计，杆ab 初
速度为v0，质量为m，
电阻不计
导体杆以速度v 切割磁感线产生感
应电动势E＝BLv，
电流I＝＝，
安培力F 安＝BIL＝，
做减速运动，v⇒F 安⇒a，
当v＝0 时，F＝0，a＝0，杆保持
静止
动能全部转化为内
能：Q＝mv
导轨水平光滑，间距为
L，电阻不计，杆ab 初
速度为v0，质量为m，
电阻不计
导体杆速度为v 时，
感应电流I＝，
导体杆受安培力F 安＝BIL，
做减速运动，电容器充电，
当BLv＝UC时，I＝0，F 安＝0，杆
匀速运动
(根据q＝CU、U＝
BLvm、－BL·Δt
＝mvm－mv0、
导体杆的部分动能
转化为电阻的电热
和电容器的电场
能：mv＝mv＋Q＋EC
1
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q＝Δt，可得vm
＝)
v0＝0
导轨水平光滑，间距为
L，电阻不计，单杆ab
质量为m，电阻不计
S 闭合，杆ab 受安培力F 安＝，此
时a＝，杆ab 速度v感应电动
⇒
势BLv⇒I安培力
⇒
F 安＝
BIL加速度
⇒
a，
当BLv＝E 时，v 最大，且vm＝
电源输出的电能转
化为动能：W 电＝mv
v0＝0
导轨水平光滑，间距为
L，电阻不计，单杆ab
质量为m，电阻不计，
拉力F 恒定
开始时a＝，杆ab 速度v感应
⇒
电动势E＝BLv⇒I安培力
⇒
F 安
＝BIL，由F－F 安＝ma 知a，
当a＝0 时，v 最大，vm＝
F 做的功一部分转化
为杆的动能，一部
分转化为电阻产生
的电热：WF＝Q＋mv
导轨水平光滑，间距为
L，电阻不计，单杆ab
质量为m，电阻为R
电容器充满电后，S 合向2，导体
杆受安培力运动，产生电动势E＝
BLv，感应电流I＝，导体杆受安
培力F 安＝BIL，做加速运动，电容
器放电UC减小，当BLv＝UC时，I
＝0，F 安＝0，杆匀速运动
电容器的部分电场
能转化为电阻的电
热和导体杆的动
能：EC0＝mv＋Q＋ECm
导轨水平光滑，间距为
L，电阻不计，单杆ab
质量为m，电阻不计，
拉力F 恒定
开始时a＝，杆ab 速度v感应
⇒
电动势E＝BLv，经过Δt 速度为
v＋Δv，此时感应电动势E′＝
BL(v＋Δv)，Δt 时间内流入电容
器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－
E)＝CBLΔv，电流I＝＝CBL＝
CBLa，安培力F 安＝BLI＝CB2L2a，F
－F 安＝ma，a＝，所以杆以恒定的
加速度匀加速运动(若回路有电
阻，则杆不做匀加速运动)
F 做的功一部分转化
为杆的动能，一部
分转化为电容器的
电场能：WF＝mv2＋EC
注：(1)在电磁感应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解速度、位移、电荷量，以及除
安培力之外恒力的作用时间。
(2)若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受
外力F 时的情况类似。
2
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【模型一“单棒＋电阻”(LR)模型 】
类型1 有初速度的“单棒＋电阻”模型
【模型】
1．电路特点：导体棒相当于电源。当速度为v 时，电动势E=BLv
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小：
F安=BIL= B2 L2v
R+r ∝v
3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,
a= B2 L2v
m( R+r)+μg
4．运动特点：速度如图所示。a 减小的减速运动
5．最终状态:静止
6．四个规律
(1)全过程能量关系：
−μ mgx −Q=0−1
2 mv 0
2
,
速度为v 时的能量关系:
−μ mgx −Q=1
2 mv 2−1
2 mv 0
2
电阻产生的焦耳热:
QR
Q = R
R+r
(2)瞬时加速度：
a= B2 L2v
m( R+r)+μg
，
3
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(3)电荷量:
q=¯I Δt= ¯E
R+r Δt=
Δφ
Δt(R+r) Δt= Δφ
R+r
(4)动量关系：μmg Δt−B¯I LΔt=μmg Δt−BqL=0−mv 0
(安培力的冲量¯F Δt=B¯I LΔt=BqL )
安培力的冲量公式:
μmg Δt−B¯I LΔt=0−mv 0 ①
闭合电路欧姆定律
¯I=
¯E
R+r
②
平均感应电动势：
¯E=BL { ¯v¿
③
位移：x=¯v t ④
①②③④得
μ mg Δt+ B2 L2 x
R+r =mv 0
【典例1】（2024·湖南·高考真题）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，
导轨左端与一阻值为R 的定值电阻相连，导轨
段与
段粗糙，其余部分光滑，
右侧处于竖直向下
