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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
和
的夹角为
，且
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．13
4．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024 年篮球联赛中连续10 场的得分数据为：
9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ）
A．第85 百分位数为18
B．众数为12
C．中位数为17
D．平均成绩为14
5．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
6．已知焦点在x 轴上的双曲线
的两条渐近线互相垂直，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．1 或
7．已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示，直三棱柱
是一块石材，测量得
，
，
，
．若将
该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工
成的健身手球的个数分别为（ ）
A．
，4
B．
，3
C．
，4
D．
，3
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．沿着下面左图纸带宽的三等分线（虚线）剪开，不能得到的剪开图是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．函数
，则（ ）
A．
B．
的单调递增区间为
C．
最大值为
D．
有两个零点
11．已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线与
交于
两点，
是
的准线与
轴的交点，
则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则直线的斜率为
B．
C．
（
为坐标原点）
D．当
取最小值时，
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
的展开式中的第2 项的系数与第2 项二项式系数之和为198，则展开式中的常数项为
．
13．中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是
，经过分钟后的温度是
，满足
，其中
表示室温，
是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温
恒为
的房间中，已知一杯
的茶水，测得温度降到50℃需要10 分钟，则这杯茶水还需要继续放置
分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感.
14．对于函数
，若存在
使
，则称点
是曲线
的“优美点”，
已知
．若曲线
存在“优美点”，则实数
的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13 分）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围.
16．（本小题满分15 分）已知定义在
上的函数
.
(1)若
，判断
是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若
存在两个零点，求
的取值范围.
17．（本小题满分15 分）如图，在三棱台
中，平面
平面
，
，
，
.
(1)证明：
；
(2)当直线
与平面
所成的角最大时，求三棱台
的体积.
18．（本小题满分17 分）已知椭圆
的焦距为
，以椭圆
短轴一个端点和两个
焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点
的直线
分别交椭圆
于点
，点
始终在
第一象限且与点
关于
轴对称，直线
分别交
轴于点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)求点
的坐标；
(3)证明：
．
19．（本小题满分17 分）在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1 秒都将以
的概率向数轴正方向或
负方向移动1 个单位长度，机器人每次经过
或3 时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事
件
表示“机器人的前
次移动均未向雷达发送信息”.
(1)求
，
(2)已知①②两个结论：①
；②设
是一列无穷个事件，若存在正数
，对于任
意的
均有
，则“
中只有有限个事件同时发生”的概率为1.
（i）证明：
事件；“雷达会收到信息”的概率为1；
（ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3 的概率.
