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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（新高考Ⅱ卷）01
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．复数
=
(i 是虚数单位),则复数
的虚部为（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1
2．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
，
，若向量
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
4．已知
则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知焦点在
轴上的椭圆的长轴长为其短轴长的2 倍，若该椭圆经过圆
的一条
直径的两个端点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
平面
，
，
，若三棱锥
（以
为顶点）的侧面积为6，则球
的表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
的定义域均为
，
的图象关于点
中心对称，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1003
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病
真否有关，调查了400 人，得到如图所示的
列联表，其
中
，则（ ）
患疾病
不患疾病
合计
过量饮酒
不过量饮
酒
合计
400
参考公式与临界值表：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
A．任意一人不患疾病
的概率为0.9
B．任意一人不过量饮酒的概率为
C．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病
的概率为
D．依据小概率值
的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病
有关
10．已知函数
的最大值为2，则（ ）
A．
B．函数
图象的一个对称中心是点
C．
在区间
上单调递增
D．将
的图象先向右平移
个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍（纵坐
标不变），得到的图象对应的函数解析式为
11．已知双曲线
的一条渐近线过点
，
为
的右焦点，则下列关于双
曲线
的结论正确的是（ ）
A．离心率为
B．两条渐近线的夹角的余弦值为
C．若直线
与双曲线
的一条渐近线垂直，则
的面积为
D．若
，双曲线上一点
到渐近线的距离为
，则点
到另一条渐近线
的距离为2
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．各项均为正数的等差数列
的前
项和为
，若
，则
的最大值为
．
13．若
，且
，则
．
14．数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示.
若正整数
，其中
或
，则
可以用
位二进
制数
表示.记
的二进制各个位数和为
，则
.例如
，因此
.已知正整数
1024 且
，则这样的
有
个；
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
记
的内角
所对的边分别为
，已知
且
.
(1)求
；
(2)若
，求
.
16．（15 分）
如图，在四棱锥
中，
，底面
是矩形，且
，
．侧面
是面积为
的直角三角形，其中
．点
分别为线段
的中点，连接
．
(1)证明：直线
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
17．（15 分）
某项团体比赛分为两轮，第一轮由团队队员轮流与AI 人工智能进行比赛，若挑战成功，则参加第二轮攻
擂赛，与上任擂主争夺此次团体赛的擂主．现有甲队参加比赛，队中共有3 名事先排好顺序的队员．
(1)第一轮与AI 对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员
结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则
该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该
队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为
，
，且每位成员闯关是否成功
互不影响，每关结果也互不影响.用
表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求
的分布列和期
望．
(2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1－3 号队员进行比赛，规则为：双方先由1 号队员比赛，负
者被淘汰，胜者再与负方2 号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知甲队三名队
员
每场比赛的胜率分别为
，
，
，若要求甲队获得擂主的概率大于
，问
是否满足？
请说明理由．
18．（17 分）
已知
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若
恰有1 个极大值点和1 个极小值点．
①求极大值与极小值的和；
②判断
零点的个数．
19．（17 分）
平面内一动圆经过点
，且该圆被
轴所截弦长为2，设动圆圆心的轨迹为
．过点
的直线交
于
两点，按照如下方式依次构造点
：直线
，
与
的另一个交点分别为
，直
线
与
轴的交点为
，设点
的纵坐标为
．
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)求数列
的通项公式；
(3)记
，求数列
的通项公式．