的匀强磁场中，一质量为m 的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度
沿导轨向右经过
进入磁场，
最终恰好停在
处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为
，
。
导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
4
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A．金属杆经过
的速度为
B．在整个过程中，定值电阻R 产生的热量为
C．金属杆经过
与
区域，金属杆所受安培力的冲量相同
D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2 倍
【变式1-1】（多选）如图所示，一质量为2m 的足够长U 形光滑金属框abcd 置于水平绝缘平台上，bc 边
长为L，不计金属框电阻。一长为L 的导体棒MN 置于金属框上，导体棒的阻值为R、质量为m。装置处于磁
感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN 始终
与金属框保持良好接触，则（ ）
A.刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M
B.导体棒的最大速度为v0
2
C.通过导体棒的电荷量为2m v0
3 BL
D.导体棒产生的焦耳热为5
6mv0
2
【变式1-2】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R 的金属条制成的矩形线框
，固定在水平面内且处
于方向竖直向下的匀强磁场中。一接入电路电阻为R 的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、cd 以速度
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匀速滑动，滑动过程PQ 始终与
垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ 从靠近ad 处向bc 滑动的
过程中（ ）
A．PQ 中电流先增大后减小
B．PQ 两端电压先减小后增大
C．PQ 上拉力的功率先减小后增大
D．线框消耗的电功率先减小后增大
【变式1-3】（2022·河北·高考真题）如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于
轴上，另一根由
、
、
三段直导轨组成，其中
段与
轴平行，导轨左端接入一电阻
。导轨上
一金属棒
沿
轴正向以速度
保持匀速运动，
时刻通过坐标原点
，金属棒始终与
轴垂直。设
运动过程中通过电阻的电流强度为，金属棒受到安培力的大小为
，金属棒克服安培力做功的功率为
，
电阻两端的电压为
，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是
（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
【变式1-4】（2023·福建·高考真题）如图，M、N 是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，导轨足够
长且电阻可忽略不计；导轨间有一垂直于水平面向下的匀强磁场，其左边界
垂直于导轨；阻值恒定的
两均匀金属棒a、b 均垂直于导轨放置，b 始终固定。a 以一定初速度进入磁场，此后运动过程中始终与导
轨垂直且接触良好，并与b 不相碰。以O 为坐标原点，水平向右为正方向建立x 轴坐标；在运动过程中，a
的速度记为v，a 克服安培力做功的功率记为P。下列v 或P 随x 变化的图像中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-5】如图所示，两条相距d 的平行光滑金属导轨位于同一水平面内，其右端接一阻值为R 的电阻．
质量为m，电阻为r 的金属杆静置在导轨上，其左侧的矩形匀强磁场区域MNPQ 的磁感应强度大小为B、方
向竖直向下．当该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过金属杆后，金属杆的速度变为v.已知磁场扫过金属杆
所经历的时间为t，导轨足够长且电阻不计，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触．
求：
7
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(1)MN 刚扫过金属杆时，杆的加速度大小a；
(2)PQ 刚要到达金属杆时，电阻R 消耗的电功率P；
(3)磁场扫过金属杆的过程中金属杆的位移大小x.
类型2 恒力作用下的“单棒＋电阻”模型
【模型】
1.电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v
时，电动势
E=BLv
2.安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大.
F安=BIL= B2 L2v
R+r ∝v
3.加速度特点：加速度随速度增大而减小.
a= F
m−μg- B2 L2v
m(R+r)
4.运动特点：速度如图所示。做加速度减小的加速运动
5．最终特征：匀速运动
6．两个极值：(1)v=0
时,有最大加速度：
a= F
m−μg
(2)
a=0 时,有最大速度：
a= F
m−μg- B2 L2v
m(R+r)=0 vm=( F−μ mg )( R+r )
B2 L2
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7．稳定后的能量转化规律
Fv m=(BLv m)2
R+r
+μ mgv m
8．起动过程中的三个规律
(1)动量关系：Ft−B¯I Lt−μmgt=mv m
，
Ft−B2 L2 x
R+r −μ mgt=mv m
(2)能量关系：
Fx −μ mgx −Q=1
2 mv m
2
(3)电荷量：
q=¯I Δt= ¯E
R+r Δt=
Δφ
Δt(R+r) Δt= Δφ
R+r
9.若F 的作用下使导体棒做匀加速直线运动则F 随时间线性变化。
证明：根据法拉第电磁感应定律E=BLv
闭合电路欧姆定律
I= E
R+r
，
安培力F＝BIL
由（1）（2）（3）得
F= B2 L2v
R+r
由牛顿第二定律
F−B2 L2v
R+r =ma
得
由运动学公式 v=at
联立得
F= B2 L2a
R+r t+ma
可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即F=kt +b
【典例2】（2024·天津·高考真题）如图所示，两根不计电阻的光滑金属导轨平行放置，导轨及其构成的平
面均与水平面成某一角度，导轨上端用直导线连接，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。具
有一定阻值的金属棒MN 从某高度由静止开始下滑，下滑过程中MN 始终与导轨垂直并接触良好，则MN
所受的安培力F 及其加速度a、速度v、电流I，随时间t 变化的关系图像可能正确的是（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2022·湖南·高考真题）如图，间距
的U 形金属导轨，一端接有
的定值电阻
，
固定在高
的绝缘水平桌面上。质量均为
的匀质导体棒a 和b 静止在导轨上，两导体棒与导轨
接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为
，与导轨间的动摩擦因数均为0.1（设最大静摩擦
力等于滑动摩擦力），导体棒
距离导轨最右端
。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画
出），磁感应强度大小为
。用
沿导轨水平向右的恒力拉导体棒a，当导体棒a 运动到导轨最
右端时，导体棒b 刚要滑动，撤去
，导体棒a 离开导轨后落到水平地面上。重力加速度取
，不计
空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a 离开导轨至落地过程中，水平位移为
B．导体棒a 离开导轨至落地前，其感应电动势不变
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C．导体棒a 在导轨上运动的过程中，导体棒b 有向右运动的趋势
D．导体棒a 在导轨上运动的过程中，通过电阻
的电荷量为
【变式2-2】（2023·重庆·高考真题）如图所示，与水平面夹角为θ 的绝缘斜面上固定有光滑U 型金属导轨。
质量为m、电阻不可忽略的导体杆MN 沿导轨向下运动，以大小为v 的速度进入方向垂直于导轨平面向下
的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t 后，速度大小变为2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，
导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g。杆在磁场中运动的此段时间内（ ）
A．流过杆的感应电流方向从N 到M
B．杆沿轨道下滑的距离为
C．流过杆感应电流的平均电功率等于重力的平均功率
D．杆所受安培力的冲量大小为
【变式2-3】（2023·上海·高考真题）如图所示，有一光滑导轨处于匀强磁场中，一金属棒垂直置于导轨上，
对其施加外力，安培力变化如图所示，取向右为正方向，则外力随时间变化图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】（2022·重庆·高考真题）如图1 所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一
可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的
匀强磁场中。杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小
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与速率的关系如图2 所示。其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为F0，改变电阻阻值和磁感应强度大
小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为2F0，两直线交点的纵坐标为3F0。若第一次和第二次运动中的
磁感应强度大小之比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n
可能为（ ）
A．k = 2、m = 2、n = 2
B．
C．
D．
【变式2-5】（2024·贵州·高考真题）如图，间距为L 的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，
左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m 的
金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒
最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金
属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（ ）
A．加速过程中通过金属棒的电荷量为
B．金属棒加速的时间为
C．加速过程中拉力的最大值为
D．加速过程中拉力做的功为
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类型3 含电源的“单棒＋电阻”模型
【模型】
开关S 刚闭合时，ab 杆所受安培力F＝，
此时a＝.速度v↑⇒E 感＝BLv↑⇒I↓⇒F＝BIL↓⇒加速度a↓，
当E 感＝E 时，v 最大，且vm＝
1.动力学观点：分析最大加速度、最大速度
2.能量观点：消耗的电能转化为动能与回路中的焦耳热
3.动量观点：分析导体棒的位移、通过的电荷量
【典例3】电磁弹射器是航空母舰上一种高效的舰载机起飞装置，我国的未来航母也将采用这种装置，其
工作原理如图所示。足够长的光滑导轨间距为L，电阻不计，左端接有电动势为E 的电源，系统处于竖直
向下的匀强磁场中。闭合开关S 后，质量为m、长度等于导轨间距的金属棒ab 由静止开始运动，最后达到
稳定速度vm。加速到稳定速度的过程中，电源提供的能量为Es，电源、金属棒产生的焦耳热分别为Q1，
Q2，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒ab 先做匀加速直线运动最后做匀速直线运动
B．达到稳定速度时金属棒的感应电动势小于E
C．稳定速度
D．磁场的磁感应强度为
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【变式3-1】如图所示为水平放置足够长的光滑平行导轨，电阻不计、间距为L，左端连接的电源电动势
为E、内阻为r，质量为m、长为L 的金属杆垂直静置在导轨上，金属杆的电阻为R。整个装置处在磁感应
强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，闭合开关，金属杆沿导轨做变加速运动直至达到最大速度，
则下列说法正确的是( )
A．金属杆的最大速度大小为
B．此过程中通过金属杆的电荷量为
C．此过程中电源提供的电能为
D．此过程中金属杆产生的热量为
【变式3-2】（某中学科技小组的学生在进行电磁发射装置的课题研究，模型简化如下．在水平地面上固
定着相距为L 且足够长的粗糙导轨PQ 及MN，PQNM 范围内存在磁场强度大小可以调节的匀强磁场，方向
竖直向上，如图所示，导轨左侧末端接有电动势为E、内阻为r 的电源，开关K 控制电路通断．质量为
m、电阻也为r 的导体棒ab 垂直导轨方向静止置于导轨上，与导轨接触良好．电路中其余位置电阻均忽略
不计．导轨右侧末端有一弧度非常小的速度转向装置，能将导体棒水平方向的速度转为与地面成θ 角且不
改变速度大小．导体棒在导轨上运动时受到恒定的阻力Ff，导体棒发射后，在空中会受到与速度方向相反、
大小与速度大小成正比的阻力，Ff0＝kv，k 为常数．导体棒在运动过程中只平动，不转动．重力加速度为
g.调节磁场的磁感应强度，闭合开关K，使导体棒获得最大的速度．(需考虑导体棒切割磁感线产生的反电
动势)
(1)求导体棒获得的最大速度vm的大小；
(2)导体棒从静止开始达到某一速度v1，滑过的距离为x0，导体棒ab 发热量为Q，求电源提供的电能及通过
电源的电荷量q；
(3)调节导体棒初始放置的位置，使其在到达NQ 时恰好达到最大的速度，最后发现导体棒以v 的速度竖直
向下落到地面上．求导体棒自NQ 运动到刚落地时这段过程的平均速度大小．
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【变式3-3】如图是“电磁炮”模型的原理结构示意图。光滑水平金属导轨M、N 的间距L=0.2m，电阻不
计，在导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1×102T。装有弹体的导体棒ab 垂直放在导轨
M、N 上的最左端，且始终与导轨接触良好，导体棒ab(含弹体)的质量m=0.2kg，在导轨M、N 间部分的电
阻R=0.8Ω，可控电源的内阻r=0.2Ω。在某次模拟发射时，可控电源为导体棒ab 提供的电流恒为
I=4×103A，不计空气阻力，导体棒ab 由静止加速到4km/s 后发射弹体，则（ ）
A．导体棒ab 所受安培力大小为1.6×105N
B．光滑水平导轨长度至少为20m
C．该过程系统产生的焦耳热为3.2×106J
D．该过程系统消耗的总能量为1.76×106J
【变式3-4】如图所示，在竖直向下的磁感应强度B 的匀强磁场中，有两根足够长的平行光滑金属轨道
MN、PQ 固定在水平面内，相距L，一质量为m、电阻为R1的导体棒ab 垂直放在轨道上，与轨道接触良好。
轨道左端M 点接一单刀双掷开关S，P 点与一电动势为E、内阻为r 的电源和定值电阻R2相连接，不计轨
道的电阻。
（1）求开关S 合向1 瞬间导体棒的加速度a；
（2）开关S 合向1，在导体棒速度等于v 时把S 合到2，导体棒运动x 后停下来，求S 合到2 的瞬间导体棒
的电功率P；
（3）若从开关S 合向接线柱1 到导体棒速度等于v 的过程中，通过电源的电量为q，则此过程中导体棒R1
上产生的电热QR。
【模型二 “单棒＋电容器”模型 】
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类型1 有初速度的“单棒＋电容器”模型
基本
模型
规律
(电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点
导体棒相当于电源，电容器被充电.
电流特点
安培力为阻力，棒减速，E 减小，有I＝，电容器被充电
UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F 安＝0，棒匀速运动.
运动特点和最终
特征
a 减小的加速运动，棒最终做匀速运动，此时I＝0，但
电容器带电荷量不为零.
最终速度
电容器充电荷量：q＝CU
最终电容器两端电压：U＝BLv
对棒应用动量定理：mv0－mv＝BL·Δt＝BLq
v＝.
v－t 图象
【典例4】电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载
器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面内的光滑平行
金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R 的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于
静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S 接1，使电容器完全充电．然后将S 接至2，导轨间存在垂直于
导轨平面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场(图中未画出)，MN 开始向右加速运动．当MN 上的感应电动势
与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN 达到最大速度，之后离开导轨．问：
(1)磁场的方向；
(2)MN 刚开始运动时加速度a 的大小；
(3)MN 离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q 是多少．
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【变式4-1】(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ，两导轨间距为l，
电阻均可忽略不计．在M 和P 之间接有阻值为R 的定值电阻，导体杆ab 质量为m、电阻为r，并与导轨接
触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中．现给杆ab 一个初速度v0，使杆向右
运动．则( )
A．当杆ab 刚具有初速度v0时，杆ab 两端的电压U＝，且a 点电势高于b 点电势
B．通过电阻R 的电流I 随时间t 的变化率的绝对值逐渐增大
C．若将M 和P 之间的电阻R 改为接一电容为C 的电容器，如图乙所示，同样给杆ab 一个初速度v0，使杆
向右运动，则杆ab 稳定后的速度为v＝
D．在C 选项中，杆稳定后a 点电势高于b 点电势
【变式4-2】如图甲所示，两平行长直光滑金属导轨水平放置，间距为L，左端连接一个电容为C 的电容器，
导轨处在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。质量为m 的金属棒垂直导轨放置，
某时刻金属棒获得一个水平向右的初速度v0，之后金属棒运动的v－t 图像如图乙所示，不考虑导轨的电阻。
（1）求金属棒匀速运动时的速度大小v1；
（2）求金属棒匀速运动时电容器的电荷量q；
（3）已知金属棒从开始到匀速运动的过程中，产生的焦耳热为Q，求电容器充电稳定后储存的电能E。
【变式4-3】如图所示，水平面上固定着两根足够长的光滑金属导轨MN 和PQ，相距为L，左端MP 间接
有电容为C 的电容器。导轨处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，质量为m 的金属棒
ab 横放在导轨上且与导轨接触良好。现给金属棒一个平行导轨向右的瞬时冲量I，关于此后的过程，下列
说法正确的是（ ）
A．金属棒做匀变速运动，最后匀速运动
B．金属棒做匀加速运动，最后停止运动
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C．金属棒最终的速度大小为
D．整个过程中金属棒克服安培力做的功为
-
类型2 恒力作用下的“单棒＋电容器”模型
【模型】
动力学观点：开始时a＝，杆ab 速度v↑，感应电动势E＝BLv↑，经过Δt 速度为v＋Δv，
此时感应电动势：E′＝BL(v＋Δv)，Δt 时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv
电流I＝＝CBL＝CBLa
安培力F 安＝BLI＝CB2L2a
F－F 安＝ma，a＝，所以杆以恒定的加速度运动
能量观点：力F 做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能WF＝mv2＋EC
【反思】由模型可知: 只要导体棒受恒定外力，导体棒必做匀变速运动，且加速度为
a=
F
m+B2 L2C
; 如果外力不恒定，则导体棒做非匀变速运动; 如果不受外力，则导体棒匀速运动或静止．反之，只要导
体棒速度均匀变化( a 恒定) ，感应电动势就均匀变化，电容器的带电量就均匀变化，回路中的 电流就
恒定不变(I=CBLa ) ，导体棒所受安培力就恒定不变 ( F=（m+B2 L2C ）a ，外力就恒定不变．
【典例5】（2024·海南·高考真题）两根足够长的导轨由上下段电阻不计，光滑的金属导轨组成，在M、N
两点绝缘连接，M、N 等高，间距L = 1m，连接处平滑。导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连
接一个阻值R = 0.02Ω 的电阻和C = 1F 的电容器，整个装置处于B = 0.2T 的垂直导轨平面斜向上的匀强
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磁场中，两根导体棒ab、cd 分别放在MN 两侧，质量分为m1 = 0.8kg，m2 = 0.4kg，ab 棒电阻为0.08Ω，
cd 棒的电阻不计，将ab 由静止释放，同时cd 从距离MN 为x0 = 4.32m 处在一个大小F = 4.64N，方向沿
导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N 处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知
碰前瞬间ab 的速度为4.5m/s，g = 10m/s2（ ）
A．ab 从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44s
B．ab 从释放到第一次碰撞前，R 上消耗的焦耳热为0.78J
C．两棒第一次碰撞后瞬间，ab 的速度大小为6.3m/s
D．两棒第一次碰撞后瞬间，cd 的速度大小为8.4m/s
【变式5-1】如图，两条平行导轨所在平面与水平地面间的夹角为θ，两导轨的间距为L.导轨上端接有一平
行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向下．在导轨上
放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与
导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻，让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，
求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．
【变式5-2】(2024 年全国甲卷)如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定
值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个
装置处于竖直方向且磁感应强度为B 的匀强磁场中。
(1)开关S 闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定
值电阻功率的两倍时，求金属棒速度v 的大小。
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(2)当金属棒速度为v 时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功
率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。
【变式5-3】如图所示，水平放置足够长且光滑的金属导轨abc和de，ab 与de 平行并相距为L，bc 是以O
为圆心、半径为r 的圆弧导轨，圆弧b 左侧和扇形Obc内有方向如图所示的匀强磁场，磁感应强度均为
B，a、d 两端接有一个电容为C 的电容器，金属杆OP 的O 端与e 点用导线相接，P 端与圆弧bc 接触良好，
初始时，可滑动的金属杆MN 静止在平行导轨上，金属杆MN 质量为m，金属杆MN 和OP 电阻均为R 其余
电阻不计，若杆OP 绕O 点在匀强磁场区域内以角速度ω 从b 到c 匀速转动时，回路中始终有电流，则此
过程中，下列说法正确的有（ ）
A．杆OP 产生的感应电动势恒为Bωr
2
B．电容器带电量恒为BCωr
2
2
C．杆MN 中的电流逐渐减小
D．杆MN 向左做匀加速直线运动，加速度大小为B
2ωr
2 L
4 mR
【变式5-4】我国最新航空母舰福建舰采用了世界上最先进的电磁弹射技术，装备了三条电磁弹射轨道，
电磁弹射的简化模型如图所示：足够长的水平固定金属轨道处于竖直向下的匀强磁场中，左端与充满电的
电容器C 相连，与机身固连的金属杆ab 静置在轨道上，闭合开关S 后，飞机向右加速，若不计所有阻力和
摩擦，回路总电阻R 保持不变，下列说法不正确的是（ ）
A．提高电容器的放电量，可以提高飞机的起飞速度
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B．飞机运动过程中，a 端的电势始终高于b 端的电势
C．飞机的速度最大时，金属杆ab 产生的感应电动势与电容器两端电压相等
D．飞机的速度达到最大时，电容器所带的电荷量为零
【变式5-5】如图所示，间距为L 的金属导轨竖直平行放置，空间有垂直于导轨所在平面向里、大小为B
的匀强磁场。在导轨上端接一电容为C 的电容器，一质量为m 的金属棒ab 与导轨始终保持良好接触，由
静止开始释放，释放时ab。距地面高度为h，（重力加速度为g，一切摩擦及电阻均不计）在金属棒下滑
至地面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒做匀加速运动，加速度为g
B．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为mgh
C．金属棒做匀加速运动，加速度为
D．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为
【变式5-6】 如图所示，足够长的平行光滑金属导轨倾斜放置，与水平面夹角为30°，两导轨间的距离为
L，导轨顶端接有电容为C 的电容器。一根质量为m 的均匀金属棒ab 放在导轨上，与两导轨垂直且保持良
好接触，整个装置放在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，重力加速度为
g，不计一切电阻。由静止释放金属棒，金属棒下滑x 的过程中电容器未被击穿，下列说法正确的是
（ ）
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A．金属棒做加速度越来越小的加速运动B．金属棒下滑x 时的速度v=
C．金属棒下滑x 的过程中电容器储存的电荷量q=
D．金属棒下滑x 的过程中，电容器储存的电场能E 电=
类型3 “单棒+电容+电阻等”综合模型
基本
模型
规律
(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点
电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动.
电流的特点
电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时
阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝
BLv.
运动特点及最终
特征
a 减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0.
最大速度vm
电容器充电荷量：Q0＝CE
放电结束时电荷量：
Q＝CU＝CBLvm
电容器放电荷量：
ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm
对棒应用动量定理：
mvm＝BL·Δt＝BLΔQ
vm＝
v－t 图象
【典例6】如图所示，足够长的两平行光滑水平直导轨的间距为L，导轨电阻不计，垂直于导轨平面有磁
感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；导轨左端接有电容为C 的电容器、开关S 和定值电阻R；
质量为m 的金属棒垂直于导轨静止放置，两导轨间金属棒的电阻为r.初始时开关S 断开，电容器两极板间
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的电压为U.闭合开关S，金属棒运动，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．下列说法正确的是( )
A．闭合开关S 的瞬间，金属棒立刻开始向左运动
B．闭合开关S 的瞬间，金属棒的加速度大小为
C．金属棒与导轨接触的两点间的最小电压为零
D．金属棒最终获得的速度大小为
【变式6-1】（2023·浙江·高考真题）如图所示，质量为M、电阻为R、长为L 的导体棒，通过两根长均为
l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S 可与直流电源
或理
想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B 的匀强磁场，不计空气阻力和
其它电阻。开关S 接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角固定点
；然后开关S 接2，棒从右
侧开始运动完成一次振动的过程中（ ）
A．电源电动势
B．棒消耗的焦耳热
C．从左向右运动时，最大摆角小于
D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等
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【变式6-2】（2022·全国甲卷·高考真题）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，
在导轨的左端接入电容为C 的电容器和阻值为R 的电阻。质量为m、阻值也为R 的导体棒MN 静止于导轨
上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，
电容器所带的电荷量为Q，合上开关S 后，（ ）
A．通过导体棒
电流的最大值为
B．导体棒MN 向右先加速、后匀速运动
C．导体棒
速度最大时所受的安培力也最大
D．电阻R 上产生的焦耳热大于导体棒
上产生的焦耳热
【变式6-3】如图甲，水平放置的平行金属导轨可分别与定值电阻R 和平行板电容器C 相连，导体棒
MN 置于导轨上且接触良好，取向右为运动的正方向，导体棒沿导轨运动的位移—时间图象如图乙所示；
金属棒始终处于竖直向上的匀强磁场中，不计导轨和金属棒电阻，则0～t2时间内( )
A．若S 接A，电容器a 极板始终带负电
B．若S 接A，t1时刻电容器两极板电压最大
C．若S 接B，MN 所受安培力方向先向左后向右
D．若S 接B，t1时刻MN 所受的安培力最大
【变式6-4】如图所示，足够长光滑平行金属导轨
置于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度
，金属导轨倾角
，导轨间距
，其电阻不计。
为单刀双掷开关，当其掷于1 端时，容
量
的电容器接入电路；当其掷于2 端时，有
的电阻接入电路。金属杆
质量
，接入
电路的阻值也为
。初始时，
锁定。已知重力加速度
取
。
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（1）将
掷于2 端，释放
，求
的最大速度；
（2）将
掷于1 端，释放
，求系统稳定时金属杆的加速度大小。
【变式6-5】如图甲所示，竖直放置的光滑平行金属导轨MN、PQ 相距L，在M 点和P 点间接有一个阻值
为
的电阻，在两导轨间的矩形区域
内有垂直导轨平面向里、宽为d 的匀强磁场，磁感应强度为
。一质量为m、电阻为r 的导体棒ab 垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距
。现使ab 棒由静止开
始释放，棒ab 在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab 与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持
水平，导轨的电阻不计）。
（1）求棒ab 离开磁场的下边界时的速度大小：
（2）讨论棒ab 可能出现的运动情况，并作出对应的
图像；
（3）求金属杆自下落至穿出磁场所用的时间t；
（4）如图乙所示，当在导轨的PM 端通过导线将电容为C、击穿电压为
的平行板电容器连接，在
时
在磁场中无初速度地释放金属棒ab、不考虑电磁辐射，且磁场足够大，当金属棒电阻
时，求电容器
达到击穿电压所用的时间。
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